《线性代数》电子教程之六.ppt

1,线性代数电子教案之六,2,第六讲矩阵的秩,主要内容,矩阵的秩的概念；,初等变换不改变矩阵的秩的原理，以及矩阵的秩的求法；,矩阵的秩的基本性质.,基本要求,理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理；,掌握用初等变换求矩阵的秩的方法；,知道矩阵的标准形与秩的联系；,知道矩阵的秩的基本性质.,3,第三节矩阵的秩,一、概念的引入,用初等变换把矩阵化为标准形.,解,4,问题:在的标准形中，左上角的单位矩阵的阶数是否唯一呢？,在第一节中，已经指出可以证明标准形的左上角的单位阵的阶数是唯一的，完全由确定.这个数也就是的行阶梯形中非零行的行数，这个便是矩阵的秩.,5,二、子式,定义,在矩阵中，任取行与列，位于这些行列交叉处的个元素，不改变它们在中所处的位置次序而得到的阶行列式，称为矩阵的阶子式.,例如,是的一个2阶子式，的2阶子式共有个.,一般地，矩阵的阶子式共有个.,6,三、矩阵的秩,定义,设在矩阵中有一个不等于零的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于零，那么称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记作或.,规定：零矩阵的秩等于0.,例1求矩阵和的秩.,7,在中，容易看出一个2阶子式,的3阶子式只有一个,因此,因此,这里的两个行列式分别是和的最高阶非零子式,8,说明,根据行列式的展开法则知，在中当所有阶子式全为零时，所有高于阶的子式也全为零，因此把阶非零子式称为最高阶非零子式；,矩阵的秩就是中不等于零的子式的最高阶数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；,当矩阵中有某个阶子式不为0，则,当矩阵中所有阶子式都为0，则,9,矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数，这也可以作为矩阵的秩定义，但是这样定义矩阵的秩不能清楚表明矩阵的特征.,对于阶矩阵，当时，称为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵.,由于阶矩阵的阶子式只有一个，当时，所以可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵.,10,四、矩阵的秩的计算,定理3,若，则,即两个等价矩阵的秩相等.,说明,根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是矩阵的秩.,证明,11,解,析：根据定理3，为求的秩，只需将化为行阶梯形矩阵.,12,所以,大多情况下只用初等行变换，不用初等列变换,13,再求的一个最高阶非零子式.,因此,在中,找一个3阶非零子式是比较容易的，另外注意到，的子式都是的子式，所以易求得的一个最高阶非零子式,14,说明,最高阶非零子式一般是不唯一的.,上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外观察法也是常用的方法.,15,解,析：这是一道已知矩阵的秩，讨论其中参数的值的题目.一般有两个途径，一是利用行列式，二是用初等变换.当时，的3阶子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面用初等变换解答此题.,16,因为，故,即,说明,此方法就是，用初等变换，将矩阵化为比较简单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨论.,17,解,析：此题中矩阵的前4列与的列相同，如果用初等行变换将化为行阶梯形，则就是的行阶梯形，故从中可同时看出及,18,由此可见，,19,注：,把此题中的看作方程组的系数矩阵，看作常数项列，则就是增广矩阵，由的行阶梯形矩阵知，这个方程组无解，因为行阶梯形的第3行对应的方程为矛盾方程,20,五、矩阵的秩的性质,若为矩阵，则,特别地，当为列向量时，有,即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不超过所有子块的秩之和.,证明,21,矩阵的秩的性质,证明,（下章例13）,22,关于矩阵的秩的性质的证明题,例5设为阶矩阵，证明,证,因为,由性质6，有,23,例6设为矩阵，为矩阵，证明,证,根据性质7，有,而为阶矩阵，所以,关于矩阵的秩的性质的证明题,24,例7证明的充分必要条件是存在非零列向量和非零行向量，使,证,充分性：,根据矩阵的秩的性质7，由有,另一方面，与都非零，不妨设,则的元有于是,关于矩阵的秩的性质的证明题,25,必要性：,因为,根据矩阵等价理论知，存在可逆矩阵和可逆矩阵，使,于是,关于矩阵的秩的性质的证明题,26,向量和非零行向量.,关于矩阵的秩的性质的证明题,27,六、小结,矩阵的秩是用矩阵的最高阶非零子式的阶数定义的；,矩阵的秩的求法：,根据定义，求最高阶非零子式的阶数，,根据初等变换不改变矩阵的秩这条性质，用初等变换将矩阵化为行阶梯形，行阶梯形矩阵的行数就是矩阵的秩；,矩阵的秩的性质.,可逆矩阵的特征刻画：,阶矩阵可逆,28,29,作业：,P799.(2)(3)P8011.,30,定理3的证明,证,先证明：若经过一次初等行变换变为，则,设，且的某个阶子式,下面分3种情况证明，,在中总能找到与相对应,的阶子式，且,由于,因此,从而,31,32,在中总能找到与相对应,的阶子式，且,由于,因此,从而,由于对于变换时结,1)的阶非零子式不包含的第1行，这时也是的阶非零子式，故,2)的阶非零子式不包含的第1行，,这时把中与对应的阶子式记作,33,若，则；,若，则也是,的阶子式，由，知与不同时为0，总之，中存在阶非零子式或，故,以上证明了若经过一次初等行变换变为，则,34,由于亦可经过一次初等行变换变为，故也有因此,经过一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变.,对于初等列变换的情形，,设经初等列变换变为，则经初等行变换变为，由以上证明知,又,因此,总之，若经有限次初等变换变为，则,35,矩阵秩的性质的证明,证,因为的最高阶非零子式总是的非零子式，所以,同