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福建省福鼎一中高一数学函数的性质培优教材一、 基本性质:1. 函数图像的对称性(1) 奇函数与偶函数:奇函数图像关于坐标原点对称,对于任意,都有成立;偶函数的图像关于轴对称,对于任意,都有成立。(2) 原函数与其反函数:原函数与其反函数的图像关于直线对称。 若某一函数与其反函数表示同一函数时,那么此函数的图像就关于直线对称。(3) 若函数满足,则的图像就关于直线对称;若函数满足,则的图像就关于点对称。(4) 互对称知识:函数的图像关于直线对称。2函数的单调性 函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质(如复合函数的单调性) 特别提示:函数的图像和单调区间。3函数的周期性 对于函数,若存在一个非零常数,使得当为定义域中的每一个值时,都有成立,则称是周期函数,称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数,就称其为最小正周期。(1) 若是的周期,那么也是它的周期。(2) 若是周期为的函数,则是周期为的周期函数。(3) 若函数的图像关于直线对称,则是周期为的函数。(4) 若函数满足,则是周期为的函数。4高斯函数对于任意实数,我们记不超过的最大整数为,通常称函数为取整函数。又称高斯函数。又记,则函数称为小数部分函数,它表示的是的小数部分。高斯函数的常用性质:(1) 对任意 (2) 对任意,函数的值域为(3) 高斯函数是一个不减函数,即对于任意(4) 若,后一个式子表明是周期为1的函数。(5) 若 (6) 若二、综合应用例1:设是R上的奇函数,求的值。例2:设都是定义在R上的奇函数,在区间上的最大值为5,求上的最小值。例3:已知_例4:设均为实数,试求当变化时,函数的最小值。例5:解方程:(1) (2)例6:已知定义在R上的函数满足,当,;(1) 求证:为奇函数; (2)求在上的最值;(3)当不等式恒成立,求实数的取值范围。例7:证明:对于一切大于1的自然数,恒有例8:设是定义在Z上的一个实值函数,满足,求证:是周期为4的周期函数。 例9:给定实数,定义为不大于x的最大整数,则下列结论中不正确的序号是 ( )例10:求方程的实根个数。三、 强化训练:1. 已知(a、b为实数),且,求的值。2. 若方程有唯一解,求a的所有取值。3. 已知函数定义在非负整数集上,且对任意正整数x,都有。若,求的值。4. 函数定义在实数集R上,且对一切实数x满足等式设的一个根是,记中的根的个数是N,求N的最小值。5. 若函数的图像关于直线对称,且关于点对称,求证是周期函数。6. 求数列的最小项,其中7. 已知的解集为,解不等式8. 设是定义在上的增函数,对任意,满足。(1)求证:当(2)若,解不等式9. 已知,求满足的的值。10. 求和:参考答案例1:周期为4,例2:记,则为奇函数。在上的最小值为-1.例3:在上为增函数,例4:,换元后研究函数的单调性当时;当时例5:(1)构造,利用单调性得:(2) 构造递增函数,利用解得:例6:(2) (3)例7:构造,证明是递增数列,故例8:令得例9:例10: (1)当时,代入原方程解得 (2
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