高中数学1.1.1任意角学案新人教A必修4

1 20162016 高中数学高中数学 1.1.11.1.1 任意角学案任意角学案 新人教新人教 A A 版必修版必修 4 4 【学习要求学习要求】 1理解正角、负角、零角与象限角的概念 2掌握终边相同角的表示方法 【学法指导学法指导】 1解答与任意角有关的问题的关键在于抓住角的四个“要素”：顶点、始边、终边和旋转方 向 2确定任意角的大小要抓住旋转方向和旋转量 3学习象限角时，注意角在直角坐标系中的放法，在这个统一前提下，才能对终边落在坐标 轴上的角、象限角进行定义. 1角的概念 (1)角的概念：角可以看成平面内 绕着 从一个位置 到另一个位置所成 的图形 (2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类： 类型定义图示 正角 按 形成的角 负角 按 形成的角 零角 一条射线 ， 称它形成了一个零角 2象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端 点外)在第几象限，就说这个角是 如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限 3终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S| ， 即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与 的和. 探究点一探究点一 角的概念的推广 我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形这 种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量因此，从“旋转”的角度，对 角作重新定义如下：一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫作角，射线OA 叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点 2 问题问题 1 1 正角、负角、零角是怎样规定的？ 答答 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条 射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角 问题问题 2 2 根据角的定义，图中角120； ； ； ； . 问题问题 3 3 经过 10 小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成 的角 答 经过 10 小时，时针旋转形成的角是300，分针旋转形成的角是3 600. 问题问题 4 4 如果你的手表快了 1.25 小时，只需将分针旋转多少度就可以将它校准？ 答 将分针旋转 450或3 870即可校准 探究点二 终边相同的角 今后我们常在直角坐标系内讨论角为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与原点重合，角 的始边与 x 轴的非负半轴重合角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角如 果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限按照上述方法，在平面直角坐 标系中，角的终边绕原点旋转 360后回到原来的位置终边相同的角相差 360的整数 倍因此，所有与角 终边相同的角(连同角 在内)的集合 S|k360， kZ 根据终边相同的角的概念，回答下列问题： 问题问题 1 1 已知集合S|k36060，kZ，则240 S,300 S，1 020 S.(用符号：或填空) 问题问题 2 2 集合S|k36030，kZ表示与角 终边 相同的角，其中最小的正角是 . 问题问题 3 3 已知集合S|45k180，kZ，则角的终 边落在 上 探究点三探究点三 象限角与终边落在坐标轴上的角 问题问题 1 1 终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在 x 轴、y 轴各半轴上的角，请完成 下表. 终边所在的位置角的集合 x 轴正半轴 x 轴负半轴 3 y 轴正半轴 y 轴负半轴 问题问题 2 2 下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整. 终边所在的象 限 角 的集合 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 问题问题 3 3 写出终边落在 x 轴上的角的集合 S. 答 S|k360，kZ|k360180，kZ |2k180，kZ|(2k1)180，kZ |n180，nZ 问题问题 4 4 写出终边落在 y 轴上的角的集合 T. 答 T|902k180，kZ|901802k180，kZ |902k180，kZ|90(2k1)180，kZ |90n180，nZ 【典型例题典型例题】 例例 1 1 在 0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角 (1)150；(2)650；(3)95015. 解解 (1)因为150360210，所以在 0360范围内，与150角终边相同的 角是 210角，它是第三象限角 (2)因为 650360290，所以在 0360范围内，与 650角终边相同的角是 290角，它是第四象限角 (3)因为95015336012945，所以在 0360范围内，与95015 角终边相同的角是 12945角，它是第二象限角 小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系：k360，kZ，把所给的角化归 到 0360范围内，然后利用 0360范围内的角分析该角是第几象限角 跟踪训练 1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400； (2)2 010. 解 (1)1 4003360320，320是第四象限角， 1 400也是第四象限角 例 2 写出终边落在直线 yx 上的角的集合 S，并把 S 中适合不等式360720的元 素 写出来 4 解 直线yx与x轴的夹角是 45，在 0360范围内，终边在直线yx上的角有两个： 45，225.因此，终边在直线yx上的角的集合： S|45k360，kZ Z|225k360，kZ Z |452k180，kZ Z|45(2k1)180，kZ Z |45k180，kZ Z S中适合360720的元素是： 45018045；451180225； 小结小结 当角的集合的表达式分两种或两种以上情形时，能合并的尽量合并，注意，把最后角 的集合化成简约的形式 跟踪训练跟踪训练 2 2 求终边在直线yx上的角的集合S. 解 由于直线yx是第二、四象限的角平分线，在 0360间所对应的两个角分别是 135和 315， 从而S|k360135，kZ Z|k360315，kZ Z |2k180135，kZ Z|(2k1)180135，kZ Z |k180135，kZ Z 例例 3 3 已知是第二象限角，试确定 2，的终边所在的位置 2 解 因为是第二象限角， 所以k36090k360180，kZ Z. 所以 2k36018022k360360，kZ Z， 所以2的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上 因为k36090k360180，kZ Z， 所以k18045k18090，kZ Z， 2 所以当k2n，nZ Z 时，n36045n36090， 2 即的终边在第一象限； 2 当 k2n1，nZ 时，n360225n360270， 2 即的终边在第三象限 2 所以的终边在第一或第三象限 2 小结 若已知角是第几象限角，判断，等是第几象限角，主要方法是解不等式并对k 2 3 进行分类讨论，考查角的终边的位置 跟踪训练跟踪训练 3 3 已知为第三象限角，则所在的象限是 ( ) 2 5 A第一或第二象限 B第二或第三象限 C第一或第三象限 D第二或第四象限 解析 由于k360180k360270，kZ Z， 得 36090 360135，kZ Z. k 2 2 k 2 当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角. 2 2 课后小练课后小练 1361的终边落在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2下列各角中与 330角终边相同的角是( ) A510 B150 C150 D390 3经过 10 分钟，分针转了_度 4写出终边落在坐标轴上的角的集合S. 课后小结课后小结 1对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下 定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负” ， “旋转幅度”决定角 的“绝对值大小” 2关于终边相同角的认识 一般地，