南昌大学-2010～2011学年第二学期数学物理方法期末考试试卷B卷答案

南昌大学 20102011学年第二学期期末考试试卷 参考答案与评分标准 试卷编号： 6032 ( B )卷课程编号： Z5502B011 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷 适用班级： 物理系09级 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分394021 100得分考生注意事项：1、本试卷共7页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、 填空题(每小题 3 分，共 39分) 得分评阅人 说明：两个空的小题，第一个空2分，第二个空1分。1. 复数的模为，主辐角为弧度。2. 若解析函数的虚部且，则解析函数为 。3. 0 。4.在的环域上，函数的洛朗级数展开为5. 。第 7 页 共 7页6. 函数在的奇点类型为 可去奇点 ，其留为 0 。7. 求解本性奇点留数的依据为 洛朗级数展开的负一次项系数 。8. 在这个周期上，。其傅里叶级数展开为9. 当时，；当时，；当时，。则函数的傅里叶变换为10. 的拉普拉斯变换为。11. 一根两端(左端为坐标原点而右端）固定的弦，用手在离弦左端长为处把弦朝横向拨开距离，然后放手任其振动。横向位移的初始条件为、 。12. 。13. 判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打，错误的打。（1）若函数在点可导，则函数在点必解析。 （ ）（2）数学物理方程的定解条件可以不含边界条件但一定要有初始条件。 （ ）（3）设为的共轭复数，则。 （ ）二、求解题(每小题 10 分，共 40 分)得分评阅人 说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1. 用留数定理计算复积分 解：由题意 被积函数，有一个二阶极点和一个单极点。（3分） 又因为二阶极点不在积分回路之内，所以现在只考虑单极点，即 （5分） 所以复积分 （2分）2. 用留数定理计算实积分。解：由题意 而 （1） （2） （2分）对于（1）式中，积分函数有两个单极点，在上半平面，而在的留数为 （3分）对于（2）积分中的函数有两个单极点，函数在的留数为 （3分）所以 （2分）3. 用拉普拉斯变换求解已知，。 解：由题意，并根据导数定理，有 4. 试给出偏微分方程的特征方程，并判断其类型，然后求解特征方程，最后给出能使方程化为标准形的自变量变换（注意：不必写出标准形）。 解：由题意，偏微分方程 知， 所以，该微分方程的特征方程为 （2分） 即， （1） 又因, （4分） 该偏微分方程为双曲型。 由（1）式 或者 可以确定两组特征线： （3分） 所以变量变换应为 （1分）三、偏微分方程求解题 (共21 分) 得分评阅人 1. 试写出达朗贝尔公式，并求解偏微分方程，初始条件为。 (本小题 10 分) 解：由题意 （2分） 初始条件 所以 2. 设满足方程和边界条件，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。(本小题 11 分) 解：(1) 由题意，对于常微分方程： (1) (2)现在先求解，对三种情况进行讨论： a) ，由(1)式的解是 积分常数，由(2)决定，即 ， 由此得出， 而。无实际意义，即无可能性。（3分） b) ，式(1)的解是 则根据(2)式，有 ， 即为任意数此时。（3分） c) ，由(1)解是 则由(2)