复变函数论6课件

,孤立奇点的分类,函数不解析的点为奇点.如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点.,将函数f(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|d内展开成洛朗级数.根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类.,可去奇点如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为f(z)的可去奇点.,这时,f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.0|z-z0|d,则在圆域|z-z0|d内就有f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,从而函数f(z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点.,2.极点如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m,即f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.(m1,c-m0),则孤立奇点z0称为函数f(z)的m阶极点.,上式也可写成,其中g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+.,在|z-z0|d内是解析的函数,且g(z0)0.,反过来,当任何一个函数f(z)能表示为(*)的形式,且g(z0)0时,则z0是f(z)的m阶极点.,如果z0为f(z)的极点,由(*)式,就有,3.本性奇点如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为f(z)的本性奇点.,综上所述:,我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.,4.函数的零点与极点的关系,不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成f(z)=(z-z0)mj(z),其中j(z)在z0解析且j(z0)0,m为某一正整数,则z0称为f(z)的m阶零点.,例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一阶与三阶零点.,根据这个定义,我们可以得到以下结论:如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m阶零点的充要条件是f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0.,这是因为,如果f(z)在z0解析,就必能在z0的邻域展开为泰勒级数:f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cm(z-z0)m+，易证z0是f(z)的m级零点的充要条件是前m项系数c0=c1=.=cm-1=0,cm0,这等价于f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0。,例如z=1是f(z)=z3-1的零点,由于f(1)=3z2|z=1=30,从而知z=1是f(z)的一级零点.,由于f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的邻域内不为零.这是因为j(z)在z0解析,必在z0连续,所以给定,所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心邻域内不为零,即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.,定理如果z0是f(z)的m阶极点,则z0就是的m阶零点,反过来也成立.,这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.,例2,例3,对讨论函数在处的性态。,5.函数在无穷远点的性态如果函数f(z)在无穷远点z=的去心邻域R|z|内解析,称点为f(z)的孤立奇点.,又.这样,我们可把在去心邻域R|z|+对f(z)的研究变为在内对j(w)的研究.显然j(w)在内解析,所以w=0是孤立奇点.,即z=是f(z)的可去奇点,极点或本性奇点,完全看极限是否存在(有限值),为无穷大或即不存在又不是无穷大来决定.,例题1,例题2,例题3,留数,留数的定义及留数定理如果函数f(z)在z0的邻域D内解析,那末根据柯西积分定理,但是,如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域0|z-z0|R内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分,一般就不等于零.,因此f(z)=.+c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.0|z-z0|R,两端沿C逐项积分:,称C-1为f(z)在z0的留数,记作Resf(z),z0,即,定理一(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,.,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则,证把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有,注意定理中的条件要满足。例如,不能应用留数定理。,求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中(z-z0)-1项的系数c-1即可.但如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利.,如果z0是f(z)的可去奇点,则Resf(z),z0=0.如果z0是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,则有一些对求c-1有用的规则.,2.留数的计算规则规则1如果z0为f(z)的一级极点,则,规则2如果z0为f(z)的m级极点,则,事实上,由于f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.,(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+.+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,令两端zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Resf(z),z0,即得规则2,当m=1时就是规则1。,即得规则3。,由规则1,得,我们也可以用规则3来求留数:,这比用规则1要简单些.,例5,解：,所以原式=,例4,3.在无穷远点的留数设函数f(z)在圆环域R|z|内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分,的值与C无关,称其为f(z)在点的留数,记作,f(z)在圆环域R|z|内解析：,理解为圆环域内绕的任何一条简单闭曲线。,这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻域R|z|+内洛朗展开式中z-1的系数变号.,定理二如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.,证：除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n