福建闽侯高三数学上学期期中理PDF

- 1 - 福建省闽侯县第八中学福建省闽侯县第八中学 20182018 届高三上学期期中届高三上学期期中数学试题（理科）数学试题（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1.已知集合1,2A ，( , )|,Bx yxA yA xyA，则B的子集共有（） A 2 个B 4 个C 6 个D8 个 2.复数1()zai aR 在复平面对应的点在第一象限，且|5z ，则z的虚部为（） A2B 4C2iD4i 3.已知( 2,1)a ，( , 3)bk ，(1,2)c ，若(2 )abc ，则|b （） A3 5B3 2C2 5D 10 4.下列关于命题的说法错误的是（） A. 命题“若 2 320 xx ，则2x ”的逆否命题为“若2x ，则 2 320 xx ”； B. “2a ”是“函数( )logaf xx在区间(0,)上为增函数”的充分不必要条件 C. 若命题:,21000 n pnN ，则:,21000 n pnN ； D. 命题“,0 ,23 xx x”是假命题. 5. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前 300 年 前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该 程序框图（图中“aMODb”表示除以的余数），若输入的分别为 675,125，则输出的（） A. 0B. 25C. 50D. 75 6.已知P是ABC所在平面内一点， 20PBPCPA ，现将一粒红豆随机撒在ABC内，则红豆落在 PBC内的概率是（） A 1 4 B 1 3 C 2 3 D 1 2 7.函数( )sincosf xaxbx，若 ()() 44 fxfx ，则直线0axbyc的倾斜角为 （） - 2 - A 4 B 3 C. 2 3 D 3 4 8. 一个几何体的三视图如图所示，则其体积为() A. 11 6 B. 11 3 6 C. 3 2 D. 1 2 9. 已知(1,2)A是抛物线 2 4yx上一点， 过点A作直线AD，AE分别交抛物线于,D E两点 若将AD， AE的斜率分别记为 AD k, AE k且0 ADAE kk,则直线DE的斜率为() A1B 1 2 C1D不确定 10已知点 P 为双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 右支上一点， 21,F F分别为 双曲线的左右焦点，且 a b FF 2 21 |，I 为三角形 21F PF的内心，若 121 2 IPFIPFIF F SSS 成立， 则的值为（） A 2 221 B 132 C 12 D 12 11.过抛物线 2 :4C yx的焦点F的直线l交C于,A B两点，点( 1,2)M ，若0MA MB ，则直线l的 斜率k （） A-2B -1C. 1D2 12.函数 1 ( )ln (0) ax f xex a a 存在零点，则实数a的取值范围是（） A 1 0a e B 2 1 0a e C. 1 a e D 2 1 a e 二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13.在 7 1 1x x 的展开式中， 2 x的系数为. 14设实数 , x y满足 20 250 20 xy xy y ，则 22 xy u xy 的取值范围是_ 15. 已知点 为函数( ) x f xe的图象上任意一点，点 为圆 222 (1)1xey上任意一点（e为自 然对数的底），则线段PQ长度的最小值为_ 16.在锐角三角形ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 - 3 - 222 sincoscosbacAAacAC， 2a 则ABC面积的最大值 三三、解答题解答题：（本大题本大题 6 6 个小题个小题，共共 7070 分分；解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或证明过程或 演算步骤。）演算步骤。） 17. 已知数列 n a的前 项和21 nn Sa. n b是公差不为 0 的等差数列，其前三项和为 3，且 3 b是 25 bb，的等比中项. （1）求, nn a b； （2）若 1 122 (2)2 nn a ba ba bnt，求实数t的取值范围. 18（本题满分 12 分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体 1000 名 学生中随机抽取了 100 名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图. （1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0 以下的人数； （2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关 系，对年级名次在 150 名和 9511000 名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否 在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系? （3）在（2）中调查的 100 名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人，进一步调查他们良好 的护眼习惯，并且在这 9 人中任取 3 人，记名次在 150 的学生人数为X，求X的分布列和数学期望. 附： - 4 - 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 19. （本题满分 12 分）如图，在梯形ABCD中， ,2,60AB CD ADDCCBABC ，平面ACEF 平面ABCD，四边形ACEF是菱形， 60CAF . （1）求证：BC 平面ACEF； （2）求平面ABF与平面ADF所成锐二面角的余弦值. 20（本题满分 12 分）已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 3 6 ，且过点) 1 ,2(. （1）求椭圆的方程； （2）若过点 C（-1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点BA,，试问在x轴上是否存在点M， 使 2 5 MA MB 3k1 是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 21.已知函数 ln x f x x ， 1g xk x. （）证明：Rk ，直线 yg x都不是曲线 yf x的切线； （）若 2 e,ex ，使 1 2 f xg x成立，求实数k的取值范围. 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . - 5 - 22.（本题满分 10 分）选修 4-4：参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系xoy中，直线:20l xy，以坐标原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标 系中，曲线 1: 1C,将曲线 1 C上所有点的横坐标伸长为原来的2 2倍，纵坐标伸长为原来的 2 倍得到 曲线 2 C，又直线l与曲线 2 C交于,A B两点. （1）求曲线 2 C的直角坐标方程； （2）设定点2,0P，求 11 PAPB 的值. 23.（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知0,0,0abc函数 .f xxaxbc （1）当1abc时，求不等式 5f x 的解集； （2）若 f x的最小值为 5 时，求abc的值，并 111 abc 求的最小值. - 6 - 福建省闽侯县第八中学福建省闽侯县第八中学 20182018 届高三上学期期中届高三上学期期中 数学试题数学试题( (理科理科) )答案答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。） 1. A2.A3.A4.C5. B6. D7.D8.A9.C10 D11. C12.A 二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13.2814 10 2, 3 15.16. 2 12 17. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为， 所以当时，解得， 当时， -，得，即，所以， 由数列的前三项和为 3，得，所以， 设数列的公差为 ，则， 又因为，所以， 解得或（舍去），所以； （2）由（1），可知，从而， 令， 即， 2，得， -，得 ， 即， 故题设不等式可化为，（*） 当时，不等式（*）可化为，解得； 当时，不等式（*）可化为，此时； 当时，不等式（*）可化为，因为数列是递增数列，所以， 综上，的取值范围是. - 7 - 18【答案】（1）820 人；（2）在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系；（3） 分布列见解析，期望为 1 试题解析：（1）设各组的频率为(1,2,3,4,5,6) i f i ， 由图可知，第一组有 3 人，第二组 7 人，第三组 27 人， 因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27,24,21,18 所以视力在 5.0 以下的频率为 3+7+27+24+21=82 人， 故全年级视力在 5.0 以下的人数约为 82 1000820 100 （2） 2 2 100(41 18329)300 4.1103.841 5050732773 k 因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系. （3）依题意 9 人中年级名次在 150 名和 9511000 名分别有 3 人和 6 人，X可取 0、1、2、3 3 6 3 9 20 (0) 84 C P X C ， 21 63 3 9 45 (1) 84 C C P X C ， 12 63 3 9 18 (2) 84 C C P X C ， 3 3 3 9 1 (3) 84 C P X C X的分布列为 X0123 P 20 84 45 84 18 84 1 84 X的数学期望 2045181 ()01231 84848484 E X 19. 【答案】（1）见解析；（2） （2）取 为中点，连，四边形是菱形，即与同理 可知平面如图所示，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，则有 ， ； - 8 - 设是平面的一个法向量，则，即，取 ， 设是平面的一个法向量，则，即， 设平面与平面所成锐二面角为 ，则，即平面与平面所 成锐二面角的余弦值为 20（本题满分 12 分）已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 3 6 ，且过点) 1 ,2(. （1）求椭圆的方程； （2）若过点 C（-1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点BA,，试问在x轴上是否存在点M， 使 2 5 MA MB 3k1 是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】：（1）椭圆离心率为 6 3 ， 6 3 c a ， 2 2 1 3 b a .1 分 又椭圆过点（2，1），代入椭圆方程，得 22 21 1 ab .2 分 所以 22 5 a5,b 3 .4 分 椭圆方程为 22 1 5 5 3 xy ，即 22 x3y5.5 分 （2）在 x 轴上存在点 M 1 ( ,0) 6 ，使 2 5 MA MB 3k1 是与 K 无关的常数.6 分 证明：假设在 x 轴上存在点 M（m,0）,使 2 5 MA MB 3k1 是与 k 无关的常数， 直线 L 过点 C（-1，0）且斜率为 K,L 方程为y k(x1) ， 由 ),1( , 53 22 xky yx 得0536) 13( 2222 kxkxk.7 分 - 9 - 设),(),( 2211 yxByxA，则 13 53 , 13 6 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx8 分 1122 MA(xm,y ),MB(xm,y ), 1211 22 55 MA MB(xm)(xm)y y 3k13k1 9 分 = 2 1212 2 5 11 31 xmxmkxx k = 22122 1212 2 5 1 31 kx xkmxxmk k = 22 2222 222 3565 1 313131 kk kkmmk kkk = 22222 2 63 31 kmkm km k 10 分 设常数为 t，则 22222 2 k6mk3m km t 3k1 .11 分 整理得 222 (3m6m1 3t)kmt0 对任意的 k 恒成立， 2 2 3m6m 1 3t0, mt0. 解得 1 m 6 ， 即在 x 轴上存在点 M（ 1 ,0 6 ）， 使 2 5 MA MB 3k1 是与 K 无关的常数.12 分 21. 【分析】（） 设出切点 0 0 0 , ln x x x ， 分别用函数的导数值和直线的两点表示斜率， 得方程 00 ln10 xx ， 发现方程的解为 0 1x ，与定义域矛盾； （）原问题转化为 1 1 ln2 x k x x ，令 1 ln x xk x x ， 2 ,xe e , 则 2 e,ex ，使 1 2 f xg x成立 min 1 2 x，讨论函数的最小值即可. 【解析】（） f x的定义域为0,11,， 2 ln1 ln x fx x ，直线 yg x过定点1,0， 若直线 yg x与曲线 yf x相切于点 0 0 0 , ln x x x （ 0 0 x 且 0 1x ），则 0 2 0 ln1 ln x k x 0 0 0 ln 1 x x x ，即 - 10 - 00 ln10 xx ， 设 ln1h xxx，0,x， 则 1 10h x x ， 所以 h x在0,上单调递增， 又 10h， 从而当且仅当 0 1x 时，成立，这与 0 1x 矛盾. 所以，Rk ，直线 yg x都不是曲线 yf x的切线； （） 1 2 f xg x即 1 1 ln2 x k x x ，令 1 ln x xk x x ， 2 e,ex ， 则 2 e,ex ，使 1 2 f xg x成立 min 1 2 x， 2 ln1 ln x xk x 2 11 lnln k xx 2 111 ln24 k x ， （1）当 1 4 k 时， 0 x， x在 2 e,e 上为减函数，于是 2 min ex 2 2 e e1 2 k， 由 2 2 e1 e1 22 k得 1 2 k ，满足 1 4 k ，所以 1 2 k 符合题意； （2）当 1 4 k 时，由 2 11 24 ytk 及 1 ln t x 的单调性知 2 11 ln2 x x 1 4 k在 2 e,e 上为增函数，所以 2 eex，即 1 4 kxk， 若0k ，即0k ，则 0 x，所以 x在 2 e,e 上为增函数，于是 min exee 1k 1 e 2 ，不合题意； 若0k ，即 1 0 4 k则由 e0k ， 2 1 e0 4 k及 x的单调性知存在唯一 2 0 e,ex ，使 0 0 x，且当 0 e,xx时， 0 x， x为减函数；当 2 0, xx e时， 0 x， x为增函数； 所以 0 min x