数学物理方程习题

数学物理方程,复习2,第四章拉普拉斯方程的格林函数法,分离变量法主要适用于求解各种有界问题，而,行波法则主要适用于求解各种无界问题，,这两种方法所得到的解一般分别为无穷级数和,无穷积分的形式。格林函数法给出的解则是有,限积分的形式，十分便于理论分析和研究。,格林公式,（1）第一边值问题,在空间中某一区域的边界上，给定了连续函数，要求这样一个函数,它在闭区域（或记作）上连续，在内有连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，在上与已知函数相重合，即,第一边值问题也称为迪利克莱（Dirichlet)）问题，或简称为迪氏问题。,调和函数谈到拉普拉斯的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并且满足拉氏方程的连续函数，称为调和函数。所以，迪氏问题也可以换一种说法：在区域内寻找一个调和函数，使它在边界上的值为已知！,（2）第二边值问题,在某光滑的闭曲面的边界上给出连续函数，要求寻找这样一个函数，它在内部的区域中是调和函数，在上连续，在上任意一点处的法向导数存在，并且等于已知函数在该点的值：,第二边值问题，也称为牛曼（Neumann）问题,第一Green公式,第二Green公式,重要！,格林函数,Laplace方程的Dirichlet问题的解为,其中,Poisson方程的Dirichlet问题的解为,其中,用镜象法求特殊区域上的函数。,上半空间内的Green函数及Dirichlet问题,求解上半空间,内的Dirichlet问题,先求上半空间,内的Green函数,，即求解问题,格林函数的应用,在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。,（1）寻找“电象点”,在半空间处的点，放置单位正电荷，找出关于平面的对称点，并且在该点置等量异电荷（单位负电荷）。这样与所产生的电位，在平面上相互抵消。,（2）寻找格林函数,（3）求定解问题的解（写出导数-注意求导方向；写出积分解-主要是积分区域）,注意用对公式,球域的格林函数,设有一球心在原点，半径为的球面，在球内任取一点，连接OM0并延长至，使，点被称为点关于球面的反演点或镜像点。以表示，则,（1）找镜像点,在放置单位正电荷，在放置单位的负电荷。,下面，需要适当选择的值，使得这两个电荷所产生的电位，在球面上相互抵消。即,或,其中，是球面上任一点。,（2）寻找调和函数,因此，只要在点处放置单位的负电荷，由它所形成的电场，在任一点的电位,这个电位，不仅在所围成的球域的内部是调和函数！而且在上具有一次连续可微，同时在上满足,球域的格林函数为,（3）求解球域内的迪氏问题,利用格林函数求球域内的迪氏问题,为此，需要计算出。,注意用对公式,从更广泛的意义上,于是,代入（4.23）式，可得球内迪氏问题的解,在球面上,有,考试时候写到这一步就够了！,写成球坐标形式,其中：,格林函数求拉普拉斯方程,考试求解步骤要求：确定方程类型（拉普拉斯or泊松；狄氏）寻找电象点（作图标明）写出格林函数正确写出求导方向、边界及条件（明确在哪个边界上对谁求导）写出方程解的积分形式（积分限、被积函数）,习题四.2,习题四.3,作业3：四分之一空间的格林函数,在四分之一半空间内的点，放置单位正电荷，首先找出关于平面的对称点，并且在该点置等量异电荷（单位负电荷）。这样与所产生的电位，在平面上相互抵消。,（1）建立反演点或镜像点,其次，找出M0和M1关于y=0平面的对称点M2(x0,-y0,z0)及M3(x0,-y0,-z0)，并在这两点分别放置与M0和M1点等量的异电荷。这样M2与M3所产生的电位，与M0和M1所产生的电位在y=0平面上相互抵消。,（2）寻找调和函数,调和函数,可得，格林函数为,（3）求域内的狄氏问题-在边界上求导入并带入解的公式,作业4：上半球域的格林函数,（1）建立反演点或镜像点,设球心在坐标原点,在球域内上取一点,并在该点放置一个单位正电荷，,令,（2）寻找调和函数,则半球内的格林函数为,（3）求域内的狄氏问题-在边界上求导入并带入解的公式,展开形式同球域,贝塞尔函数,由二维热传导方程，通过分离变量法，引出贝塞尔方程,-n阶贝塞尔方程的常见形式(重要！),用x表示自变量,y=y(x)表示未知函数,其中n为任意实数或者复数,仅讨论的情形.,贝塞尔方程的求解,则n阶贝塞尔方程为:,方程的一个特解：,n阶第一类贝塞尔函数,（n为整数）,方程的另一个特解：,n阶第二类贝塞尔函数,综上，贝塞尔方程的通解可写为,性质1有界性,性质2奇偶性,贝塞尔函数的性质（要求有界性和奇偶性会证明）,当n为正整数时,上面两式左边的导数求出来,并经过化简,贝塞尔函数的递推公式（一定会证明！）,两式相加减分别消去和,例1求不定积分,解,例2利用递推公式证明,分别令n=1,n=2,得,将(1)式乘2，求导，然