复习指导理数学一轮复习考试说明提点基本脉络贯通达标小题自测典型例题精析第四章不等式复习指导理pdf

高考复习指导 数学( 教师用书) 5 8 第第第第第 四 四四四四 章 章章章章 不等式 内 容 要 求 ABC 基本不等式 一元二次不等式 线性规划 不等式的基本性质 含有绝对值的不等式的求解 利用不等式求最大( 小) 值 不等式的证明( 比较法、 综合法、 分析法) 算术几何平均不等式与柯西不等式 运用数学归纳法证明不等式 一元二次不等式、 基本不等式是C级要求, 二者是中学数 学中的基本而且重要的知识, 尤其是一元二次不等式, 在高考 中是属于重中之重, 它与函数、 方程、 数列等数学主干知识有 密切的联系, 与最值问题及参数的范围等重要数学问题也密 切相关, 故须特别重视.线性规划是A级要求, 因为设置本内 容主要是通过不等式和数形结合思想的运用, 体会数学在生 产经营中的应用价值, 今后将在高等数学中进一步学习.故本 章的一元二次不等式、 基本不等式是高考考查的重点.在近年 的高考中, 不等式的考查在填空题、 解答题中都有, 不仅考查 不等式的基础知识、 基本技能、 基本方法, 而且还考查运算能 力, 分析问题、 解决问题的能力.解答题以函数、 不等式、 导数 交汇命题, 函数与不等式相结合的题多以导数的处理方式解 答; 数列与不等式相结合的题目, 多是先由归纳及直觉思维定 方向, 以递推、 数学归纳法等方法解决, 具有一定的灵活性.具 体要求如下: 1 .熟练掌握一元一次不等式( 组) 、 一元二次不等式的 基本解法, 体会数形结合的思想. 2 .掌握解不等式的基本思路 化归, 即, 将分式不等 式、 绝对值不等式等化归为整式不等式( 组) , 会用分类、 换 元、 数形结合的方法解不等式. 3 .通过复习不等式的性质、 基本不等式及不等式的常 用的证明方法( 比较法、 分析法、 综合法、 数学归纳法等) , 较 灵活地运用常规方法( 即通性通法) 解决不等式的有关问题. 4 .在证明不等式的过程中, 增强运用数形结合、 函数等 基本数学思想方法的意识. 5 .了解线性规划的基本思想: 数学建模、 数形结合等. 6 .通过不等式的基本知识、 基本方法在函数、 数列、 复 数、 立体几何、 解析几何等各部分知识中的应用, 领悟数学知 识间的融会贯通, 从而提高分析问题、 解决问题的能力.在应 用不等式的基本知识、 思想和方法解决问题的过程中, 提高 数学素养及创新意识.例如在江苏省高考中,2 0 1 2年的第1 3 题、 1 4题、1 7题2 0 1 3年的第9题、1 1题、1 7题、1 8题以及 2 0 1 4年的第1 0题、1 8题、1 9题, 都要用到不等式的知识. 7 .能较灵活应用不等式的基本知识、 基本方法, 解决有关 不等式的实际问题, 如2 0 1 2年江苏省高考的第1 7题( 应用题). 1 .将不等式与函数、 方程等知识联系起来复习, 理解数 学知识的整体性, 也便于多角度、 灵活地解决问题.例如不等 式参数的范围问题常可转化为函数的最值问题; 用函数图象 可以理解不等式的解集的几何意义. 2 .求解含有参数的不等式问题是高考常考题型, 解题过 程中要利用不等式的性质将不等式进行变形, 转化为一元二 次不等式等去解决, 注意参数在转化过程中对问题的影响. 3 .对于应用题, 要通过阅读理解所给定的材料, 寻找量 与量之间的内在联系, 提炼出事物的主要特征与相互关系, 从而建立数学模型, 利用不等式的知识求解. 4 .在不等式的证明中, 要加强化归思想的复习.证明不 等式, 既可以考查基础知识, 又可以考查代数推理能力, 在理 第四章 不 等 式 5 9 科数学复习中要特别关注. 第2 1课时 一元二次 不等式 内 容 要 求 ABC 一元二次不等式的解法 一元二次不等式的应用 1 .理解一元二次不等式与相应函数、 方程之间的关系, 掌握一元二次不等式的解法, 能将其他不等式问题转化为一 元二次不等式问题, 能从实际情境中抽象出一元二次不等 式, 将实际问题转化为一元二次不等式问题. 2 .一元二次不等式的应用相当广泛, 如求函数的定义 域、 值域, 研究函数单调性、 最值、 参数的取值范围等.该部分 内容要求定为C级, 要重点加强. 1 .一元二次不等式与一元二次方程、 二次函数之间的关系 ( a0) : 0=00的解 集 x|xx2 x x- b 2a R a x2+b x+ c0的解 集 x|x10, 0 . a x 2+b x+c0( a0) 恒成立 aA; 若f(x) 在区间D上有最大值, 则不等式f( x)A; 若f(x) 在区间D上有最小值, 则在区间D上存在 实数x使不等式f( x)B成立, 等价于在区间D上 f(x)m i nB. 1 .不等式2x(x+2)3(x+2) 的解集为-2,3 2 . 2 .函数y=l o g 1 2( x 2-1)的定义域为 - 2,-1) ( 1,2. 3 .关 于x的 不 等 式a x 2 +b x+ 1 0的 解 集 是 x- 1 3 x 1 2 , 则a = -6,b= 1 . 4 .设集合A=x|(x-1) 23 x+7,xR , 则集合A Z中有6个元素. 提示 由 ( x-1) 2 3x+7 , 可得-10; (2)-x 2-2 x+30; ( 3)x 2-2 x+10; (4)x 2-2 x+20的解集是x|x4. ( 2)不等式两边同乘以- 1, 原不等式可化为x 2+2 x- 30 . 方程x2+2x-3=0的解为x1= -3,x2=1 . 根据y=x2+ 2x- 3的图象, 可得原不等式-x2- 2x+30的解集是x| -3x1. 高考复习指导 数学( 教师用书) 6 0 ( 3)方程x 2- 2 x+ 1=0有两个相同的解x1=x2=1 . 根据y=x2-2x+1的图象, 可得原不等式x2- 2x+10的解集为. ( 4)因为0, 所以方程x 2-2 x+2=0无实数解, 根 据y=x2- 2x+ 2的图象, 可得原不等式x2- 2x+ 20的解集为. 反思 掌握解一元二次不等式的步骤. 拓展 1 .y= -2x2+1 2x-1 8的定义域为 x|x =3. 2 .(1)解不等式x-3 x+70 ; ( 2)解不等式2 x-3 x+7 0, x-30 或 x+70, 不等 式解集为 x| -7x3. ( 2)原不等式化为x-1 0 x+7 0,即得不等式解集为 x| -7x1 0. 2 .含参数的一元二次不等式的解法 例2 解关于x的不等式a x2-( a+1)x+11 ; 当a0时, 分解因式得a x- 1 a ( x-1)1或x 1 a ; 当0a1时, 1 1 a , 不等式的解集为x1x 1时, 1 a 1, 不等式的解为x 1 a 0 ( a-1)x-(a-2) x-2 0 . 当a1时, 不等式为 x-a-2 a-1 x-2 0 . 由a-2 a-1-2= -a a-10 , 即 a-2 a-12 , 解集为x x2 . 当0a1时, 不等式为 x-a-2 a-1 x-2 2 , 解集为x2xa-2 a-1 . 当a0时, 不等式为 x-a-2 a-1 x-2 0 . 此时a-2 a-12 , 解集为x a-2 a-10, 2x 2+( 2k+5)x+5k0的解集为 x|x2或x-1. 不等式2x2+( 2k+5)x+5k0可化为 ( x+k) (2x+5)0, 由题意可得2x2+( 2k+5)x+5k0的解集为 x- 5 2 x-k. 不等式组的整数解的集合为- 2 , -2-k 3 , 即-3k 0的解集为 x| 2 x0的解集. 解 由题意得 2+3= -b a , 23= c a , a0 ( a0) , 即6x 2+5 x+10, 所求不等式的解集为x| - 1 2 x- 1 3 . 2 .设不等式x 2-2 a x+a+20的解集为M, 如果 M1,4 , 求实数a的取值范围. 解 设f( x)=x 2 -2a x+a+2 ,有=( -2a) 2 - 第四章 不 等 式 6 1 4(a+2)=4(a 2-a-2) . 当0时,-1a0时,a2 . 设方程f( x)=0的两根为x1,x2, 且x10的解集为(1,3) , 故可设f(x) +2x=a(x-1) ( x-3) , 且a0 . 因而f( x)=a(x-1) (x-3)-2x =a x 2-( 2+4a)x+3a. 由方程f( x)+6a=0得 a x 2-( 2+4a)x+9a=0 . 因为方程有两个相等的根, 所以 =-(2+4a) 2-4 a9a=0, 即5a 2-4 a-1=0 .解得a=1或a= -1 5. 由于a0, 舍去a=1 . 将a= -1 5 代入得f(x)= -1 5 x 2-6 5 x- 3 5. ( 2)由(1) 知a0, 故原问题可转化为“f(x) 的最大值 为正数”.由f( x)=a x 2-2( 1+2a)x+3a =a x-1+2 a a 2 -a 2+4 a+1 a 及a0, a0, 解得a-2- 3或-2+ 30; ( 2) (x+a) (x-2a+1)3或x 1 3 时, 不等式的解集为 x| -ax 2a- 1 ; 当a 1 3 时, 不等式的解集为 x|2a-10, 则f(x)的单调增区间是 -,- 1 2 . ( 2)当x(1,2) 时, 不等式(x- 1) 20对一切实数x恒成立, 求 实数a的取值范围. 略解 若a 2+4 a-5=0, 则a=1或a= -5 . 当a=1时, 原不等式化为3 0, 该不等式对一切 实数x恒成立; 高考复习指导 数学( 教师用书) 6 2 当a= - 5时, 原不等式化为2 4x+ 30, 该不等 式对一切实数x不恒成立, 所以a= 1符合题意. 若a 2+4 a-50, 依题意有 a 2+4 a-50, 0, ( a-1) (a-1 9)1或a-5, 1a 1 9, 所以10 表示直线哪一侧的平面区域.( 特殊地, 当C0时, 常把 原点作为此特殊点) 3 .求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤: ( 1)寻找线性约束条件, 线性目标函数; ( 2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域; ( 3)在可行域内求目标函数的最优解或最值. 1 .画出不等式组 x-y+50, x+y0, x3 表示的平面区域. ( 第1 题) 2 .已知点(3,1) 和点(- 4,6) 在直线3x-2y+m=0的两 侧, 则m的取值范围为-7m0, 2x+y-40,b0, 且a+b=S( 定值) 时, 由 a+b 2 a b 知a b有最 大 值 S 2 4 ; 当a 0,b0 , 且a b=S( 定 值) 时, 由 a+b 2 a b知a+b有最 小 值 2S . 3 .四个“ 平均数” 的大小关系: a 2+b2 2 a+ b 2 a b 2 1 a + 1 b .(a0,b0) 1 .设x,y是正实数, 且x+y=5, 则 l g x+ l gy的最大值是 2-4 l g 2 . 2 .若x 0,y0, 则 x+y x+y 的最大值为2. 3 .已知函数f(x)=l o g2(x-2) , 若实数m,n满足f(m)+ f(2n)= 3, 则m+n的最小值是7 . 提示 由l o g 2(m-2)+ l o g2(2n-2)=3, 得(m-2) (n-1) =4 , 则m= 4 n-1+2 , 所以m+n= 4 n-1+2 + n= 4 n-1+( n- 1)+ 324+ 3=7( 当且仅当n=3时 取等号) , 故m+n的最小值为7 . 4 .某公司一年购买某种货物4 0 0 t, 每次都购买xt, 运费为4 万元 / 次, 一年的总存储费用为4x万元, 要使一年的总运 费与总存储费用之和最小, 则x= 2 0 t . 5 .若正数a,b满足a b=a+b+3, 则a b的取值范围是 9,+). 提示 a b=a+b+ 32a b+ 3, a b3, 即a b9 . 1 .利用基本不等式证明不等式 例1 已知x0,y0,x+y=1, 求证: x 4+y41 8. 点拨 利用基本不等式证明不等式要注意给定的条件与要 求证的不等式之间的关系, 充分利用好有关公式进行 化简. 证明 x0,y0,x+y=1,x2+y 2 2 x y , 两边同加上x2+y 2, 得2( x 2+ y 2) (x+y) 2=1, 故x2+y 2 1 2. 又x4+y 42 x 2 y 2, 两边同加上x4+y4, 得2( x 4+ y 4) (x 2+y2)2 1 4, x 4+ y 41 8. 等号当且仅当x=y= 1 2 时成立. 拓展 1 .已知a,b是正数,ab,x,y( 0,+) , 求 证: a 2 x +b 2 y ( a+b) 2 x+y , 并指出等号成立的条件. 2 .利用拓展1的结论求函数f(x)= 2 x + 9 1-2x x 0,1 2 的最小值,并指出取最小值时x 的值. 解 1 . a 2 x +b 2 y ( x+y)=a 2+ b 2+ a 2y x +b 2x y a 2+ b 2+2 a 2y x b 2x y =(a+b) 2, 故a 2 x +b 2 y ( a+b) 2 x+y . 当且仅当a 2y x =b 2x y , 即a x = b y 时, 上式 取等号. 2 .f(x)= 2 2 2x+ 3 2 1-2x ( 2+3) 2 2x+(1-2x) =2 5 . 当且仅当 2 2x = 3 1-2x, 即x = 1 5 时, 上式取最小 值, 即 f(x) m i n=2 5 . 2 .利用基本不等式求最值 例2 当0x4时, 求y=x( 8-2x) 的最大值. 点拨 由00,b0, 当且仅当 a=b时等号成立) 是一个重要的不等式, 利用它可以 求函数最值问题.有些可直接用公式, 有些题目必须 进行必要的变形.本题的变形为“ 凑系数” , 还有“ 凑 项” 、 “ 分离” 、 “ 整体代换” 等变形, 见拓展部分. 拓展 1 .已知x0, 即x- 1时, y2 ( x+1) 4 x+1 + 5 =9( 当且仅当x=1时取等号) ; 当x+ 10,a+b=1, 求t= 1 a +2 b 的最小值. 解 t= 1 a + 2 b 1= 1 a + 2 b ( a+b) =1+b a +2 a b +2=3+b a +2 a b 3+2 b a 2a b =3+22, 当且仅当2 b a = a b 时取等号. 由 a+b=1, b a =2 a b 得a= 2-1,b=2- 2, 故当a= 2-1,b=2- 2时, t= 1 a + 1 b 取最小值 3+22. 注: 本题用“ 整体代换” 变形. 3 .基本不等式与其他知识的交汇 例3 过点P(1,2) 的直线与x轴、 y轴的正半轴分别交于 A和B两点. ( 1)当A O B的面积最小时, 求直线l的方程, 并求 出最小值; ( 2)当O A+O B最小时, 求直线l的方程, 并求出最小 值; ( 3)当P AP B最小时, 求直线l的方程, 并求出最小 值. 点拨 要求最值, 只要把所求表达式分别用函数表示出来. 解 (1)由题意知直线l的斜率k0,b 0).由直线过点P( 1,2) , 得 1 a +2 b =1 , 即2a+b=a b, 解出b= 2a a-10 . 又a0 . a1, 于是O A+O B=a+b=a+ 2a a-1 =a+ 2(a-1)+2 a-1 =a-1+ 2 a-1+33+22. 当且仅当a- 1= 2 a-1 , 即a = 2+ 1(a= - 2+ 1舍去) 等号成立. 此时 直 线l的 方 程 为 x 2+1 + y 2+2 = 1, O A+O B的最小值是3+22. ( 3)由题意知直线l的斜率k0, b0) , 该如何求解呢? 4 .基本不等式的实际应用 例4 设计一幅宣传画, 要求画面面积为48 4 0c m 2, 画面的 宽与高的比为( 0 .又 1-2 0, 当公比q(0,1) 时,Sn= a1(1 -q n) 1 -q bc 0,x=a 2+( b+c) 2,y = b 2+( a+c) 2, z=c 2+( a+b) 2, 则 x y , y z ,z x, x 2, y 2, z 2中最小的是x2. 3 .若实数m,n,x,y满足m2+n 2=a, x 2+ y 2=b( a b) , 则m x+ n y 的最大值是 a b . 4 .设a,b,cR,a b=2且ca 2+ b 2恒成立, 则c的最大 值为4 . 5 .若l o g2(x+y)=l o g2x+ l o g2y, 则x+y的取值范围是 4,+). 1 .不等式在函数中的运用 例1 已知函数f( x)= c x+1,0xc, 3x 4c+x2c,cx 1 满足 f(c 2) = 9 8. ( 1)求常数c的值; ( 2)解不等式f(x)2 . 点拨 由0c1, 易知c 2 c. 解 (1)因为0c1, 所以c 2c. 由f( c 2) = 9 8, 即 c 3+ 1= 9 8,得c= 1 2. ( 2)由(1) 得f(x)= 1 2 x+1 0x 1 2 , 3x 2+x 1 2 x1 , 由f( x)2得当0x 1 2 时, 解得0x 1 2; 当 1 2 x1时,3x 2+x-20, 解得1 2 x 2 3, 所以f( x)2的解集为x| 0x 2 3 . 反思 对于分段函数, 由函数值求自变量时, 要讨论自变量 所在定义域的哪个子集上.对于已知分段函数的函 数值的范围, 求自变量的范围的问题, 要分区域 讨论. 拓展 已知函数f( x)=x 2+a x+b. ( 1)若对任意的实数x, 都有f(x)2x+a, 求a,b 满足的条件; ( 2)当x-1,1 时,f(x) 的最大值为M, 求证: Mb+1; ( 3)若a 0,1 2 , 求证: 对于任意的x-1, 1 ,|f(x)| 1的充要条件是 a 2 4- 1 b-a. 解 (1)对任意的xR, 都有f( x)2x+a 对任意的xR,x2+( a-2)x+(b-a)0 =(a-2) 2-4( b-a)0 b1+a 2 4( aR,b1). a,b满足的条件为b 1 + a 2 4. ( 2)f(1)=1 +a+bM,f(- 1)=1 -a+bM, 2M2b+2, 即Mb+1 . ( 3)由0a 1 2 得- 1 4 2- 1 3 - 1 3 2 + 2- 1 3 2- 1 3 3 + 2- 1 3 n- 1 3 n+ 1 =2n- 1 3 - 1 3 2 + 1 3 2- 1 3 3 + + 1 3 n- 1 3 n+ 1 =2n- 1 3 - 1 3 n+ 1 2n- 1 3. 即Tn2n- 1 3. 拓展 1 .已知数列 an 满足a1=5,a2=5,an+ 1=an+ 6an- 1(n2). ( 1)求证: an+ 1+2an 是等比数列; ( 2)求证: an-3 n 是等比数列, 并求数列 an 的 通项公式; ( 3)设3 n bn=n(3 n-a n) , 且|b1| + |b2| + |bn| m对于nN * 恒成立, 求m的取值 范围. 解 (1)由an+ 1=an+6an- 1,an+ 1+2an=3( an+2an- 1) ( n= 2). a1=5,a2=5,a2+2a1=1 5, 故数列 an+ 1+2an 是以1 5为首项,3为公比的等 比数列. ( 2)由(1) 得an+ 1+2an=53 n. 于是( an+ 1-3 n+ 1)= -2(an- 3 n) ,故 an是等比数列,an-3 n = 2(-2) n- 1, an=3 n+2( -2) n- 1 =3 n-( -2) n. ( 3)由3 n bn=n(3 n -an)=n3 n -3 n +(-2) n= n(-2) n, bn=n- 2 3 n . 令Sn= |b1| + |b2| + |b n| = 2 3 +2 2 3 2 +3 2 3 3 +n 2 3 n , 2 3S n= 2 3 2 +2 2 3 3 +(n-1) 2 3 n +n 2 3 n+ 1 , 得 1 3S n= 2 3 + 2 3 2 + 2 3 3 + 2 3 n -n 2 3 n+ 1 = 2 3 1- 2 3 n 1- 2 3 -n 2 3 n+ 1 =2 1- 2 3 n -n 2 3 n+ 1 , Sn=6 1- 2 3 n -3n 2 3 n+ 1 1时, l g a0,a n 0,当且仅当 ( n+ 1)a-n 0时式成立, 即a n n+1对任意正整数n成立. n n+1 n n+1恒成立. 当0a1时, l g a0,当且仅当 ( n+ 1)a-n0时式成立, 即a n n+1对任意正整数n 成立, n n+1 1 2, 0a1或00) , 得V= 1 3h+ 1 h .而h+ 1 h 2h1 h =2, 所以V 1 6, 当且仅当h= 1 h 即h=1时取等号. 故当h=1m时, V有最大值,V的最大值为1 6 m 3. 反思 建立函数关系式, 有时需借助辅助变量, 如本题中的h . 提醒 在求得a与h的函数关系式时易忘h的取值范 围: h0 . 4 .不等式中参数的取值问题 例4 已知三个不等式:| 2x-4 | 5-x; x+2 x 2-3 x+21 ;2x2+m x-10 . ( 1)若同时满足和的x值也满足, 求m的取值 范围; ( 2)若满足的x值至少满足和中的一个, 求m 的取值范围. 点拨 本例主要综合复习整式、 分式不等式和含绝对值不等 的解法, 以及数形结合的思想, 解本题的关键是弄清 题意, 可结合集合的交并运算和包含的意义来理解. 此外, 不等式及与之对应的方程及函数图象有着密不 可分的内在联系, 在解决问题的过程中, 要适时地建 立它们之间的内在联系. 解 (1)记的解集为A,的解集为B,的解集为C. 解得A=( - 1,3 ) , 解得B=0,1)(2,4 , AB=0,1)(2,3). ( 例4) 因同时满足和的x值 也满足, 故ABC. 设f( x)=2x 2+m x- 1, 由f( x) 的图象可知方程 的小根小于0, 大根大于或等于3时, 即可满足A BC. f(0)0, f(3)0, 即 -1m(x 2-1) 对满 足|x| 2的一切实数x的取值都成立? 解 1 .令f(m)=2x- 1 -m( x 2- 1) =(1 -x 2) m+ 2x- 1, 可看成是一条直线, 且使|m| 2的一切实