云南玉溪一中高二数学下学期期中理

玉溪一中20182019学年下学期高二年级期中考试理科数学试卷一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数满足，则（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由复数的除法运算求出，再由复数模的计算公式即可得出结果.【详解】由得，.故选B【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的模，熟记运算法则以及模的计算公式即可，属于基础题型.2.命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论.【详解】因为的否定为，所以选A.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论.3.设向量，若，则（ ）A. B. -1C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据即可得出，解出即可【详解】故选：【点睛】考查主要考查向量坐标的概念以及平行向量的坐标关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.某空间几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）A. 三棱柱B. 三棱锥C. 四棱柱D. 四棱锥【答案】D【解析】【分析】根据三视图知该几何体是一个立放的四棱锥【详解】根据三视图知，该几何体是一个立放的四棱锥，如图所示；故选：D【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，属于基础题5.正整数N除以正整数后的余数为，记为，例如.如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理”，若执行该程序框图，当输入时，则输出（ ）A. 28B. 31C. 33D. 35【答案】B【解析】【分析】先理解给出的定义，然后根据程序框图寻求内涵的规律，计算可求.【详解】根据程序框图可知，输入，然后寻找除以3和5都余1的数，可知31符合要求，退出循环体，故选B.【点睛】本题主要考查程序框图的识别，一般处理策略是逐步验算得出结果，或者观察其含有的规律得出一般性结论求解.6.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了（ ）A. 6里B. 12里C. 24里D. 96里【答案】A【解析】【分析】由题意可知该问题为等比数列的问题，设出等比数列的公比和首项， 依题意可求出首项和公比，进而可求出结果.【详解】由题意可得，每天行走的路程构造等比数列，记作数列，设等比数列的首项为，公比为，依题意有，解得，则，最后一天走了6里，故选A.【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的概念以及通项公式和前n项和公式即可，属于基础题型.7.已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线斜率为A. B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得的导数，设出切点，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得m，从而可得结果【详解】函数的导数为，设切点为，则，可得切线的斜率为，所以，解得，故选B【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.8.已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则（ ）A. B. 4C. D. 2【答案】C【解析】【分析】先把极坐标方程化为直角坐标方程，然后结合平面解析几何知识求解.【详解】因为圆的极坐标方程为，所以化为直角坐标方程为，圆心为；因为点的极坐标为，所以化为直角坐标为，所以.【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标间的相互转化，熟记转化公式是求解关键.9.已知，则的最小值为（ ）A. B. 6C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合所给表达式特点，构造均值定理的结构，利用均值定理求解最小值.【详解】，当且仅当时等号成立.故选B.【点睛】本题主要考查均值定理的应用，使用均值定理求解最值时，一要注意每一项必须为正实数，二是要凑出定值，三是要验证等号成立的条件，三者缺一不可，尤其是等号不要忘记验证.10.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用（万元）2345销售额（万元）25374454根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）A. 61.5万元B. 62.5万元C. 63.5万元D. 65.0万元【答案】C【解析】【分析】先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据回归直线经过样本中心点，求出，得到线性回归方程，把代入即可求出答案。【详解】由题意知，则，所以回归方程为，则广告费用6万元时销售额为，故答案为C.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用，属于基础题。11.已知三棱锥中，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先作出图形，结合长度关系证明为直角三角形，确定球心，求出半径得到体积.【详解】，为直角三角形；取中点,如图，则， 为三棱锥外接球的球心，且半径；外接球的体积为，故选A.【点睛】本题主要考查三棱锥外接球的体积，此类问题的一般求解思路是：根据条件确定球心位置，然后求出半径，代入公式可得体积；或者构造模型借助模型求解.12.设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，点在双曲线的右支上且，的面积为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 4C. D. 2【答案】C【解析】【分析】先根据条件确定三角形为直角三角形，结合面积和双曲线的定义可得的关系，从而可得离心率.【详解】由，得所以为直角三角形且.因为的面积为，所以由得由双曲线定义得，所以，即，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求解，求解离心率的关键是构建的关系，三角形的形状判断及其面积的使用为解题提供了思考的方向.二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若非零实数满足条件，则下列不等式一定成立的是_ ； ；.【答案】【解析】【分析】可以利用不等式的性质或者特殊值求解.【详解】对于，若，则，故不正确；对于，若，则，故不正确；对于，若，则，故不正确；对于，由为增函数，所以，故正确；对于，由为减函数，所以，故正确；所以正确的有.【点睛】本题主要考查不等式的性质，不等式的正确与否一般是利用特殊值来验证.14.设实数满足约束条件，则的最大值为_【答案】1【解析】【分析】作出可行域，平移目标函数得到最值点，联立方程组得到最值点，代入目标函数可得最值.【详解】作出可行域如图，平移目标函数可知在点A处取到最大值，联立得，代入得最大值为1.【点睛】本题主要考查线性规划求解线性目标函数的最值，一般步骤是先作出可行域，平移目标函数，得出最值点，求出最值.15.已知数列满足 ，则数列的通项公式_【答案】【解析】【分析】先对式子进行变形得到可知为等差数列，从而可得通项公式.【详解】因为，所以所以是以1为首项和公差的等差数列，所以，故.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，通过构造等差数列求解数列的通项公式，如何构造等差数列是求解这类问题的关键，一般是根据递推关系式的特点，结合等差数列的定义形式来进行构造，侧重考查转化与化归的数学思想.16.对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】先对式子进行变形，拆分为两个函数，利用导数求出它们的最值，根据集合之间的关系，进行求解.【详解】因为，所以，设，则，因为，所以，为增函数，所以.令，因为，所以在为减函数，在为增函数，在为减函数；要使存在三个使得，则有所以，解得.故填.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值问题，构造函数是求解本题的关键，侧重考查逻辑推理，数学建模的核心素养.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在中，角的对边分别为， 且， 若.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知，结合sinA0，sinB0，可求cosB，结合范围0B，可得B的值；（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac的值，由余弦定理得a+c4，联立解得a，c的值，由正弦定理即可解得sinA的值【详解】（1）在DABC中，sin(B+C) = sinA , 由正弦定理和已知条件得：sinAtanB = 2sinBsinA , 由于sinA 0 , sinB 0, 则有：cosB =, 又0Bc，得：a=3,c=1 , 由正弦定理得：,sinA = .【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18.从甲、乙两班各随机抽取10名同学，下面的茎叶图记录了这20名同学在2018年高考语文作文的成绩（单位：分）.已知语文作文题目满分为60分，“分数分，为及格；分数分，为高分”，且抽取的甲、乙两班的10名同学作文平均分都是44分. （1）求的值；（2）若分别从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生，请列举出所有的基本事件；并求抽到的学生中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率.【答案】(1) ， (2) 【解析】【分析】（1）由平均数的计算公式，结合题中数据即可求出结果；（1）用列举法列举“甲班学生成绩高于乙班学生成绩”所包含的基本事件，以及“分别从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生”所包含的基本事件总数，基本事件的个数比即是所求概率.【详解】解：（1）因为甲的平均数为44，所以，解得.同理，因为乙的平均数为44.所以，解得.（2）甲班成绩不低于高分的学生成绩分别为48，50，52，56共4人，乙班成绩不低于高分的学生成绩分别为50，52，57，58共4人，记表示从甲、乙两班随机各抽取1名学生的成绩，其中前一个数表示从甲班随机抽取1名学生的成绩，后一个数表示从乙班随机抽取1名学生的成绩.从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生，共有种情况；其中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的有，共3种；故由古典概型得，抽到的学生中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率.【点睛】本题主要考查平均数的计算公式，以及列举法求古典概型的概率问题，熟记公式即可求解，属于基础题型.19.如图，在多面体中，为等边三角形，,，点为边的中点.（1）求证:平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形，得到线线平行，从而可证线面平行；（2）作出平面的垂线，找到直线与平面所成的角，结合直角三角形可求.【详解】（1）取中点，连结，是平行四边形，平面，平面，平面. （2）平面;平面，又等边三角形，平面;由（1）知，平面,即有平面平面;取中点，连结，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角，过作，垂足为，连接. 平面平面，平面，平面. 为斜线在面内的射影，为直线与平面所成角，在中， . 直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间中的线面平行和线面角，直线和平面平行一般的求解策略有两个：一是在平面内寻求和直线平行的直线，利用直线和直线平行得出直线和平面平行，此类方法的难点是辅助线的作法；二是利用平面和平面平行来证明直线和平面平行.线面角的求解主要有定义法和向量法两种.20.已知椭圆的方程为：， 且平行四边形的三个顶点都在椭圆上，为坐标原点（1）当弦的中点为时，求直线的方程；（2）证明：平行四边形的面积为定值【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据中点可得，利用点差法可得斜率，从而可得方程；（2）设出直线方程与椭圆联立，结合韦达定理，求出平行四边形的面积表达式，得出定值.【详解】（1）的中点坐标为，设，两式相减可得，即，直线的方程为，即；证明（2）：当直线斜率不存在时，平行四边形为菱形，易得设直线的方程为：与椭圆相交于两点，设，将其代入得，即又，四边形为平行四边形. 点坐标为点在椭圆上，整理得点到直线的距离为，.【点睛】本题主要考查直线方程的求解和椭圆中的定值问题，直线方程求解时，主要有待定系数法和点差法，点差法主要适用于已知弦中点求解方程的类型.椭圆的定值问题一般求解方法是：先求解目标的表达式，结合其它条件把目标式中未知量转化为一个，一般都可以消去参数得到定值.21.已知函数，,令.（1）求函数的单调递增区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；（3）若，且正实数满足，求证：【答案】（）（0，1）；（）2；（）详见解析.【解析】【分析】（I）先求得函数的定义域，然后利用导数求出函数的单调递增区间.（II）构造函数，利用导数求得的最大值，这个最大值恒为非负数，由此求得整数的最小值.（III）当时，化简，利用构造函数法以及导数求其最小值，证得【详解】解：（）f（x）的定义域为：x|x0，f（x）x，（x0），由f（x）0，得：0x1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）（）F（x）f（x）+g（x）lnxmx2+x，x0，令G（x）F（x）（mx1）lnxmx2+（1m）x+1，则不等式F（x）mx1恒成立，即G（x）0恒成立G（x）mx+（1m），当m0时，因为x0，所以G（x）0所以G（x）在（0，+）上是单调递增函数，又因为G（1）ln1m12+（1m）+1m+20，所以关于x的不等式G（x）0不能恒成立，当m0时，G（x），令G（x）0，因为x0，得x，所以当x（0，）时，G（x）0；当x（，+）时，G（x）0，因此函数G（x）在x（0，）是增函数，在x（，+）是减函数，故函数G（x）的最大值为：G（）lnm（1m）1lnm，令h（m）lnm，因为h（m）在m（0，+）上是减函数，又因为h（1）0，h（2）ln20，所以当m2时，h（m）0，所以整数m的最小值为2（）m1时，F（x）lnxx2+x，x0，由F（x1）F（x2），得F（x1）+F（x2）0，即lnx1x1+lnx2x20，整理得：（x1+x2）x1 x2ln（x1 x2），令tx1x20，则由（t）tlnt，得：（t），可知（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增，所以（t）（1）1，所以（x1+x2）1，解得：x1+x21，或x1+x21，因为x1，x2为正整数，所以：x1+x21成立.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式.（二）选考题：共10分,请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以