普通高等学校招生全国统一考试高考数学信息卷二理

2018年普通高等学校招生全国统一考试最新高考信息卷理 科 数 学（二） 注意事项：1、本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2、回答第卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3、回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，则=（ ）AB或CD【答案】A【解析】由得，解得，或，故故选A2设复数满足，则（ ）A3BC9D10【答案】A【解析】，故选A3已知实数，满足：，则（ ）ABCD【答案】B【解析】函数为增函数，故而对数函数为增函数，所以，故选B4已知命题对任意，总有；命题直线，若，则或；则下列命题中是真命题的是（ ）ABCD【答案】D【解析】构造函数，故函数在上单调递增，故，也即，故为真命题由于两直线平行，故，解得或，当时，与重合，故为假命题故为真命题所以选D5在区域内任意取一点，则的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】画出图象如图阴影部分所示，故概率为，所以选B6将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为（ ）ABCD【答案】C【解析】向右平移个单位长度得带，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到，故选C7宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为5，2，则输出的（ ）A5B4C3D2【答案】B【解析】模拟程序运行，可得：，不满足条件，执行循环体；，不满足条件，执行循环体；，不满足条件，执行循环体；，满足条件，退出循环，输出的值为故选B8已知在锐角中，角，的对边分别为，且则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】由正弦定理和余弦定理得，化简得9如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为（ ）A4BCD【答案】D【解析】如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥其中，平面，则该几何体最长棱的长度故选D10已知点是抛物线的准线上一点，为抛物线的焦点，为抛物线上的点，且，若双曲线中心在原点，是它的一个焦点，且过点，当取最小值时，双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】由于在抛物线准线上，故，故抛物线方程为，焦点坐标为当直线和抛物线相切时，取得最小值，设直线的方程为，代入抛物线方程得，判别式，解得，不妨设，由，解得，即设双曲线方程为，将点坐标代入得，即，而双曲线，故，所以，解得，故离心率为，故选C11如图：在正方体中，点是的中点，动点在其表面上运动，且与平面的距离保持不变，运行轨迹为，当从点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图象大致是（ ）ABCD【答案】D【解析】画出图象如图所示，由于平面平面，故三角形即点的运行轨迹以为坐标原点建立空间直角坐标系，故，当在时，当在时，由此排除A，C两个选项根据图象的对称性可知，当在和上运动时，图象应该对称，故排除B选项所以选D12已知偶函数满足，且，当时，关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由可知函数的对称轴为，由于函数是偶函数，也是它的对称轴，故函数是周期为的周期函数当时，函数在上递增，在上递增，最大值，且由选项可知，所以，解得或根据单调性和周期性画出图象如图所示，由图可知没有整数解根据函数为偶函数，所以在上有个周期，且有个整数解，也即每个周期内有个解，故，解得第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13已知平面向量，的夹角为，且，则_【答案】2【解析】14已知，则的展开式中，常数项为_【答案】【解析】函数是奇函数，则，则，据此可得：，其展开式的通项公式为：，展开式中的常数项满足，即：15如图所示，正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球面积是_【答案】【解析】把正四面体展开成如图所示的菱形，在菱形中，连结，交于，则的长即为的最小值，即如图，设，则，则，即正四面体的棱长为该正四面体的外接球的半径为，该正四面体的外接球的面积为，故答案为16对于任一实数序列，定义为序列，它的第项是，假定序列的所有项都是，且，则_【答案】1000【解析】依题意知是公差为的等差数列，设其首项为，通项为，则，于是由于，即，解得，故三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17数列为正项数列，且对，都有；（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，为数列的前项和，求证：【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1），数列为正项数列，是以为首项，为公比的等比数列，（2），18年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破亿微信用户平均年龄只有岁，的用户在岁以下，的用户在岁之间，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信的数量，现在从北京大学生中随机抽取位同学进行了抽样调查，结果如下：微信群数量频数频率至个至个至个至个个以上合计（1）求，的值；（2）若从位同学中随机抽取人，求这人中恰有人微信群个数超过个的概率；（3）以这个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取人，记表示抽到的是微信群个数超过个的人数，求的分布列和数学期望【答案】（1），；（2）；（3）见解析【解析】（）由已知得，解得，（）记“人中恰有人微信群个数超过个”为事件，则所以，人中恰有人微信群个数超过个的概率为（）依题意可知，微信群个数超过个的概率为的所有可能取值，则，所以的分布列为：数学期望19如图，在四棱锥中，四边形为梯形，且，是边长为2的正三角形，顶点在上的射影为点，且，（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：由顶点在上投影为点，可知，取的中点为，连结，在中，所以在中，所以所以，即，面又面，所以面面（2）由（1）知，且，所以面，且面以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，设平面，的法向量分别为，则，则，则，所以二面角的余弦值为20已知曲线，曲线，且与的焦点之间的距离为，且与在第一象限的交点为（1）求曲线的方程和点的坐标；（2）若过点且斜率为的直线与的另一个交点为，过点与垂直的直线与的另一个交点为设，试求取值范围【答案】（1），；（2）【解析】（1）曲线的焦点坐标为，曲线的焦点坐标为，由与的焦点之间的距离为2，得，解得，的方程为由，解得（2）设直线的方程为，即，由，得则，又直线的方程为，即，由，得，则，同理，即综上所述：21已知（1）求函数的极值；（2）设，对于任意，总有成立，求实数的取值范围【答案】（1）的极小值为，极大值为；（2）【解析】（1），所以的极小值为，极大值为（2）由（1）可知当时，函数的最大值为，对于任意，总有成立，等价于恒成立，时，因为，所以，即在上单调递增，恒成立，符合题意当时，设，所以在上单调递增，且，则存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以不恒成立，不合题意综合可知，所求实数的取值范围是请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22已知曲线的参数方程为（为参数）；直线（，）与曲线相交于，两点，以极点为原点，极轴为轴的负半轴建立平面直角坐标系（1）求曲线的极坐标方程；（2）记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数）