四川双流中学学高二数学下学期月考试卷

四川省双流中学2016-2017学年高二数学下学期6月月考试卷（含解析）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，那么( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】A=x|3x0,ln(x+1)0，则命题p为真命题，则p为假命题；利用对勾函数的性质可得命题q是假命题，则q是真命题。pq是假命题，pq是真命题，pq是假命题，pq是假命题。本题选择B选项.4.图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】球的半径为2，圆锥的半径为2，高为2；则V=V半球-V圆锥=，本题选择D选项.5.设，则“”是“”的（ ）A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件C. 即不充分也不必要条件 D. 充要条件【答案】A【解析】由可得，由可得“”是“”的充分不必要条件故选A6.将函数的图象向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得函数的图象，则图象的一个对称中心为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】将函数的图象向右平移个单位,可得的图象；再把所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),可得的图象。令,求得,令k=0,可得g(x)图象的一个对称中心为，本题选择D选项.7.执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为( )A. 243 B. 363 C. 729 D. 1092【答案】D【解析】模拟程序的运行可得：当x=3时，y是整数；当x=32时，y是整数；依此类推可知当x=3n(nN)时，y是整数，则由x=3n1000，得n7，所以输出的所有x的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，本题选择D选项.8.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，则的中点到准线的距离为( )A. B. 4 C. 3 D. 【答案】B【解析】F是抛物线y2=4x的焦点F(1,0)，准线方程x=1，设M(x1,y1),N(x2,y2)|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=8，解得x1+x2=6线段AB的中点横坐标为3，线段AB的中点到该抛物线准线的距离为3+1=4.本题选择B选项.9.已知定义在上的函数满足：对任意，有；当时，.若函数，则函数在区间上的零点个数是( )A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】作出f(x)与g(x)的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在(4,5)上有9个交点，y=f(x)g(x)在区间(4,5)上有9个零点。本题选择C选项.10.已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为( )A. B. C. 2 D. 【答案】C【解析】双曲线的右顶点为A(a,0)，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若,可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：，可得：,即.11.在平面直角坐标系中，记抛物线与x轴所围成的平面区域为，该抛物线与直线y(k0)所围成的平面区域为，向区域内随机抛掷一点，若点落在区域内的概率为，则k的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析:因区域的面积,由可得交点的横坐标，而区域的面积，由题设可得，解之得，故应选A.考点：几何概型的计算公式及运用.12.已知函数，若存在使得成立，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】表示点与点距离的平方，点的轨迹是函数的图象，的轨迹是直线则作的图象平行于直线的切线，切点为，则，所以，切点为，所以，若存在使得成立，则，此时恰好为垂足，所以，解得故本题答案选点睛：本题主要考查函数性质,利用数形结合的方法求参数取值.函数有零点(方程有根),求参数取值常用以下方法(1)直接法:直接根据题目所给的条件,找出参数所需要满足的不等式,通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离成参数与未知量的等式,将含未知量的等式转化成函数,利用求函数的值域问题来解决;(3)数形结合法:先对解析变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后结合图像求解.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知上的奇函数满足：当时，则_.【答案】【解析】根据条件，14.已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值为_.【答案】【解析】由题意可得：，则：，由平面向量的夹角公式可得：，解得：.15.设第一象限内的点满足约束条件，若目标函数，的最大值为40，则的最小值为_.【答案】【解析】不等式表示的平面区域阴影部分，当直线ax+by=z(a0,b0)过直线xy+2=0与直线2xy6=0的交点(8,10)时，目标函数z=ax+by(a0,b0)取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，而当且仅当时取等号，则的最小值为.16.函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定（为线段AB的长度）叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：函数图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则；存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；设点A,B是抛物线上不同的两点，则；设曲线（e是自然对数的底数）上不同两点，若恒成立，则实数t的取值范围是.其中真命题的序号为_.（将所有真命题的序号都填上）【答案】【解析】试题分析：错： 对：如；对；错；，因为恒成立，故故答案为考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列中，为其前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)令，若对一切成立，求最小正整数的值.【答案】(1) ;(2)5.【解析】试题分析：(1)由题意求得，则数列的通项公式为.(2)裂项求得数列的前n项和为，结合单调性可得最小正整数的值是5.试题解析：(1)等差数列中，为其前项和，解得，.(2)时， ，当时，上式成立，随递增，且，最小正整数的值为5.18.为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室随机选20名女生作为样本，测量她们的体重(单位：kg)，获得的所有数据按照区间，进行分组，得到频率分布直方图如图所示，已知样本中体重在区间上的女生数与体重在区间上的女生数之比为.(1)求的值；(2)从样本中体重在区间上的女生中随机抽取两人，求体重在区间上的女生至少有一人被抽中的概率.【答案】(1)，.(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合频率分布直方图得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得，.(2)列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得体重在区间上的女生至少有一人被抽中的概率是.试题解析：(1)样本中体重在区间上的女生有(人)，样本中体重在区间上的女生有(人)，依题意，有，即，根据频率分布直方图可知，解得，.(2)样本中体重在区间上的女生有人，分别记为，体重在区间上的女生有人，分别记为，从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况：，,， ，.其中体重在上的女生至少有一人被抽中共有9种情况：， ，.记“从样本中体重在区间上的女生中随机抽取两人，体重在区间上的女生至少有一人被抽中”为事件，则.19.如图所示，在等腰直角三角形中，为的中点，点在上，且，现沿将折起到的位置，使，点在上，且.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量即可证得平面；(2)求得平面的法向量，结合夹角公式可得二面角的余弦值是.试题解析：(1)因为，所以建立以点为原点，分别以所在直线为轴的空间直角坐标系，如图所示.则，.易知为平面的一个法向量，又因为，所以，又平面，所以平面.(2)由(1)知，设平面的法向量为，则，即.令，解得为平面的一个法向量，又因为为平面的一个法向量，所以，所以二面角的余弦值为.20.定圆,动圆过点且与圆相切，记圆心的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）设点在上运动,与关于原点对称，且,当的面积最小时, 求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：（）由两圆的相切的关系判断可得点的轨迹是一个椭圆，由椭圆标准方程易得；（）由已知得，因此先求当是实轴时，S2，当AB斜率存在且不为0时，设方程为，代入椭圆方程可求得A点坐标，从而得，而OC斜率为，同理得，由可用表示出面积，最后由基本不等式可得最小值，还要与斜率为0的情形比较后可得试题解析：（）因为点在圆内，所以圆N内切于圆M，因为|NM|+|NF|=4|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆，且，所以b=1，所以轨迹E的方程为（）（i）当AB为长轴（或短轴）时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时=2（ii）当直线AB的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为y=kx，联立方程得，所以由|AC|=|CB|知，ABC为等腰三角形，O为AB的中点，OCAB，所以直线OC的方程为，同理得，由于，所以，当且仅当1+4k2=k2+4，即k=1时等号成立，此时ABC面积的最小值是，因为，所以ABC面积的最小值为，此时直线AB的方程为y=x或y=x考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题21.已知函数（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值；（3）若函数有两个不同的零点，求证：【答案】（1）；（2）当时，当时，当时，；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）因为点在曲线上，所以，解得，利用导数求得斜率为，故切线为；（2），将分成四类，讨论函数的单调区间进而求得最大值；（3）不妨设，因为，所以，要证明，即证明，令，即证，令（），利用导数求得的最小值大于零即可.试题解析：（1）因为点在曲线上，所以，解得因为，所以切线的斜率为0，所以切线方程为（2）因为，当时，所以函数在上单调递增，则；当，即时，所以函数在上单调递增，则；当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则；当，即时，函数在上单调递减，则综上，当时，；当时，；当时，（3）不妨设，因为，所以，可得，要证明，即证明，也就是，因为，所以即证明，即，令，则，于是，令（），则，故函数在上是增函数，所以，即成立，所以原不等式成立考点：导数与切线、最值.【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数，然后利用导数求其最小值来求.22.已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系在直角坐标系中，倾斜角为的直线过点（）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；（）设点和点的极坐标分别为，若直线经过点，且与曲线相交于两点，求的面积【答案】（），；（）.【解析】试题分析：()运用极坐标与直角坐标之间的关系求解；()借助题设条件和直线的参数方程求弦,再求点到的距离,最后运用面积公式求解.试题解析:（）曲线化为：，再化为直角坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）（）由（）将点的极坐标化为直角坐标得，易知直线的倾斜角，所以直线的参数方程为（为参数），将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，整理得：，设为方程的