高二数学棱锥例题解析人教

高二数学棱锥例题解析一. 本周教学内容： 棱锥二. 重点、难点： （1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 （2）棱锥的分类：按底面边数可把棱锥分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 （3）棱锥性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。过高的中点平行于底面的截面叫做中截面。 （4）特殊的棱锥正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥有下面一些性质： 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，叫做正棱锥的斜高。 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。如果正棱锥的底面周长是c，斜高是h，那么它的侧面积是： 【典型例题】 例1. 如图1，已知三棱锥SABC，下列命题中假命题是 若SASBSC，则点S在平面ABC上的射影为ABC的外心； 若SASBSC，则三棱锥为正三棱锥； 若点S到ABC各边的距离都相等，则点S在平面ABC上的射影为ABC的内心； 若SA，SB，SC两两垂直，则点S在平面ABC上的射影为SBC的垂心。 A. B. C. D. 解：设点S在平面ABC上的射影为点O，若SASBSC，则OAOBOC。所以O为ABC的外心。所以是真命题。尽管O是外心，但是由于不能确定ABC是否是正三角形，所以不能确定三棱锥是正三棱锥。所以是假命题。 过点S分别作SEAB，SFBC，SMAC，垂足分别为E，F，M。连结EO，OF，OM易证OEAB，OFBC，OMAC，且OEOFOM。若点O在ABC内部（如图2），则O为三条内角平分线的交点，O为内心；若点O在ABC外部（如图3），则显然O不是ABC的内心，O是ABC一条内角平分线和两条外角平分线的交点（O是旁心）。所以是假命题。 作点S在平面ABC上的射影O（图4）。 SASB，SASC SA平面SBC SABC BCAO 同理ABCO，ACBO即点O为ABC的垂心，所以是真命题。 综上所述，答案为B。 例2. 已知正三棱锥SABC的底面边长为a，侧面与底面所成角为60，求它的高、侧棱长及两相邻侧面所成二面角的余弦值 分析：如图5，作SO底面于O，由正三棱锥的定义知O是ABC的中心，连结CO并延长交AB于D，则CDAB，连SD SO底面，OD是SD在底面上的射影 SDAB，SDC是侧面与底面所成二面角的平面角，SDC60 ABC是边长为a的正三角形 作BESC于E，连结AE BCAC，BCEACE，CECE BCEACE， AECBEC90 AEB是正三棱锥两相邻侧面所成二面角的平面角 又BCSFSCBE 评注：本题充分应用了正棱锥的性质，在正棱锥中有三个直角三角形及一个等腰三角形在计算中起重要作用，它们分别是高、斜高和底面边心距构成的直角三角形，高、侧棱、底面的外接圆半径构成的直角三角形，斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形，以及含有相邻两个侧面所构成二面角的平面角的三角形（如ABE） 例3. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中， ABC90， SA面ABCD，SAABBC1，AD（ I）求四棱锥SABCD的体积；（ 11）求面 SCD与面 SBA所成的二面角的正切值 解：（I）直角梯形ABCD的面积是 M底面 （ BCAD）AB 四棱推SABCD的体积是 （II）延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱 ADBC，BC2ADEAABSA，SA平面ABCD SABE SAB与SAE均为等腰直角三角形 SESB 又BCEB，BC面SEB， 故SB是CS在面SEB上的射影， CSSE，所以BSC是所求二面角的平面角 即所求二面角的正切值为。【疑难解析】 1. 在边长为a的立方体ABCDA1B1C1D1中，点E为AB的中点，求点A1到平面DEB1的距离。 疑难或错解：按照点到平面距离的意义求解，先设法确定点A1在平面DEB1内的射影，再通过有关线段的计算求得，这种直接的方法费时费力，并且极易出错，不是好方法 剖析：点A1到平面DEB1的距离就是三棱锥A1DEB1的高，设为h，则 以间接地求得。 正解：设三棱锥A1DEB1的高为h，体积为V，则 三棱锥DA1EB1的高ADa， 此即为点A1到平面DEB1的距离 点评：（1）应用体积方法求点面距离的关键在于选择一个合适的三棱锥，使其高恰为所求的点到平面的距离，同时该三棱锥的底面积，和体积可以通过各种渠道方便地得到。 （2）立体几何中的体积法类同于平面几何中的面积法，应用范围很广。例如，用面积法可以证明正三角形内任意一点到三边距离之和是定值；用体积法则可以证明正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值，等等。 1. 已知正三棱锥PABC的底面边长为a，过BC作截面DBC垂直侧棱PA于D，且此截面与底面成30二面角，求此正三棱锥的侧面积。 2. 已知四棱锥VABCD的高为h，底面为菱形，侧面VDA和侧面VDC夹角为120，且都垂直于底面，另两侧面与底面夹角都是45，求棱锥的全面积。 3. 三棱锥PABC的底面三角形的边长AB6cm，侧面PAB的面积为12cm2，侧棱PC垂直于底面且与侧面PAB成30角，求此三棱锥的体积。参考答案 1. 分析：关键：求斜高解直角三角形。 如图6，作PO底面ABC于O PABC为正三棱锥， O为底面正三角形ABC的中心，连结AO并延长交BC于M，连结PM，则AMBC，PMBC， BC平面APM，BCDM截面DBC与底面成30二面角， AMD30 PA平面DBC，PADM，PAM60 正三角形ABC的边长为a， 评注：熟悉正多边形的元素之间的关系会给解题带来很多方便。 2. 分析：关键是找出另两个侧面与底面的二面角的平面角，并证明是二面角的平面角，使空间问题转化到平面问题。 解：如图7，面VDA底面ABCD， 面VDC底面ABCD，且平面VDA平面VDCVD， VD底面ABCD，VDAD，VDCD ADC是二面角AVDC的平面角ADC120， 又底面ABCD是菱形，DAB60，连BD，ABD是等边三角形，取AB的中点H，连DH、VH，则DHAB，由三垂线定理知VHAB， VHD是侧面VAB与底面所成角的平面角， VABVCB S全2SVAD2SVABS ABCD， 注：底面不是正方形的四棱锥，求侧面与底面所成的角，则需要利用空间线面关系作出二面角的平面角，并证明它是二面角的平面角 3. 分析：