复变函数与积分变换大纲

复变函数与积分变换教学大纲课程编号:课程类别:必修课 适用专业:电类、计算机类、机械类 学时: 48 学分 2.5教研室主任: 大纲执笔人： 大纲审批人 一、性质、目的与意义复变函数与积分变换是普通高等学校工科类专业的一门重要的基础理论课，它是研究复自变量复值函数的分析课程，在某些方面它是微积分学的推广，独立成为一门课程则是因为它有其自身的研究对象及独特的处理方法。通过本课程的学习，为以后学习工程力学、电子学、电磁学、振动力学及无线电技术等课程奠定必要的基础。课程内容包括解析函数，复变函数的积分，解析函数的级数展开式，留数及其应用，积分变换。 通过本课程的学习，为学生学习后续课程和解决实际问题提供必要的数学基础。同时，通过各教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力，综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力，初步抽象概括问题的能力，自学能力以及一定的逻辑推理能力。二、教学基本要求 开设本课程的基本要求是使学生掌握复变函数的基本理论和方法，进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生视野，为掌握复变函数在自然科学和工程技术中的广泛应用奠定良好的数学基础。三、教学内容及教学基本要求第一章 复数与复变函数 (5学时)第一节 复数及其代数运算 （1学时）第二节 复数的几何表示 （1学时）第三节 复数的乘幂与方根 （1学时）第四节 区域 （0.5学时）第五节 复变函数 （0.5学时）第六节 复变函数的极限与连续 （1学时教学基本要求：掌握复数的概念，表示方法及其运算。掌握复数运算的几何意义与复数方程表示的几何图形。掌握复数的乘幂与方根，会解复数方程。了解扩充复平面。掌握平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。了解复变函数的定义，极限与连续性.重点：复数的运算以及用复数方程表示曲线，复函数的极限与连续。难点：用不等式表示区域。复函数的极限与连续。第二章 解析函数 (4学时)第一节 解析函数的概念 (1学时)第二节 函数解析的充要条件 (1学时)第三节 初等函数 (2学时)教学基本要求：正确理解复变函数的导数与解析函数的概念掌握复变函数可导与解析的充要条件，会判断函数可导性与解析性。掌握初等函数中的指数函数，对数函数与幂函数，了解三角函数与反三角函数，并能解一些初等方程。重点：函数解析性的判断，掌握和运用柯西黎曼条件，初等函数以及与之相联系的方程的求解难点：函数解析性的判断，初等函数。第三章 复变函数的积分 (7学时)第一节 复变函数的积分的概念 （1学时）第二节 柯西古萨基本定理 （1学时）第三节 基本定理的推广复合闭路定理 （1学时）第四节 原函数与不定积分 （1学时）第五节 柯西积分公式 （1学时）第六节 解析函数的高阶导数 （1学时）第七节 解析函数与调和函数 （1学时）教学基本要求：理解复变函数积分的概念，存在条件及其计算方法和性质。掌握柯西古萨基本定理的条件与结论，并利用它解决一些积分问题。掌握复合闭路定理，并利用它解决一些积分问题。了解原函数与不定积分的概念与性质，能计算一些积分计算。掌握柯西积分公式，并能熟练运用它解决闭曲线的积分问题。掌握解析函数的高阶导数公式，并能熟练运用它解决闭曲线的积分问题。掌握共轭调和函数的概念及其解析函数与调和函数的关系，会判断函数的解析性，并能求出给定函数的共轭调和函数及其相应的解析函数。重点：柯西定理，柯西积分公式及高阶导数公式的用法，调和函数与解析函数的关系难点：复合闭路公式的运用，调和函数与解析函数的关系第四章 级数 （7学时）第一节 复数项级数 （1学时）第二节 幂级数 （1学时）第三节 泰勒级数 （2.5学时）第四节 洛朗级数 （2.5学时）教学基本要求：了解复数列的极限，复数项级数的概念。掌握幂级数的概念、性质与收敛半径的计算方法。理解泰勒级数的定义，并掌握常用的几个Taylor展开式。掌握洛朗级数的定义，并能熟练将函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数。重点：函数展开成泰勒级数；在不同环域内将函数展开成罗朗级数难点：初等函数在指定圆环域内展开成洛朗级数。第五章 留数 （6学时）第一节 孤立奇点 （2学时） 第二节 留数 （2学时）第三节 留数在定积分计算上的应用 （2学时）教学基本要求：掌握孤立奇点的定义与分类,会判断函数孤立奇点的类型，理解函数在无穷远点的性态。掌握留数的定义与计算规则。掌握留数在定积分计算上的三个应用。重点：孤立奇点类型的判别，留数的计算及应用留数定理计算复积分与定积分难点：留数的计算与留数的应用第六章 傅立叶变换 （4学时）1傅里叶积分公式 （1学时）2 傅立叶变换 （1学时） 3傅里叶变换的性质 （1学时）4 卷积与相关函数 （1学时）教学基本要求：了解傅里叶变换及性质。重点：掌握简单函数的傅立叶变换。 难点：傅里叶变换及性质。第七章 拉普拉斯变换 （4学时）1拉氏变换的概念 （0.5学时）2拉氏变换的性质 （0.5学时）3拉氏逆变换 （1学时）4卷积 (1学时)5拉氏变换的应用 (1学时)教学基本要求：正确理解拉氏变换，拉氏逆变换等基本概念。掌握拉氏变换的基本性质，并能运用性质求函数的拉氏变换，掌握常用函数的拉氏变换。掌握利用留数及拉氏变换性质来求拉氏逆变换。正确理解卷积的概念及卷积定理。掌握常系数微分方程的拉氏变换解法。重点：拉氏变换、拉氏逆变换的求法。难点：拉氏变换及逆变换、卷积四、考核方式 复变函数与积分变换课程是考查课，考核成绩分为：出勤及课堂表现分10分；七章做三次作业（第一、二、三章做一次作业，第四、五章做一次作业，第六、七章做一次作业）90分，共计100分。五、教学方法与手段 教学方法：讲授法教学。 教学手段：板演。复变函数教学计划1第一章 复数与复变函数1 复数及其代数运算、2 复数的几何表示 （2学时）23 复数的乘幂与方根、4 区域、5 复变函数 （2学时）36 复变函数的极限与连续、习题课 （2学时）4第二章 解析函数1 解析函数的概念、2 函数解析的充要条件 （2学时）53 初等函数 （2学时）6习题课 （2学时）7第三章 复变函数的积分1复变函数的积分的概念、2柯西古萨基本定理 （2学时）83基本定理的推广复合闭路定理、4原函数与不定积分 （2学时）95柯西积分公式、6解析函数的高阶导数。 （2学时）107解析函数与调和函数、习题课 （2学时）11第四章 级数1复数项级数、2幂级数 （2学时）123泰勒级数 （2学时）134洛朗级数 （2学时）144洛朗级数（续） （2学时）15习题课 （2学时）16第五章留数1孤立奇点 （2学时） 172留数 （2学时）183留数在定积分计