2016届南京、盐城高三数学期末试卷

.2016届高三模拟考试试卷(一)数学(满分160分，考试时间120分钟)20161参考公式：锥体的体积公式：VSh，其中S为底面积，h为高一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知集合Ax|x210，B1，2，5，则AB_2. 已知复数z(i是虚数单位)，则|z|_3. 书架上有3本数学书，2本物理书若从中随机取出2本，则取出的2本书都是数学书的概率为_4. 运行如图所示的伪代码，其结果为_ S1For I From 1 To 7 Step 2 SSIEnd ForPrint S5. 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽取20人，则从高三年级学生中抽取的人数为_6. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为_7. 已知实数x，y满足则目标函数zxy的最小值为_8. 若一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为_9. 在ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a5，A，cosB，则边c_10. 设Sn是等比数列an的前n项和，an0，若S62S35，则S9S6的最小值为_11. 如图，在ABC中，ABAC3，cosBAC，2，则的值为_12. 在平面直角坐标系xOy中，过点P(4，0)的直线l与圆C：(x1)2y25相交于A、B两点若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为_13. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)2x，设g(x)若函数yg(x)t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是_14. 设函数y的图象上存在两点P、Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形(其中O为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)设函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示(1) 求函数yf(x)的解析式；(2) 当x时，求f(x)的取值范围16.(本小题满分14分)如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，点O是侧面ACC1A1的中心，ACB，M是棱BC的中点求证：(1) OM平面ABB1A1；(2) 平面ABC1平面A1BC.17. (本小题满分14分)如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16 km处，直线AB的南面为居民生活区为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P.垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求(A，B，P可看成三个点)： 垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同； 垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大)现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30 t和50 t，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0)是椭圆C：y21上一点，从原点O向圆M：(xx0)2(yy0)2r2(r0)作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2.(1) 若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；(2) 若r. 求证：k1k2； 求OPOQ的最大值19. (本小题满分16分)已知函数f(x)的图象在x0处的切线方程为yx，其中e是自然对数的底数(1) 求实数a的值；(2) 若对任意的x(0，2)，都有f(x)成立，求实数k的取值范围；(3) 若函数g(x)lnf(x)b(bR)的两个零点为x1，x2，试判断g的正负，并说明理由20. (本小题满分16分)设数列an共有m(mN，m3)项，记该数列前i项a1，a2，ai中的最大项为Ai，该数列后mi项ai1，ai2，am中的最小项为Bi，riAiBi(i1，2，3，m1)(1) 若数列an的通项公式为an2n，求数列ri的通项公式；(2) 若数列an是单调数列，且满足a11，ri2，求数列an的通项公式；(3) 试构造一个数列an，满足anbncn，其中bn是公差不为零的等差数列，cn是等比数列，使得对于任意给定的正整数m(mN，m3)，数列ri都是单调递增的，并说明理由.2016届高三模拟考试试卷(一)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB为圆O的直径，直线CD与圆O相切于点D，ACCD，DEAB，C、E为垂足，连结AD，BD.若AC4，DE3，求BD的长B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M(aR)的一个特征值为2.在平面直角坐标系xOy中若曲线C在矩阵M变换下得到的曲线的方程为x2y21，求曲线C的方程C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点A的极坐标为，圆E的极坐标方程为4cos4sin，试判断点A和圆E的位置关系D. (选修4-5：不等式选讲)已知正实数a，b，c，d满足abcd1.求证：2.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB2，AC4，AA12，设(R)(1) 若1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2) 若二面角B1A1C1D的大小为60，求实数的值23.设集合M1，2，3，n(nN，n3)，记M的含有三个元素的子集个数为Sn，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为Tn.(1) 分别求，的值；(2) 猜想关于n的表达式，并证明之2016届高三模拟考试试卷(一)(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1. 12. 3. 4.175. 176. 7. 38. 29. 710. 2011. 212. x3y4013. 14. 15. 解：(1) 由图象知，A2，(2分)又，0，所以T2，得1.(4分)所以f(x)2sin(x)，将点代入，得2k(kZ)，即2k(kZ)又，所以.(6分)所以f(x)2sin.(8分)(2) 当x时，x，(10分)所以sin，即f(x)，2(14分)16. 证明：(1) 在A1BC中，因为O是A1C的中点，M是BC的中点，所以OMA1B.(4分)又OM平面ABB1A1，A1B平面ABB1A1，所以OM平面ABB1A1.(6分)(2) 因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1底面ABC，所以CC1BC.又ACB，即BCAC，而CC1，AC平面ACC1A1，且CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.(8分)而AC1平面ACC1A1，所以BCAC1.又ACC1A1是正方形，所以A1CAC1.而BC，A1C平面A1BC，且BCA1CC，所以AC1平面A1BC.(12分)又AC1平面ABC1，所以平面ABC1平面A1BC.(14分)17. 解：(解法1)由条件，得.(2分)设PA5x，PB3x，则cosPAB，(6分)所以点P到直线AB的距离hPAsinPAB5x，(10分)所以当x234，即x时，h取得最大值15 km，即选址应满足PA5 km，PB3 km.(14分)(解法2) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系(2分)则A(8，0)，B(8，0)由条件，得.(4分)设P(x，y)(y0)，则35，化简，得(x17)2y2152(y0)，(10分)即点P的轨迹是以点(17，0)为圆心，15为半径的位于x轴上方的半圆则当x17时，点P到直线AB的距离最大，最大值为15 km.所以点P的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17，15)即可(14分)18. (1) 解： 因为椭圆C右焦点的坐标为(，0)，所以圆心M的坐标为，(2分)从而圆M的方程为(x)2.(4分)(2) 证明：因为圆M与直线OP：yk1x相切，所以，即(45x)k10x0y0k145y0，(6分)同理，有(45x)k10x0y0k245y0，所以k1，k2是方程(45x)k210x0y0k45y0的两根，(8分)从而k1k2.(10分) 解：设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，联立解得x，y，(12分)同理，x，y，所以OP2OQ2(14分)，当且仅当k1时取等号所以OPOQ的最大值为.(16分)19. 解： (1) 由题意得f(x)，因函数在x0处的切线方程为yx，所以f(0)1，得a1.(4分)(2) 由(1)知f(x)对任意x(0，2)都成立，所以k2xx20，即kx22x对任意x(0，2)都成立，从而k0.(6分)又不等式整理可得kx22x，令g(x)x22x，所以g(x)2(x1)(x1)0，得x1，(8分)当x(1，2)时，g(x)0，函数g(x)在(1，2)上单调递增，同理，函数g(x)在(0，1)上单调递减，所以kg(x)ming(1)e1.综上所述，实数k的取值范围是0，e1)(10分)(3) 结论是g0.(11分)证明：由题意知函数g(x)lnxxb，所以g(x)1，易得函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以只需证明1即可(12分)因为x1，x2是函数g(x)的两个零点，所以相减得x2x1ln.不妨令t1，则x2tx1，则tx1x1lnt，所以x1lnt，x2lnt，即证lnt2，即证(t)lnt20.(14分)因为(t)0，所以(t)在(1，)上单调递增，所以(t)(1)0.综上所述，函数g(x)总满足g0，不满足ri2，所以an单调递增(6分)则Aiai，Biai1，所以riaiai12，即ai1ai2，1im1，所以an是公差为2的等差数列，an12(n1)2n1，1nm1.(10分)(3) 构造ann，其中bnn，cn.(12分)下证数列an满足题意证明：因为ann，所以数列an单调递增，所以Aiaii，Biai1i1，(14分)所以riaiai11，1im1.因为ri1ri0，所以数列ri单调递增，满足题意(16分)(说明：等差数列bn的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列cn的首项c1为负，公比q(0，1)，这样构造的数列an都满足题意)2016届高三模拟考试试卷(一)(南京、盐城)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：因为CD与圆O相切于D，所以CDADBA.(2分)因为AB为圆O的直径，所以ADB90.又DEAB，所以EDADBA，所以EDADBA，所以EDACDA.(4分)又ACDAED90，ADAD，所以ACDAED.所以AEAC4，所以AD5.(6分)又，所以BDAD.(10分)B. 解：由题意，矩阵M的特征多项式f()(a)(1)，因矩阵M有一个特征值为2，f(2)0，所以a2.(4分)所以M，即代入方程x2y21，得(2x)2(2xy)21，即曲线C的方程为8x24xyy21.(10分)C. 解：点A的直角坐标为(2，2)，(2分)圆E的直角坐标方程为(x2)2(y2)28，(6分)则点A到圆心E的距离d4r2，所以点A在圆E外(10分)D. 证明：因为()24(12a12b12c12d)，(6分)又abcd1，所以()224，即2.(10分)22. 解：分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，C1(0，4，2)(2分)(1) 当1时，D为BC的中点，所以D(1，2，0)，(1，2，2)，(0，4，0)，(1，2，2)设平面A1C1D的法向量为n1(x，y，z)，则所以取n1(2，0，1)又cos，n1，所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.(6分)(2) 因为，所以D，所以(0，4，0)，.设平面A1C1D的法向量n1(x，y，z)，则所以取n1(1，0，1)又平面A1B1C1的一个法向量为n2(0，0，1)，由题意得|cosn1，n2|，所以，解得1或1(不合题意，舍去)，所以实数的值为1.(1