普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷（八）

普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷（八）数学理工农医类(八)本试卷分第卷(选择题共60分)和第卷(非选择题共90分),考试时间为120分钟,满分为150分.第卷(选择题共60分)注意事项：1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式:如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=pk(1p)nk球的表面积公式S=4R2,其中R表示球的半径球的体积公式V=R3,其中R表示球的半径一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数()13的值等于A.iB.iC.iD.+i解析: =i,因为(i)3=1,所以()13=i.答案: C2.已知向量m、n、a、b满足|m|=,|n|=2,m与n的夹角为30,a=m+3n,b=5mn,则以a、b为邻边的平行四边形的对角线长的平方和为A.28B.106C.424D.212解析: 向量可以任意平移,以a、b为邻边的平行四边形的两条对角线分别为(a+b),(ab),|a+b|2+|ab|2=(a+b)2+(ab)2=2(a)2+2(b)2=2(m+3n)2+2(5mn)2=52|m|2+20|n|28mn=523+20482cos30=212.答案: D3.已知函数f(x)=sinx的图象的一部分如图(a),有以下四个函数解析式:y=f(2x);y=f(x+1);y=f(x);y=f(x+1).其中与图(b)所对应的函数解析式为A.B.C.D.解析: 图形(a)、(b)关于y轴对称,图(b)的函数解析式为y=f(x).f(x)=sinx,y=f(2x)=sin(2x)=sin(2x)=sinx=f(x)成立.y=f(x+1)=sin(x+1)=sin(+x)=sinx=f(x).y=f(x)=sin(x)=sin(x)=cosxf(x).y=f(x+1)=sin(x+1)=sin(x)=sinx=f(x).故函数解析式满足图(b).答案: A4.a、b、cR,下列命题:若ab,则ac2bc2;若ab0,则+2;若a|b|,nN*,则anbn;若ab0,则;若logab0,则a、b中至少有一个大于1.其中正确命题的个数为A.2B.3C.4D.1解析: 错.当c=0时,有ac2=bc2.错.当ab0时,ab0,anbn成立;当b=0时,a0,anbn成立;当b0,bnbn成立;若n为偶数,a|b|0,an|b|n=bn,anbn仍成立.故nN*,a|b|时总有anbn.错.如a=3,b=2,c=1时,.对.当0a1.正确命题有2个.答案: A5.P为椭圆+=1上的一点,F1、F2为椭圆的两个焦点,F1PF2为直角三角形且P在第四象限,则这样的点P到椭圆右准线的最大距离为A.B.C.或D.解析: a=7,b=,c=5,F1(5,0),F2(5,0),离心率e=.由P在第四象限,且P到右准线的距离最大可知|PF1|PF2|且F1PF2=90.2得2|PF1|PF2|=96.得(|PF1|PF2|)2=4,|PF1|PF2|=2.得2|PF2|=12,|PF2|=6.设P到右准线的距离为d,=e,d=6=.答案: B6.函数f(x)=b(1)+asinx+3(a、b为常数),若f(x)在(0,+)上有最大值10,则f(x)在(,0)上有A.最大值10B.最小值5C.最小值4D.最大值13解析: 令F(x)=f(x)3=b(1)+asinx=b+asinx,则F(x)=b+asin(x)=basinx=F(x),F(x)为奇函数,F(x)在(0,+)上有最大值7.F(x)在(,0)上有最小值7.f(x)在(,0)上有最小值4.答案: C7.已知函数f(n)=logn+1(n+2)(nN*),定义使f(1)f(2)f(k)为整数的数k(kN*)叫企盼数,则在1,2005内所有企盼数的和是A.2025B.2026C.2027D.2028解析: f(1)f(k)=log23log34logk+1(k+2)=log2(k+2).令log2(ki+2)=Mi,kiN*且ki1,2005,Mi=2,3,10.=22+210.=2026.答案: B8.在如图16的矩形中涂上红、黄、蓝三种颜色,每种颜色限涂两格,且相邻两格不同色,则不同的涂色方法有A.90种B.54种C.45种D.30种解析: 我们先从特例入手寻找涂色方案.如上图,先在第一、二块矩形中分别涂上红色和黄色,则第三块可选择红、蓝两种颜色.若第三块选红色,则后三块只能涂成蓝、黄、蓝;若第三块选蓝色,则后三块的涂色方案就不止一种了,如可以涂成红、黄、蓝或者黄、蓝、红等等.由上面的分析可知:第一块、第三块是否同色,直接会影响后面三块的涂色.故涂色方案可分“一三同色或不同色”两种情况进行讨论.当第一、三块同色时,共有321=6种方案.当第一、三块不同色时,共有321221=24种.故共有24+6=30种涂色方案.答案: D9.若()n的展开式中第4项为常数项,则展开式中系数最小项为A.第1项B.第5项C.第10项D.第6项解析: 由题意常数项为T4=(x3)=(1)3,n=9.又=,Tr+1=(xr)=(1)r.当r=5时,即第6项的系数最小,最小项为第6项.答案: D10.如图,u国在A岛上进行过一次核试验,在A岛40海里范围内部受到核污染.一船正在向南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30,航行30海里后,在C处测得小岛在船的南偏东45,如果不改变方向,继续航行,则船可能A.要在污染区航行约1海里B.要在污染区航行约2海里C.与污染区还有约1海里D.与污染区还有约2海里解析: 在ABC中,BC=30,B=30,ACB=135A=15.由正弦定理可得AC=60cos15=15(+),A到BC所在直线的距离为ACsin45=15(+)=15(+1)40.98海里.船与污染区还有约1海里.答案: C11.2003年9月1日,某中学按年利率5%(利息按年以复利计算)从银行贷款500万元,用于建造一所可容纳1000人住宿的学生公寓,2004年9月1日投入使用,同时向每位学生收取一年住宿费a元用于还贷,照此方式,预计15年还清贷款,则a的值约为(提供:1.05152.08)A.412B.482C.500D.512解析: 500(1+5%)15=0.1a(1+1.05+1.052+1.0514),a=482(元).答案: B12.下表给出一个等差数阵,其中每行每列都是等差数列,aij表示第i行第j列的数,则a66的值是A.50B.43C.42D.58解析: 解法一:可逐个写出前6行6列的数即可得选D.解法二:a1j=3j,a2j=6+(j1)4,第i行是首项为3i、公差为i+2的等差数列,其通项为aij=3i+(j1)(i+2),a66=36+58=58.答案: D普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数学理工农医类(八)第卷（非选择题共90分）注意事项：1.第卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.设有三个命题:甲:两相交直线l、m都在平面内,并且都不在平面内;乙:直线l、m中至少有一条与平面相交;丙:平面与平面相交.当甲成立时,乙是丙成立的_条件.解析: 当甲成立时,如果乙成立,、有交点,则丙成立,反之,如果丙成立,则乙一定成立,否则,若l、m都与不相交,又l、m不在内,则l,m,又l与m相交在内.,与丙成立矛盾.在甲成立时,乙是丙成立的充要条件.答案: 充要14.记mina,b为a、b两数的最小值,当正数x、y变化时,t=minx, 也在变化,则t的最大值为_.解析: 若x,则t=x,t2=x2x=.故t,当且仅当x=y=时取“”；若x,则t=,t2=()2.故t，当且仅当x=y=时取“”.综上可知,当x=y=时,t取最大值为.答案: 15.设不等式组所围成的平面区域的面积为S,当6S22时,a的取值范围是_.解析: 作出不等式组表示的可行域.由即A(2,5).该不等式组所表示的可行域是:直线x+2y=12的下方;直线2xy+1=0的下方;y轴的右边,直线x=a的左边;x轴上方的区域.先从特例探求,考查梯形OBAC的面积.S=(1+5)2=6,满足S的下界.a=2是最小值;要使S取最大值22,则S梯形ABDE=16.S梯形ABDE=5+(6)(a2)=16.当a2时,60,解得a=6,amax=6,故a2,6.答案: 2,616.已知=3,则b的值为_.解析: 由=3,故ax2+bx+1一定含(x1)的因式.设ax2+bx+1=a(x1)(x+k)=ax2+a(k1)xak,ak=1,且a(k1)=b且a(x+k)=3,即a(1+k)=3.a=4,k=.b=5.答案: 5三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的对称轴方程;(3)求f(x)的单调区间.解:f(x)=(cos4xsin4x)2sinxcosx=(cos2xsin2x)sin2x=cos2xsin2x=cos(2x+).(1)f(x)的最小正周期T=.4分(2)2x+=k,则x=,kZ.函数f(x)的对称轴方程是x=k或x=k+,kZ.8分(3)令2k2x+2k+,则kxk+,kZ.令2k2x+2k,则kxk,kZ.故f(x)的单调增区间为k,k,kZ,f(x)的单调减区间为k,k+,kZ.12分18.（本小题满分12分）从汽车东站驾车至汽车西站的途中要经过8个交通岗,假设某辆汽车在各交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概率都是.求:(1)这辆汽车首次遇到红灯前,已经过了两个交通岗的概率;(2)这辆汽车在途中遇到红灯次数的期望与方差.解:(1)这辆汽车在第一、二个交通岗均未遇到红灯,而第三个交通岗遇到红灯,概率P=(1)(1)=.6分(2)(理科做)B(8, ),期望E=8=,方差D=8(1)=.12分19.（本小题满分12分）如图,ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F为BE的中点.(1)求证:AFBD;(2)求平面ABC与平面BDE所成的较小的二面角的度数.解法一:(1)证明:AE、CD都垂直于平面ABC,AECD.设AB的中点为G,连结FG、CG,则FGEA.又CD EA,FGCD,且DCCG.四边形CDFG为矩形.DFFG.又ABC是正三角形,CGAB.又DFCG,DFAB.DF面ABE.DFAF.又AE=AB,F为BE的中点,AFBE.AF面BDE,AFBD.6分(2)解:延长ED交AC于M,连结BM,CD=AE,CDAE,D为EM的中点.又F为BE的中点,DFBM,由(1)知DF面ABE,得BM面ABE,EBA是平面ABC与平面BDE所成二面角的平面角,而EBA=45,所求的二面角为45.12分解法二:(1)证明:如图建立空间直角坐标系,取AB的中点G,连结FG,由已知条件得A(0,0,0),B(a,a,0),C(0,2a,0),D(0,2a,a),E(0,0,2a),F(a,a).=(a,a),=(a,a,a),=a2+a2+a2=0.AFBD.6分(2)解:=(a,a), =(a,a,2a), =a2a2+2a2=0,AFBE.又由(1)AFBD,AF面BDE,即为平面BDE的法向量.又AE平面ABC,为平面ABC的法向量.、所成的角EAF等于平面ABC与平面BDE所成的较小的二面角.在RtEAB中,AE=AB=2a,F为BE的中点,EAF=45,即所求的二面角是45.12分20（本小题满分12分）已知函数f(x)=ln(1+x).(1)求f(x)的极小值;(2)若a、b0,求证:lnalnb1.(1)解:f(x)=ln(1+x),求导数得f(x)=,而f(x)的定义域x1,在x0时,f(x)0;在1x0时,f(x)1时恒成立.令1+x=0,则=1=1,于是lnalnb=ln1,因此lnalnb1在a0,b0时成立.12分21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=(x1)2,数列an是公差为d的等差数列,数列bn是公比为q的等比数列(q1,qR),若a1=f(d1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q1).(1)求数列an和bn的通项公式;(2)设数列cn的前n项和为Sn,对nN*都有+=an+1,求.解:(1)数列an为等差数列,a3a1=2d.又a3a1=f(d+1)f(d1)=d2(d2)2,d2(d2)2=2d,解得d=2,a1=f(1)=0.an=2(n1).又bn为等比数列,=q2.而=,=q2.q1,qR,q=2,b1=4.b