山西忻州静乐高三数学下学期月考

山西省忻州市静乐县2019届高三数学下学期6月月考试题（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.若集合则“”是“”的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】化简A，B，根据，列出不等式，解得，然后根据充要条件的定义判断即可【详解】，要使，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故选C【点睛】本题考查充要条件的判定，正确把握充要条件的判定是解题的关键，属于基础题2.记复数z的虚部为，已知复数为虚数单位），则为( )A. 2B. -3C. D. 3【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则化简z求解,即可得解.【详解】，复数z的虚部为，答案选：B【点睛】本题考查复数计算，属于基础题3.已知函数（，）的零点构成一个公差为的等差数列，则的一个单调递增区间是A. B. C. D. 【答案】C【解析】 , ,所以由 得,所以选C.4.已知点为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：设的内切圆半径为，由，用的边长和表示出等式中的三角形面积，结合双曲线的定义得到与的不等式，可求出离心率取值范围.详解：设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，由题意得，故，故，又，所以，双曲线的离心率取值范围是，故选D.点睛：本题主要考查利用双曲线的定义、简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.5.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体内自由飞翔，由它飞入几何体内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为VFAMCDSAMCDDFa3，VADFBCEa3，所以它飞入几何体FAMCD内的概率为.选D6.已知圆，平面区域，若圆心，且圆C与x轴相切，则圆心与点连线斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】分析：画出可行域，由可行域结合圆与轴相切，得到且，从而可得结果.详解： 画出可行域如图，由圆的标准方程可得圆心，半径为，因为圆与轴相切，所以，直线分别与直线与交于点，所以，圆心与点连线斜率为时，；时，所以圆心与点连线斜率的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于中档题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.7.已知正项等比数列满足,若存在两项使得，则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，求出公比的值，利用存在两项，使得，写出之间的关系，结合基本不等式即可得到最小值【详解】设等比数列的公比为，存在两项使得，,，当且仅当时取得等号，则有，又由，得时，取最小值为答案：B【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题8.函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。【详解】，排除，B，C，当时，则时，排除A，故选：D【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法结合函数的极限思想是解决本题的关键。9.已知是上的奇函数，则数列的通项公式为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由在上为奇函数，知，令，则，得到由此能够求出数列的通项公式【详解】由题已知是上的奇函数故，代入得： 函数关于点对称，令，则，得到， 倒序相加可得，即 ，故选：B【点睛】本题考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解属难题10.平行四边形中，在上投影的数量分别为，-1，则在上的投影的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算和数量积求出结果【详解】建立直角坐标系：设，则，解得：，所以，则在上的投影，令，则，令，则有，在上，单调递增，故，故，则在上的投影的取值范围是【点睛】本题考查向量的投影问题，求取值范围的时候注意要讨论函数的单调性，属于基础题11.将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OM，求出球O的半径，即可求解球O的表面积【详解】BCD中，BD=1，CD=1，BDC=120，底面三角形的底面外接圆圆心为M，半径为：r,由余弦定理得到BC=，再由正弦定理得到 见图示：AD是球的弦，DA=，将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起，提起到AD的高度的一半，即为球心的位置O，OM=，在直角三角形OMD中，应用勾股定理得到OD，OD即为球的半径.球的半径OD=该球的表面积为：4OD2=7；故选：B【点睛】涉及球与棱柱、棱锥切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.12.定义在上的可导函数满足，且，当时，不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，可得在定义域内上是增函数，且，进而根据转化成，进而可求得答案【详解】令，则，在定义域上是增函数，且，可转化成，得到，又，可以得到故选D【点睛】本题考查利用函数的单调性求取值范围，解题的难点在于如何合理的构造函数，属于中档题二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13.我国古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入,时，输出的_.【答案】18【解析】【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可【详解】模拟程序框图的运行过程，如下：，执行循环体：，不满足退出循环的条件，继续；执行循环体：，不满足退出循环的条件，继续；执行循环体：，满足退出循环条件，退出循环，输出的值为18答案：18【点睛】本题考查程序框图，注意模拟程序框图的运行过程，属于基础题14.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为，则_.【答案】【解析】【分析】利用列举法求出方案一坐到“3号”车的概率为，利用古典概型求出方案二坐到“3号”车的概率为，由此能求出结果【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321方案一坐车可能：132、213、231，所以，；方案二坐车可能：312、321，所以，；所以，答案：【点睛】本题考查概率的计算，属于基础题15.设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_.【答案】【解析】对任意，不等式恒成立，则等价为恒成立，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时，取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为.16.设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】由题意可得在的最大值为，中之一，可得四个不等式，相加，再由绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值【详解】去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，中之一，所以可得，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为故答案为【点睛】本题考查函数的最值求法、绝对值不等式的性质，以及转化思想的应用，属于难题转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将函数最值问题转化为绝对值不等式问题.三、解答题（解答应学出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分）17.在中，角所对的边分别为,且 .（1）求角C；（2）若的中线CE的长为1，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理化简，结合余弦定理，可得角的大小；（2）利用三角形中线长定理，再利用余弦定理化简后，结合基本不等式可得的最大值，即可求得面积的最大值【详解】（1）由，得： ，即,由余弦定理得， .（2）由余弦定理：，由三角形中线长定理可得：+得 即，当且仅当时取等号所以【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形中线长定理的应用，属于基础题18.某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品如图是甲流水线样本的频数分布表和乙流水线样本的频率分布直方图 （1）根据频率分布直方图，估计乙流水线生产的产品该质量指标值的中位数；（2）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（3）根据已知条件完成下面列联表，并回答是否有的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？甲流水线乙流水线合计合格品不合格品合计附：，其中.临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意得到关于中位数的方程，解方程可得乙流水线生产产品该质量指标值的中位数； （2）求出甲，乙两条流水线生产的不合格的概率，即可得出结论； （3）计算可得的近似值，结合参考数值可得结论【详解】（1）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x，因为， 则， 解得.（2）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为，乙流水线生产的产品为不合格品的概率为，于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为；（3）22列联表：甲生产线乙生产线合计合格品354075不合格品151025合计5050100则，因为1.32.072，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”【点睛】本题主要考查频率分布直方图计算中位数的方法，独立性检验的应用，古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱中点，（I）求证：平面（II）求证：平面（III）在棱的上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）见解析.【解析】试题分析：（）连结AB1交A1B于O，连结OM，可证OMB1C，又OM平面A1BM，B1C平面A1BM，即可证明B1C平面A1BM（）易证AA1BM，又可证BMAC1，由AC=2，AM=1，可求AC1C+C1AC=A1MA+C1AC=90，从而可证A1MAC1，从而证明AC1平面A1BM（）当点N为BB1中点时，可证平面AC1N平面AA1C1C，设AC1中点为D，连结DM，DN，可证BMDN，由BM平面ACC1A1，可证DN平面ACC1A1，即可证明平面AC1N平面ACC1A1试题解析：（I）证明：连接交于点，连接，在中，分别是，中点，又平面，平面，平面（II）底面，平面，又棱中点，点，平面，为中点，又在与中，点，平面（III）存在点，当时成立，设中点为，连接，分别为，中点，为中点，平面，平面，又平面平面平面点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与相交于两点，与相交于两点，且，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】由双曲线的顶点可得，求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得，即可得到椭圆方程设直线的方程为，联立双曲线方程，消去，运用韦达定理和判别式大于，结合向量的数量积的坐标表示，求得的关系式，再由直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求【详解】（1）由题意可知：，又椭圆的上顶点为，双曲线的渐近线为：，由点到直线的距离公式有：，所以椭圆的方程为。（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，消去并整理得：，要与相交于两点，则应有： 设，则有：，.又 .又：，所以有： ，将，代入，消去并整理得：，要有两交点，则 .由有：设、.有：，.将代入有：.,令,令 ,.所以在内恒成立，故函数在内单调递增，故 .【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查了渐近线方程的运用，同时考查了直线和椭圆及双曲线方程的联立，运用韦达定理和弦长公式，考查了化简整理的运算能力，有一定的难度。21.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于两点，其横坐标分别为，线段的中点的横坐标为，且恰为函数的零点，求证：【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）对函数求导后，利用导数与函数单调性的关系，对进行讨论可得函数单调性；（2）由函数的导函数可知，又是的零点，代入相减化简得，对求导， .令，求得函数.不等式得证试题解析：（1）由于的定义域为，则.对于方程，其判别式.当，即时，恒成立，故在内单调递增.当，即，方程恰有两个不相等是实，令，得或，此时单调递增；令，得，此时单调递减.综上所述，当时，在内单调递增；当时，在内单调递减，在，内单调递增.（2）由（1）知，所以的两根，即为方程的两根.