高二数学排列、排列数公式人教知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学高二数学排列、排列数公式排列、排列数公式人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 排列、排列数公式 二. 重点、难点： 重点： 1. 排列的概念、排列数公式 2. 排列的应用 难点： 有附加条件的排列数的计算，排列应用问题等是这部分内容的难点。 【典型例题典型例题】 例 1. 一排有 8 个座位 3 个人去坐，若每个人左右均有空位，有多少种坐法？ 分析：分析：转化为 3 个人插 5 个空的模型：每个人都拿着一把椅子，先排其余的 5 个椅子 （一种排法） ，它们之间产生 4 个空档，再把手拿椅子的 3 个人排到这 4 个空档中，共有 A4324 种。 例 2. 把 1、2、3、4、5 这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按从小到大的 顺序排列，构成一个数列。 （1）43251 是这个数列的第几项？（2）这个数列的第 96 项是 多少？（3）求这个数列的各项和。 解：解：（1）本题实际上是求不大于 43251 的五位数有多少个的问题，逆向考虑，将大于 它的数分成如下三种情况。 答：答：43251 是此数列的第 88 项。 （2）用排除法逆向分析，此数列共有 120 项，第 96 项以后还有 1209624 项，即 比第 96 项所表示的五位数大的五位数有 24 个，而以 5 打头的五位数恰好有 A4424（个） ， 所以小于以 5 打头的五位数中最大的一个就是该数列的第 96 项，即为 45321. 答：答：这个数列的第 96 项是 45321. （2）实际上是求所组成的五位数的和，因为 1、2、3、4、5 各在万位上时都有个 4 4 P 五位数，所以在万位上的和为。10000)54321 ( 4 4 P 同理，它们在千位、百位、十位、个位上也都有个五位数，所以其和为 4 4 P 用心 爱心 专心 。)1000100101 ()54321 ( 4 4 P 综上可知，这个数列的和为： 答：答：这个数列的各项和为 3999960。 说明：本题中的逆向思维的分析方法是解决问题的重要方法，当从正面解决问题比较 困难时，可以考虑从它的反面入手，问题往往就可以迎刃而解。 例 3. 一场晚会有 5 个唱歌和 3 个舞蹈共 8 个节目，问按下列要求各可排出多少种不同 的节目单？（1）前 4 个节目中即要有唱歌又要有舞蹈；（4）3 个舞蹈节目的先后顺序一 定。 解：解：（1）不受任何限制的排法有种，前 4 个节目全部排唱歌有种。 8 8 P 4 4 4 5 PP 故要求前 4 个节目既有唱歌又有舞蹈的节目单有（种）37440 4 4 4 5 8 8 PPP （2）先在 8 个节目中排好 5 个唱歌节目，再将 3 个舞蹈节目按特定顺序（一种）插入 空档，故 3 个舞蹈的先后顺序一定的节目单有 题（2）还可用“机会均等法“：8 个节目的全排列有种，而其中的 3 个舞蹈的 8 8 P 种排列我们只能取其一种，故 3 个舞蹈的先后顺序一定的节目单有 3 3 P （种）6720 5 8 38 8 3 PPP 例 4. 某小组 6 个人排队照相留念。 （1）若分成两排照相，前排 2 人，后排 4 人，有多 少种不同的排法？（2）若分成两排照相，前排 2 人，后排 4 人，但其中甲必须在前排，乙 必须在后排，有多少种排法？（3）若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不 同的排法？（4）若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？（5）若 排成一排照相，其中有 3 名男生 3 名女生，且男生不能相邻有多少种排法？（6）若排成一 排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？ 分析：分析：（1）分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第 36 个位子看成是 第二排而已，所以实际上是 6 个元素的全排列问题。 （2）先确定甲的排法，有 P21种；再确定乙的排法，有 P41种；最后确定其他人的排 法，有 P44种。因为这是分步问题，所以用乘法原理，有 P21P41P44种不同排法。 （3）采用“捆绑法” ，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有 P55种不同排法。然后 甲、乙两人之间再排队，有 P22种排法。因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有 P55P22种排法。 （4）甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法。 2 1 （5）采用“插入法” ，把 3 个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进 4 张椅子，如 _女_女_女_，再把 3 个男生放到这 4 个位子上，就保证任何两个男生都不会 用心 爱心 专心 相邻了。这样男生有 P43种排法，女生有 P33种排法。因为是分步问题，应当用乘法原理， 所以共有 P43P33种排法。 （6）符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余 5 人任意排有 P55种排法；一 类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的 4 人中任选 1 人有 P41种排法，排尾从除乙以外的 4 人中选一人有 P41种排法，中间 4 个位置无限制有 P44种排 法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有 P41P41P44种排法。 解：解：（1）P66720（种） （2）P21P41P442424192（种） （3）P55P221202240（种） （4）P66360（种） 2 1 （5）P43P33246144（种） （6）P55P41P41P441204424504（种） 或法二：（淘汰法）P662P55P4472024024504（种） 说明：（1） “相邻”问题，n 个元素排成一排，其中有 m 个元素相连的排法有 。 m m mn mn PP 1 1 （2） “相间”问题中，若两类元素个数相同（都是 n 个） ，则排列总数为 Pn1nPnn；若 两类元素个数不同（一类 n 个，另一类 n1 个） ，则排列总数是 Pn1n1Pnn。 （3） “次序”一定问题中，n 个元素排成一行，其中有 m 个元素次序一定的排法数是 Pnn/Pmm。 （4） “不相邻”问题中，n 个元素排成一行，其中有 m 个元素两两不相邻的排法数是 。 m mn mn mn PP 1 【疑难解析疑难解析】 1. 理解排列的概念，必须注意以下几点： （1）定义中规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情 况。也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了，否则就变成了取出两 个相同的元素。 （2）在定义中，包含两方面的内容： 第一是选元素。 “从 n 个不同元素中任取 m 个不同元素” ，要注意被取的元素是什么？ 取出的元素又是什么？即明确问题中的 n 和 m 各是什么？ 第二是排顺序。 “将取出的 m 个元素按照一定的顺序排成一列。 ”有排顺序的要求是排 列问题中的本质属性。 （3）由于是从 n 个不同元素中取出 m 个不同元素，因此必有 mn，当 mn 时，即所 有元素都取出的排列，这种特殊的排列叫做全排列。 （4）定义中的“一定顺序” ，是与位置有关的问题。对有些具体情况，如取出数字 1，2，3 组成三位数，就与位置有关。因 123 和 132 是不同的三位数。但如取出数字 1，2，3 考虑它们的和，则与位置无关。 2. 写出所有排列的方法 排列是指具体的排法。如一个排列 ABC，是指 A 排在左端，B 排在中间，C 排在中端这 一具体排法，在写具体的排列时，必须按一定规律写，否则容易造成重复或遗漏。我们常 用画树形图的方法逐一写出所有排列。 用心 爱心 专心 如：写出 A，B，C，D 四个元素中任取两个元素的所有排列。 所有排列为 AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC，共有 12 种不同的 排列。 3. 相同排列 从排列定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排 列的顺序也必须完全相同。例如，AB 和 BA，虽然元素相同，但由于顺序不同，所以就不是 两个相同的排列，而是两个不同的排列。 4. 排列问题的判断 如何判断一个具体问题是不是排列问题，就看从 n 个不同元素中取出的 m 个元素是有 序还是无序，有序是排列，无序就不是排列。例如，从 2，3，7，21 四个数中任取两个数 相加，可得到多少个不同的和。这四个数中任取两个数出来以后做加法，因为加法满足交 换律，2332，它们的和与顺序无关，因此就不是排列问题。 如果从上面这四个数中任取两个相减，一共有多少个不同的差。因为 3223，这 里有被减数和减数的区别，取出的两个数 2 与 3 就与顺序有关了，这就属排列问题。 5. 排列与排列数 要分清“排列”和“排列数”这两个不同的概念，一个排列是指从 n 个不同元素中， 任取 m 个元素，按照一定顺序排成一列的一种具体排法，它不是数。而排列数是指从 n 个 不同元素中取 m 不同元素的所有排列的个数，它是一个数。如从 a，b，c 中任取两个元素 的排列可以有以下 6 种：ab、ac、ba、bc、ca、cb，每一种都是一个排列，而数字 6 就是 排列数。 6. 关于排列数公式 （1）排列数公式 Pnmn（n1）（nm1） ，其特点是：从自然数 n 开始，后一个 因数比前一个因数小 1，最后一个因数是 nm1，共 m 个因数相乘。 （2）当 mn 时，排列数公式为 Pnnn！相应地从 n 个不同元素中将元素全部取出的 一个排列是全排列。 （3）阶乘的定义是 n！123n， （nN） ，即自然数 1 到 n 的连乘积，为了适应 公式当时的需要，规定这与的规定一样，不 )!( ! mn n P m n nm 1! 0 )0( 1 0 aa 是由定义直接得到的。 （4）排列数的两个公式和前一个公式常) 1() 1(mnnnP m n )!( ! mn n P m n 用心 爱心 专心 用于计算具体的排列数的值，后一个公式常用于含字母的排列数的变形和证明有关等式。 7. 关于排列的应用题 在解关于排列的应用题时，要特别注意如下几点： （1）弄清题意。要明确题目中的事件是什么，可以通过怎样的程序来完成这个事件， 进而是采用相应的计算方法，不能乱套公式，盲目地计算。 （2）弄清问题的限制条件。注意特殊元素和特殊的位置，必要时可画出图形帮助思考。 （3）合理的分类（加法原理）和分步（乘法原理） ，即通过讨论来解决问题。 在排列问题时，常分如下两类基本的方法： 直接法。从条件出发，直接考虑符合条件的排列数； 间接法。先不考虑限制条件，求出所有排列数。然后再从中减去不符合条件的排列 数（排除法） 。 【模拟试题模拟试题】 一、选择题 1. 由数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50000 的偶数共有（ ） A. 24 个 B. 36 个 C. 48 个 D. 60 个 2. 3 位教师、3 名学生站成一排，教师与学生间隔的排法种数为（ ） A. B. C. D. 3 4 3 3A 2A 3 3 3 3A A 3 3 3 3A 2A 3 4 3 3A A 3. 由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字 的个数共有（ ） A. 210 B. 300 C. 464 D. 600 4. 4 名学生和 2 位老师排成一排照相，若 2 位老师必须相邻，学生甲必须站在右端或左 端，则各种可能排法的总数为（ ） A. 96 B. 48 C. 120 D. 60 5. （全国春季高考题）从 6 名志愿者中选出 4 个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项 不同工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ） A. 280 种 B. 240 种 C. 180 种 D. 96 种 6. （上海高考题）计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画、排 成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列 方式有（ ） A. B. C. D. 种 5 5 4 4A A种 5 5 4 4 3 3 AAA种 5 5 4 4 1 3 AAA种 5 5 4 4 2 2 AAA 7. 如果 4 个男生和 3 个女生排成一行照相，规定两端不排女生，并且任意 2 个女生都不 相邻，那么不同排法的种数是（ ） A. B. C. D. 7 7 A 3 3 4 4A A 4 7 3 7A A 2 5 2 4A A 8. 不等式的解集是（ ） 2 x 3 x A3xA A. x|x B. ，N* C. x|3，N* D. 3，N* 9. 用 1，2，3，4，5 这五个数字，可以组成比 2 0000 大，并且百位数字不是 3 的没有 用心 爱心 专心 重复数字的五位数，共有（ ） A. 96 个 B. 78 个 C. 72 个 D. 64 个 10. 用 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数，将这些数从小到大排列，则 2013 是其中第（ ） A. 60 个 B. 21 个 C. 11 个 D. 61 个 11. 有 6 个座位连成一排，3 个人就座，恰有 2 个空位相邻的排法种数是（ ） A. 96 B. 72 C. 48 D. 36 12. 已知集合 A0，2，3，5，7 ，从集合 A 中任取两个元素的积作为集合 B 的元素， 则集合 B 的子集个数为（ ） A. 64 B. 128 C. 16 D. 1024 二、填空题 13. （上海高考题）有 8 本互不相同的书，其中数学书 3 本，外文书 2 本，其他书 3 本. 若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法 共有 _种（结果用数字表示） 。 14. 已知集合 M0，1，2，3，4 ，若 A，互不相等，且 A，M，则满足周期、振幅都大于 2 的正弦曲线 yAsin（x）k 共有 条。 15. 书架上的一格内原有 6 本书，现在再放上 3 本书，但要保持原有的书相对顺序不变， 方法共有 种。 16. 12 个人分坐在四排，每排 3 人，其中甲必在第一排，乙、丙两人必坐第三排，共有 种坐法。 三、解答题 17. 8 个人排成一排，其中甲、乙、丙 3 人中，有 2 人相邻，但这 3 人不同时相邻排列， 求满足条件的所有不同排法的种数。 18. 将a1，a2，a3，a4四个元素排成一排，要a1不排在第一位，a2不排在第二位，a3不 排在第三位，a4不排在第四位，共有多少种排法？ 19. 由 1，2，3，4，5，6 这个 6 个数字排成一排（数字不重复） ，若 1，6 两个数字中间 插入了 2 个数字，问共有多少种不同排法？ 20. 6 个人站成一排，若甲不站排头、乙不站排尾，共有多少种不同的站法？ 21. 从 1 到 9 这 9 个数字中取出 5 个进行排列，问：（1）奇数位置上是奇数的有多少个？ （2）取出的奇数必排在奇数位置上的有多少个？ 22. 由数字 1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字的五位数 120 个，若把这些数从小到 大排成一列数：12345，12354，54321，问： （1）43251 是这一列数的第几个数？ （2）这列数中的第 93 个数是怎样的一个五位数？ （3）求这一列数各数之和（不必具体算出）. 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 一、选择题 1. B 2. C 3. B 解法一（直接法）：解法一（直接法）：分别用 1. 2. 3. 4. 5 作十万位的排列数，共有 5种，故这样 5 5 A 的六位数有个.3005A 2 1 5 5 解法二（间接法）：解法二（间接法）：取 0，1，2，3，4，5 的数字排列数有，而 0 作为十万位的排 6 6 A 列有，故这样的六位数有个。 5 5 A300)AA( 2 1 5 5 6 6 4. A 先排学生甲有种排法，将 2 位老师变成一个元素和其余 3 名学生全排，有 1 2 A 4 4 A 种排法，2 位老师可以调换有种，则各种可能的排法总数为种. 2 2 A 2 2 4 4 1 2 AAA 5. B 6. D 先各看成整体，但水彩画不在两端，则为，然后水彩画与国画各全排列，所以共 2 2 A 有种陈列方式. 5 5 4 4 2 2 AAA 7. B. 8. D. 9. B. 10. D. 11. B 12. A. 二、填空题 13. 将数学书与外文书分别捆在一起与其他 3 本书一起排，有种排法，再将120A5 5 3 本数学书之间交换，有种，2 本外文书之间交换，有种，故共有6A3 3 2A 2 2 2 2 3 3 5 5 AAA 1440 种排法。 14. 本题是排列问题，先考虑有限制条件的 A 和 ，最后排没有限制条件的 和 k，由 周期得： 且 0.先定 A 再定 ，因为振幅 A2，则 A 分为取 3 或取 4 2 T 两类情况：当 A 取 3 时， 只能取 1 或 2，有种方法，那么 和 k 有种取法，此 1 2 A 2 3 A 种情况有正弦曲线 条；当 A 取 4 时， 可以取 1，2，3 中的任意一个，有种方 1 2 A 2 3 A 1 3 A 法，此时 和 k 仍有种取法.这种情况有正弦曲线条.由分类计数原理，共有正 2 3 A 1 3 A 2 3 A 弦曲线30 条。 1 2 A 2 3 A 1 3 A 2 3 A 也可先定 再定 A 解答，同样可得共有正弦曲线 30 条。 1 2 A 2 3 A 1 2 A 2 3 A 2 3 A 用心 爱心 专心 15. 504 A A 6 6 9 9 16. 6531840.先考虑有限制条件的甲、乙、丙 3 人，甲从第一排，有种坐法；乙、 1 3 A 丙坐第三排，有种坐法；其他 9 个人全排在剩余的座位上有种坐法，由分步计数原 2 3 A 9 9 A 理，共有6531840 种坐法。 1 3 A 2 3 A 9 9 A 三、解答题 17. 21600 方法一：方法一：先排出甲、乙、丙以外的 5 个人，有种排法；再从甲、乙、丙 3 人中选 5 5 A 2 人合并为一个元素和余下的 1 人插入 6 个空中，有种插法.故总的排法种数为 2 6 2 3A A 5 5 A 21600。 2 6 2 3A A 方法二：方法二：（间接法） ，先将 8 个人进行全排列，有种排法，其中甲、乙、丙 3 人两 8 8 A 两都不相邻的排法有种；甲、乙、丙 3 个人同时相邻的排法有种，故共有排 3 6 5 5A A 3 3 6 6A A 法种数为（）21600。 8 8 A 3 6 5 5A A 3 3 6 6A A 18. 9 解法一：解法一：把所有符合条件的都列出来:当 a1在第 2 个位置的排列，列出有 a2a1a4a3，a3a1a4a2，a4a1a2a3。同样，当 a1在第 3 位置及第 4 位置时，也各有 3 个排列，因 此满足条件的排列共 9 个。 解法二：解法二：排第一位由 a2，a3，a4中选取，有 3 种方法，后三位置先排 a1也有 3 种方法， 排