定解问题与偏微分方程

1,Email:yc517922,数理方程与特殊函数,任课教师：杨春,数学科学学院,2,(一)、波动方程的建立,第二章定解问题与偏微分方程理论,本次课主要内容,(二)、定解条件,3,(一)、波动方程的建立,第二章定解问题与偏微分方程理论,1、什么叫物理规律？,某物理量在空间和时间中的变化规律。它反映同一类物理现象的共同规律。,若物理量仅随时间变化，其数学表达式为常微分方程；若与时空均有关，则为偏微分方程。,4,数学物理方程是指从物理问题导出的函数方程，主要指偏微分方程与积分方程。,我们将重点讨论物理上的三种典型的二阶线性方程的一些基本解法，以便借助于数学物理方程这一工具，更好地描述基本的物理现象，研究一些重要的物理规律。,这些物理规律包括：弹性体的振动、热的传导和粒子扩散、电磁波的传播等。,5,常用物理规律(一),1、牛顿第二定律,2、虎克定律,6,对虎克定律的说明：,公式中P称为协强或应力。它表示弹性物体单位截面所受作用力，P=F/S。,公式中ux表示伸长率，称为协变。,Y表示杨氏弹性模量，等于协强比协变。,杨氏弹性模量由材料决定.,7,3、克希荷夫定律,(1).节点电流定律,(2).回路电压定律,8,2、波动方程,如何建立偏微分方程？,(1).明确物理过程与研究对象(待研究物理量);,(2).进行微元分析；,分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。,(3).化简、整理算式。,9,例1、均匀细弦微小横振动问题,一根均匀柔软的细弦线，一端固定在坐标原点，另一端沿x轴拉紧固定在x轴上的L处，受到扰动，开始沿x轴（平衡位置）上下作微小横振动（细弦线上各点运动方向垂直于x轴）。试建立细弦线上任意点位移函数u(x，t)所满足的规律。,10,分析：,(1).研究对象：u(x,t),(2).微元分析:在时刻t,取弦微元ds,其对应区间为：x,x+dx;,分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。,11,设细弦线各点线密度为，细弦线质点之间相互作用力为张力T(x，t),水平合力为零=T2cos2T1cos1=0T2T1T,铅直合力:T(sin2sin1)=T(tan2tan1),T(tan2tan1)=dxutt,由牛二律得：,12,utt=a2uxx,其中,一维齐次波动方程:utt=a2uxx,下面考虑强迫振动情形：,Tux(x+dx，t)ux(x，t)=dxutt,Tuxx(x+dx，t)dx=dxutt,考虑细绳在振动中受向上的恒外力密度F(x，t)的作用和细绳的重力作用。,13,铅直合力为：,f(x,t)=F(x,t)/-g,由牛二律得：,整理后得：,其中：,14,例2、细杆的纵向振动问题。设均匀细杆长为L，线密度为，杨氏模量为Y，杆的一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动（沿x轴方向的振动）。试建立杆上质点位移函数u(x，t)的纵向振动方程。,15,由牛顿第二定律SYux(x+dx，t)ux(x，t)=Sdxutt,令a2=Y/。化简，得utt=a2uxx,16,例3长为l密度为的均匀柔软细绳在x=0端固定，在重力作用下，垂直悬挂。横向拉它一下作微小横振动。写出振动方程。,17,取微元：x,x+dx,竖直方向：,18,水平方向：,对于(1)，1与2很小，于是得：,19,即：,在x=0处张力等于,于是得：,对于(2)，1与2很小，于是得：,由有限增量公式得：,20,例4、高频传输方程,考虑双线传输线，把单位传输线所具有的导线电阻、线间电导、电容以及电感分别记作R,g,c和L.建立电压u(x,t)和电流强度i(x,t)所满足的微分方程。,1、物理背景简介,对于直流电或低频交流电，同一支路的电流相等。,但对于高频交流电，电路中的自感和电容效应将使得电路中电流与电压不仅与时间有关，而且与空间位置有关。,21,所以，对于高频传输线，我们要讨论传输线上电压与电流随时空的变化规律。,分析(仍采用微元分析方法)：,传输线上电阻、电感，线间电容、电导考虑为均匀分布，于是可画出微元等效电路图：,也就是研究电压u(x,t)与电流i(x,t)所要满足的微分方程。,22,由克希荷夫定律得：,由有限增量公式得：,23,24,(二)、具体物理过程描述定解条件,首先指出：具体物理系统所处物理状况除受一般物理规律支配外，还受系统所处的“环境”和系统的“历史状况”的影响。,系统所处的“环境”状况：边界条件.,系统的“历史”状况：初值条件.,求解一个具体物理问题，都要考虑定解条件！,25,II.第二类边界条件:,III.第三类边界条件:,I.第一类边界条件:,1、三类边界条件,26,如何写出三类边界条件？,(1)、明确环境影响通过的所有边界；,(2)、分析边界所处的物理状况；,(3)、利用物理规律写出待求物理量在边界上的表达式。,27,例5细杆在x=0处固定，在x=L端受外力F(t)的作用，作微小纵振动。写出其边界条件。,分析：环境影响通过的边界为：x=0与x=L.显然：u(0,t)=0.用微元法分析边界X=L的状况。,28,例6长为L的均匀杆两端受到拉力F的作用而振动，写出边界条件。,分析：,环境影响通过的边界是x=0与x=L,杆的两端所受的拉力F等于两端面所受的杨氏弹性力。,29,30,注意：,在例5，6中，如果端面自由，则,课外思考：长为L的均匀杆，一端固定在车壁上，另一端自由。车子以速度v行驶突然停止，写出边界条件。,31,2、初始条件,初始条件是系统在t=0时的状态。初始条件的个数等于微分方程的阶数。,例7、一根长为L，两端固定的弦，用手,把它的中点横向拉开距离h，然后松手让,其自由振动。写出其初始条件。,32,33,例8、一根长为L，线密度为，两端固定,的弦，在中点受到冲量I的作用开始振动。,写出其初始条件。,分析：泛定方程是二阶偏微分方程，因此,需要两个初始条件。,解：作用瞬间，弦上点未离开平衡位置，所以：,