江苏常州“教学研究合作联盟”高二数学期中

江苏省常州市“教学研究合作联盟”2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 命题“xR，x20”的否定为（）A. ,B. ,C. ,D. ,2. 已知函数f（x）=x+（x0），则下列结论正确的是（）A. 有最小值4B. 有最大值4C. 有最小值D. 有最大值3. 已知数列an的首项a1=1，且满足an+1=，则此数列的第三项是（）A. 1B. C. D. 4. 已知a，b为实数，M：，N：ab，则M是N的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5. 关于x的不等式0的解集是（）A. B. C. D. 或6. 已知a，b为非零实数，且a-b0，则下列结论一定成立的是（）A. B. C. D. 7. 已知数列an，其任意连续的四项之和为20，且a1=8，a2=7，a3=2，则a2020=（）A. 2B. 3C. 7D. 88. “x1，2，ax2+10”为真命题的充分必要条件是（）A. B. C. D. 9. 已知实数x1，x2，m，n满足x1x2，mn，且（m-x1）（n-x1）0，（m-x2）（n-x2）0，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 10. 已知数列an、bn均为等差数列，其前n项和分别记为An、Bn，满足=，则的值为（）A. B. C. D. 11. 设正实数x，y满足x+2y=1，则的最小值为（）A. 4B. 6C. 7D. 812. 已知数列an的通项an=，且存在正整数T，S使得aTanaS对任意的nN*恒成立，则T+S的值为（）A. 15B. 17C. 19D. 21二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在各项均为正数的等比数列an中，若a4a6a8a10=16，则的值为_14. 函数f（x）=x2+（x1）的最小值为_15. 已知数列an满足a1=，n（n+1）（an+1-an）=an+1an，则该数列an的通项公式an=_16. 已知关于x的不等式（4x-3）24ax2的解集中的整数解恰好有三个，则实数a的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知数列an是一个公差为d（d0）的等差数列，前n项和为Sn，a2、a4、a5成等比数列，且S5=-15（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前10项和18. 已知p：x2-2x-350，q：x2-3mx+（2m-1）（m+1）0（其中实数m2）（1）分别求出p，q中关于x的不等式的解集M和N；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围19. 已知函数f（x）=-x2+a|x-3|+9（1）a=2时，解关于x的不等式f（x）0；（2）若不等式f（x）0对任意xR恒成立，求实数a的取值范围20. 已知数列an中，a1=4，（n+1）an+1-（n+2）an=（n2+3n+2）2n（1）设bn=，求数列bn的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn21. 已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为AD=x，CD=y（单位：cm），且要求yx，部件的面积是cm2（1）求y关于x的函数表达式，并求定义域；（2）为了节省材料，请问x取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值22. 已知数列an，a1=1，前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有2Sn=（n+1）an恒成立（1）求数列an的通项公式；（2）已知关于n的不等式对一切n3，nN*恒成立，求实数a的取值范围；（3）已知cn=（）2，数列cn的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小并证明答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“R，x20”的否定是xR，x20故选：D直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可本题考查命题的否定同学明天与全称命题的否定关系，是基础题2.【答案】D【解析】解：x0，-x0，f（x）=x+=-（-x）+-2=-4，当且仅当（-x）=，即x=-2时取等号，f（x）有最大值-4，故选：D根据基本不等式即可求出本题考查最值的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于基础题3.【答案】D【解析】解：数列an的首项a1=1，且满足an+1=，可得a2=a1+=+=，a3=a2+=+=，故选：D由已知数列的递推式，分别令n=1，n=2，计算可得所求值本题考查数列递推式的运用：求其中的某一项，考查运算能力，是一道基础题4.【答案】A【解析】解：a，b为实数，由，能够得到ab，反之，由ab，不一定有，如-3-2，而无意义M是N的充分不必要条件故选：A由不等式的性质结合充分必要条件的判定得答案本题考查充分必要条件的判定，考查不等式的性质，是基础题5.【答案】C【解析】解：由0可得，解可得，x|-3x1故选：C由0可得，结合二次不等式的求法即可求解本题主要考查了分式不等式的求解，解题的关键是转化为二次不等式的求解6.【答案】C【解析】解：a，b为非零实数，且a-b0，所以ab，a2-b2=（a-b）（a+b），ab2-ba2=ab（b-a），无法判断正负，而成立，故选：C作差法判断不等式是否成立即可本题利用作差法判断不等式问题，基础题7.【答案】B【解析】解：数列an，其任意连续的四项之和为20，且a1=8，a2=7，a3=2，所以a4=3，a5=8，a3=7，数列是周期数列，数列的周期为：4，a2020=a5044+4=a4=3故选：B判断数列的周期性，然后转化求解a2020本题考查数列的周期性，递推关系式的应用，考查计算能力，是基本知识的考查8.【答案】B【解析】解：“x1，2，使ax2+10”为真命题，等价于当x1，2时，a（-）max，x1，2时，g（x）=的值域为-1，-，（-）max=-“x1，2，ax2+10”为真命题的充分必要条件是a故选：B“x1，2，ax2+10”为真命题当x1，2时，a（-）max，求出在1，2上的最大值，则答案可求本题考查充分必要条件的应用，考查特称命题的应用，考查数学转化思想方法，注意存在性命题和任意性命题的区别，属于中档题9.【答案】A【解析】解：（m-x1）（n-x1）0，（m-x2）（n-x2）0，mx1n，mx2n，x1x2，mn，mx1x2n 故选：A结合二次不等式的求解分别求出不等式（m-x1）（n-x1）0，（m-x2）（n-x2）0，的解集，然后即可进行比较本题主要考查了二次不等式的求解，属于基础试题10.【答案】B【解析】解：依题意，设An=kn（4n+1），Bn=kn（2n+3），k0，则a5=S5-S4=5k（20+1）-4k（16+1）=105k-68k=37k，b7=S7-S6=7k（14+3）-6k（12+3）=119k-90k=29k，所以=，故选：BAn、Bn，满足=，不妨设An=kn（4n+1），Bn=kn（2n+3），即可得到的值本题考查了等差数列的前n项和，考查了前n项和与二次函数的关系，考查推理能力和运算能力，属于基础题11.【答案】B【解析】解：由正实数x，y满足x+2y=1，则=+=2+2+2=6当且仅当=，即x=，y=时取等号，故的最小值为6，故选：B运用基本不等式即可得到所求最小值本题考查最值的求法，注意运用“1”的代换法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题12.【答案】D【解析】解：an=，2102021211，当n10时，数列递减；且an1，最小值为第10项，当n10，数列递减，且an1，最大值为第11项，故整个数列的最大项为a11，最小项为第10项，使得aTanaS对任意的nN*恒成立，所以T+S=10+11=21故选：D对an=变形，考虑数列的单调性，利用单调性求出故整个数列的最大项为a11，最小项为第10项，得出结论考查数列的单调性判断和单调性的应用，存在性问题，中档题13.【答案】2【解析】解：在各项均为正数的等比数列an中，a4a6a8a10=16，a4a6a8a10=16，解得a7=2，=a7=2故答案为：2推导出a4a6a8a10=16，解得a7=2，再由=a7，能求出结果本题考查等比数列的两项比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14.【答案】3【解析】解：由x1，得x21，x2-10；所以函数f（x）=x2+=（x2-1）+12+1=3，当且仅当x2-1=1，即x=时取“=”，所以函数f（x）的最小值为3故答案为：3由题意，利用基本不等式求出函数f（x）的最小值本题考查了利用基本不等式求最值的问题，是基础题15.【答案】【解析】解：n（n+1）（an+1-an）=an+1an，两边同时除以an+1an得：，化简得：n（n+1）（）=1，两边同时除以n（n+1）得：=，上式累加得：，即：2-，故答案为：根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式本题主要考查数列通项公式的求解，利用累加法是解决本题的关键16.【答案】【解析】解：由题知，a0 则（4x-3）24ax2，（4x-3）2-4ax20，（4x-3+2x）（4x-3-2x）0，（4+2）x-3（4-2）x-30，当a=2时，不等式为-24x+90，解集为x，不是恰好有三个整数解当a2时，不等式为含x的一元二次不等式，此时若时，即a=0时，不等式的解为x=不是恰好有三个整数解若0时，即0a4且a2时，不等式的解集为x|又，如果恰有三个整数解，只能是 1，2，3解得：若时，即a4时，不等式的解集为x|x或不会恰好有三个整数解综上所述，a的取值范围是，）故答案为：，）由题意，原不等式转化为，（4+2）x-3（4-2）x-30，由解集中的整数恰有3个，且为1，2，3，得到a的不等式，解不等式可得a的范围本题考查学生解含参一元二次不等式的能力，运用一元二次不等式解决数学问题的能力属于中档题17.【答案】解：（1）由a2、a4、a5成等比数列得：，即5d2=-a1d，又d0，a1=-5d；而，d=1；an=a1+（n-1）d=n-6，an的通项公式为an=n-6（2），令，则为常数，cn是首项为-5，公差为的等差数列，的前10项和为【解析】（1）利用已知条件列出方程，求出公差，然后求解通项公式（2）推出，令，说明cn是首项为-5，公差为的等差数列，然后求解数列的和即可本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列求和的方法，考查计算能力18.【答案】解：（1）由x2-2x-35=（x-7）（x+5）0，得M=-5，7；由x2-3mx+（2m-1）（m+1）=x-（2m-1）x-（m+1）0，m2，2m-1m+1，得N=m+1，2m-1；（2）p是q的必要不充分条件，NM，且等号不同时取，解得-6m4，又m2，2m4【解析】（1）分别求解一元二次不等式即可得到集合M与N；（2）由p是q的必要不充分条件，得NM，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题19.【答案】解：（1）a=2时，-x2+2|x-3|+90，x3时，（x-3）（x+1）0，-1x3，x=3；x3时，（x-3）（x+5）0，-5x3，-5x3；综上所述，不等式的解集为-5，3（2）f（x）0恒成立时，x2-9-a|x-3|0恒成立，x=3时，不等式恒成立，aR；x3时，（x-3）（x+3-a）0恒成立，x+3-a0恒成立，a6；x3时，（x-3）（x+3+a）0恒成立，x+3+a0恒成立，a-6；综上所述，a的取值范围是（-，-6【解析】（1）化简不等式，通过x与3的大小比较，去掉绝对值求解即可（2）f（x）0恒成立时，x2-9-a|x-3|0恒成立，通过x=3时，x3时，x3时，转化求解即可本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，是中档题20.【答案】解：（1），等式两边同时除以（n+1）（n+2）得：，即；n2时，有，累加得，又，n2时，又n=1时，b1=2也满足上式，nN*时，（2）由（1）可得，$2S_n=beginarraylbeginarrayl&endarrayendarray222+323+424+（n+1）2n+1$，=，【解析】（1）已知条件化为，推出；利用累加法转化求解即可（2）由（1）可得，利用错位相减法求解数列的和即可本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题21.【答案】解：（1），由得，函数的定义域为（2）设圆形铁片半径为R，则面积S=R2，过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，则，=，x20，由基本不等式得：，当且仅当，即时，取“=”圆形铁片的最小面积为（cm2），答：当x=2时，所用圆形贴片的面积最小，最小面积为（cm2）【解析】（1）利用已知条件求出，然后求解函数的定义域即可（2）设圆形铁片半径为R，则面积S=R2，过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，则，求出R的表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可本题考查函数的实际应用，列出函数的解析式，通过基本不等式求解最小值是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，是中档题22.【答案】解：（1）2Sn=（n+1）an，