高二数学点到直线的距离点关于点关于直线的对称点人教

高二数学点到直线的距离 点关于点 关于直线的对称点【同步教育信息】一. 本周教学内容： 点到直线的距离； 点关于点、关于直线的对称点； 直线关于点、关于直线的对称直线； 直线方程复习；二. 知识点： 1. 点到直线距离公式及证明 关于证明： 根据点斜式，直线PQ的方程为（不妨设A0） 解方程组 这就是点Q的横坐标，又可得 所以， 。 这就推导得到点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离公式。 如果A=0或B=0，上式的距离公式仍然成立。 下面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法。 设点Q的坐标为（x1，y1），则 把方程组作变形， 把，两边分别平方后相加，得 所以， 所以， 此公式还可以用向量的有关知识推导，介绍如下： 把、两式左右两边分别相减，得 由向量的数量积的知识，知 这里n=（A，B）。所以n=（A，B）是与直线l垂直的向量。 （如图所示） （如图所示） 所以，都有 因为 所以 2. 平行线间的距离公式 3. 点关于点的对称点（中点坐标公式） 4. 已知P0（x0，y0）直线l：Ax+By+C=0（B0） 特别地关于特殊直线的对称点。 （x轴、y轴、直线y=x，直线y=x） 5. 直线l关于点P0（x0，y0）对称直线（三种方法） 6. 特别地直线l关于特殊直线y=x+b的对称直线。【典型例题】 例1. 解法一： c=32或c=20， 解法二：设所求直线的方程为 由两平行直线间的距离公式， 故所求直线的方程为 小结：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离，即把两条平行线之间的距离，转化为点到直线的距离。也可以直接套两平行 例2. 已知正方形的中心为G（1，0），一边所在直线的方程为x+3y5=0，求其他三边所在的直线方程。 解：正方形中心G（1，0）到四边距离均为 设正方形与已知直线平行的一边所在直线的方程为x+3y+c1=0。 故与已知边平行的边所在直线的方程为x+3y+7=0 设正方形另一组对边所在直线的方程为3xy+c2=0。 所以正方形另两边所在直线的方程为： 综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为： 小结：本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求得了正方形其他三边所在直线的方程。 例3. 解法一： 点（1，0）为两已知直线的交点。 设所求直线的斜率为k，由一条直线到一条直线的角的公式， 故所求直线方程为 解法二：由解法一知两已知直线的交点为A（1，0）。 解法三：设P（x，y）是所求直线上的任一点，P关于直线xy10对称的点为P0（x0，y0）， 解法四：直线x+y1=0 k=1由x+y1=0代入x2y1=0得1y2(1x)1=02xy2=0即为所求。 小结：求直线l关于直线l1对称的直线的方程，只要在l上取两点A、B，求A、B关于l1的对称点A、B，然后写出直线AB的方程即为所求。解法二和解法三中，都用到了求一个点P关于某直线l的对称点P0的问题。这个问题的解法就是根据：直线P0P与直线l垂直；线段P0P的中点在直线l上，列出方程组解出x0、y0，代入x0、y0所满足的方程，整理即得所求直线的方程。 例4. 截距相等的直线方程。 解法一： 两已知直线的交点为（4，3）。 当所求直线在两坐标轴上的截距都是0时，直线的横截距、纵截距相等。 因为点（4，3）在直线x+y=a上， 解法二： 小结：解法一设直线的截距式时注意了截距为0的情形。故而没有直接设成 例5. 列条件的a、b的值。 （1）直线l1过点（3，1），并且直线l1与直线l2垂直； （2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等。 分析：考查直线与直线平行及垂直的问题的处理方法。 解： 又点（3，1）在l1上， 由、解得a=2，b=2。 （2）l1l2且l2的斜率为1a。 l1的斜率也存在， 故l1和l2的方程可分别表示为 原点到l1和l2的距离相等， 小结：在（2）中由于l1l2，l2有斜率，从而得出l1有斜率，即b0。 例6. 最小值时x的值。 解： 它表示点P（x，0）与点A（1，1）的距离加上点P（x，0）与点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P（x，0）与点A（1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值。 由下图可知，转化为求两点A（1，1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数f(x)的最小值。 小结：数形结合是解析几何最根本的思想，因此本题联系图形求解，使解法直观、简捷而且准确，易于入手。 例7. 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 证明：建立如图所示的坐标系， A（a，0），B（0，b），C（a，0），（a0，b0）， 设底边AC上任意一点为P（x，0）（axa）， 原命题得证。 例8. 等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3xy0，一条直角边所在直线l经过点（4，2），且此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标。 解：设直角顶点为C，C到直线y=3x的距离为d， 例9. （1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M； （2）过定点M作一条直线l1，使l1夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求l1的方程； （3）若直线l2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成的三角形面积最小，求l2的方程。 解： 它与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b）。 M为AB中点，由中点坐标公式得a=2，b=4， 当且仅当k2时，围成的三角形面积最小， 【模拟试题】 1. 已知直线l经过点P（5，10），且原点到它的距离为5，则直线l的方程为_。 2. ，则点P（1，1）到直线的最大距离是_。 3. 已知点P（1，）到直线，则_。 4. 如图，已知正方形ABCD的中心为E（1，0），一边AB所在的直线方程为，求其他三边所在直线的方程。 5. 求平行线的距离。 6. 求过点A（1，2）且与原点的距离为的直线方程。 7. 求过点P（1，2）且被两平行直线截得的线段长为的直线方程。 8. 求过点P（0，2）且与点A（1，1），B（3，1）等距离的直线l方程。 9. 原点关于直线的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. （4，3）（1991年全国高考题）参考答案http:/www.DearEDU.com 1. 提示：（1）当直线l的斜率存在时，可设l的方程为。 根据题意，得 所求的直线l的方程为。 （2）当直线l的斜率不存在时，直线的倾斜角为，即直线l与x轴垂直。 根据题意，得所求直线l的方程为。 2. 提示：点P（1，1）到直线的距离为 。 最大。 3. 提示： 由得， 。 4. 解：可设CD所在直线方程为： 。 点E在CD上方，m17。经检验不合题意，舍去。 m=7，CD所在直线方程为。 ABBC， 可设BC所在直线方程为， 则，n=9或3。 经检验，BC所在直线方程为 AD所在直线方程为。 综上所述，其他三边所在直线方程为。 5. 分析：在直线上任取一点，求这点到另一直线的距离。 解：在直线上任取一点，如P（3，0）， 则点P（3，0）到直线的距离就是两平行线间的距离。 因此。 注意 用上面方法可以证明如下结论： 一般地，两平行直线和间的距离为。 6. 分析：设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率k。 解：设直线方程为，则。 ，解之得 故所求直线的方程为或， 即。 7. 分析：先画图，由图形易求得两平行直线间的距离为1，则所求直线与两平行直线成45角，则由夹角公式求得所求直线的斜率。 解：易求得两平行直线间的距离为1，则所求直线与两平行直线成45角， 设所求直线的斜率为k，则， 解之得。 所求直线方程为。 注意 在寻求问题解的过程中，数形结合可优化思维过程。 8. 分析：画图分析，可知符合题意的直线l有2条。 解：画图分析，可知符合题意的直线l有2条。其一直