山东大学数学分析8

8.1级数的收敛性,8.2正项级数,8.3一般项级数,8.1级数的收敛性,一、问题的提出,二、级数的概念,三、基本性质,四、收敛的必要条件,一、问题的提出,1.计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正形的面积,二、级数的概念,1.级数的定义:,(常数项)无穷级数,一般项,部分和数列,级数的部分和,2.级数的收敛与发散:,余项,无穷级数收敛性举例：Koch雪花.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,播放,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,周长为,面积为,第次分叉：,于是有,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,雪花的面积存在极限（收敛）,解,收敛,发散,发散,发散,综上,解,已知级数为等比级数，,解,解,等比级数,三、基本性质,结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,解,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,证明,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,四、收敛的必要条件,证明,级数收敛的必要条件:,注意,1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,发散,2.必要条件不充分.,讨论,8项,4项,2项,2项,项,由性质4推论,调和级数发散.,五、小结,常数项级数的基本概念,基本审敛法,思考题,思考题解答,能由柯西审敛原理即知,8.2正项级数,一正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,定理,部分和数列为单调增加数列.,证明,即部分和数列有界,3.比较审敛法,不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,解,由图可知,重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.,证明,4.比较审敛法的极限形式:,证明,由比较审敛法的推论,得证.,解,原级数发散.,故原级数收敛.,证明,收敛,发散,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,解,比值审敛法失效,改用比较审敛法,级数收敛.,级数收敛.,二、小结,思考题,思考题解答,由比较审敛法知收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,8.3一般项级数,一、交错级数及其审敛法,定义:正、负项相间的级数称为交错级数.,证明,满足收敛的两个条件,定理证毕.,解,故级数收敛.,解,例2判定下列级数是否条件收敛？是否绝对收敛？,解,注意,1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非必要条件；,思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立，结果如何？,2.判定的方法,例3,解,解,原级数收敛.,二、绝对收敛与条件收敛,任意项级数,正项级数,任意项级数的各项取绝对值,定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,问题:如何研究任意项级数的敛散性问题？,1.绝对收敛和条件收敛:,任意项级数的敛散性,证明,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,解,故由定理知原级数收敛.,解,例7,解,即原级数非绝对收敛,由莱布尼茨定理：,所以此交错级数收敛，,故原级数是条件收敛,例8,解,定理,2.绝对收敛级数可重排性:,绝对收敛级数可重排性,例9,三阿贝尔判别法和狄里克雷判别法,推论(阿贝尔引理),证明,利用阿贝尔变换,收敛.,例10,四、小结,思考题1,思考题1解答,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,思考题2,思考题解答,第8章,习题课,1、常数项级数,级数的部分和,定义,级数的收敛与发散,性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.,级数收敛的必要条件:,收敛级数的基本性质,常数项级数审敛法,定义,2、正项级数及其审敛法,审敛法,(1)比较审敛法,(2)比较审敛法的极限形式,定义正、负项相间的级数称为交错级数.,3、交错级数及其审敛法,定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,4、任意项级数及其审敛法,二、典型例题,例1,解,根据级数收敛的必要条件，,原级数发散,解,根据比较判别法，,原级数收敛,解,从而有,原级数收敛；,原级数发散；,原级数也发散,例题解析-例1-4,解,例题解析-例1-5,解,例题解析-例1-6,解,例题解析-例2-1,解,例2判定下列级数是否条件收敛？是否绝对收敛？,例题解析-例2-2,解,例题解析-例3,解,例题解析-例4-1,解,例题解析-例4-2,例题解析-例5,解,例题解析-例6,解,例7,解,即原级数非绝对收敛,由莱布尼茨定理：,所以此交错级数收敛，,故原级数是条件收敛,第8章,函数列与函数项级数,8.1函数项级数及一致收敛性,一点态收敛,二函数项级数（或函数序列）的基本问题,三函数项级数（或函数列）的一致收敛性,四一致收敛性判别,五小结,问题的提出,问题:,（一）函数项级数的一般概念,1.定义:,一点态收敛,现在我们将级数的概念从数推广到函数上去.,2.收敛点与收敛域:,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域上),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,3.和函数:,(定义域是?),解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,原级数发散.,收敛;,发散;,4.函数项级数与其部分和,在本质上是完全一致的。,二函数项级数（或函数序列）的基本问题,1.极限运算与无限求和运算交换次序问题,2.求导运算与无限求和运算交换次序问题,3.极限运算与无限求和运算交换次序问题,1.函数列及其一致收敛性,三函数项级数（或函数列）的一致收敛性,2.函数项级数的一致收敛性,定义,几何解释:,例2,解,余项的绝对值,例3,研究级数,在区间(0,1内的一致收敛性.,解,对于任意一个自然数,因此级数在(0,1)内不一致连续,说明:,从下图可以看出:,小结一致收敛性与所讨论的区间有关,3.内闭一致收敛,（1）概念,（2）性质,四.一致收敛性判别,定理8-1（函数列一致收敛的柯西准则）,2.一致收敛的柯西准则,1用定义,由上确界的定义，亦有,定理8-3（函数项级数一致收敛的柯西准则）,定理8.5（Weierstrass判别法）,4.一致收敛性简便的判别法：,证,例4,证明级数,证,（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的.,5.,五、小结,一点态收敛,二函数项级数（或函数序列）的基本问题,四.一致收敛性判别,三函数项级数（或函数列）的一致收敛性,8.2一致收敛函数列与函数项级数级数的性质,一一致收敛函数列的性质,二函数项级数的性质,一.一致收敛函数列的解析性质,1函数及限与序列极限交换定理,2.连续性定理,估计上式右端三项.由一致收敛,第一、三两项,註定理表明:对于各项都连续且一致收敛,即极限次序可换.,3.可积性定理,4.可微性定理,（对第二项交换极限与积分次序）,亦即求导运算与极限运算次序可换.,二函数项级数的性质,1.逐项求极限定理,2.连续性定理,定理12,证,(1),(2),同样有,(3),由(1)、(2)、(3)可见,定理13,(4),3.逐项求积定理,证,根据极限定义，有,即,定理14,(5),4.逐项求导定理,注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.,例如，级数,逐项求导后得级数,所以原级数不可以逐项求导,第8章习题课,一、主要内容,二、典型例题,一、函数项级数主要内容,(1)定义,(2)收敛点与收敛域,(3)和函数,函数项级数的一致收敛性,定义,定理（魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）,一致收敛性简便的判别法：,一致收敛级数的基本性质,定理1,定理2,(4),定理3,(5),注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.,例如，级数,逐项求导后得级数,所以原级数不可以逐项求导,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,二、典型例题,原级数发散.,收敛;,发散;,例2,解,余项的绝对值,例3,研究级数,在区间(0,1内的一致收敛性.,解,对于任意一个自然数,因此级数在(0,1)内不一致连续,说明:,从下图可以看出:,证,例4,证明级数,例5,解,两边逐项积分,第8章,幂级数,引言前面介绍了一般的函数项级数，重点是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以及一致收敛函数项级数的性质.从今天开始，我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函数项级数，一类是“幂级数”（代数多项式的推广）；另一类是“Fourier级数”（三角多项式的推广，三角级数的特例，在物理中有广的应用）.,8.1幂级数,一幂级数及其收敛性,二幂级数的性质,三幂级数的运算,一、幂级数及其收敛性,1.定义,幂级数系数,2.幂级数的收敛点与收敛域,因此级数敛散性的问题对于函数项级数或幂级数而言，正确的提法是区间上的那些点使级数收敛，那些点使级数发散？,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域上),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是常数项级数的收敛问题.,3.和函数,定义域是什么?,定义域就是级数的收敛域,证明,由(1)结论,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,由定理8.1知道,定义:正数R称为幂级数的收敛半径.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,收敛域是,证明,由比值审敛法,例1求下列幂级数的收敛域:,解,该级数收敛;,该级数发散;,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为,解,发散,收敛,故收敛域为(0,1.,解,二幂级数的性质,1（阿贝尔第二定理）,定理8.4,证明：,2.和函数的分析运算性质:,（求和与求极限可交换次序),（求和与求积可交换次序),（求和与求导可交换次序),幂级数经逐项求导或逐项积分后，所得之幂级数的收敛半径不变；,说明：,在收敛区间的端点处的收敛性可能改变；,若经逐项求导或逐项积分后得幂级数在某一端点处收敛，则在该点处(2)、(3)仍成立。,三、幂级数的运算,代数运算性质:,(1)加减法,(其中,(2)乘法,(其中,柯西乘积,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,例：由几何级数的收敛得到的几个结论,两边求导得,两边积分得,解,解,两边积分得,显然，级数的收敛域为（1，1,解,收敛区间(-1,1),常用已知和函数的幂级数,四、小结,2.幂级数的收敛性:,收敛半径R,3.幂级数的运算:,分析运算性质,1.函数项级数的概念:,思考题,思考题解答,（注意下角标的灵活处理）,思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,思考题解答,不一定.,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,8.2函数的幂级数展开,一、泰勒级数二、函数展开成幂级数,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开,是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,可见,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,双阶乘,2.间接法,根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.,例如,例4,解,例5,解,例6,解,例7,解,例8,解,注：常用函数的麦克劳林级数,三、小结,1.如何求函数的泰勒级数;,2.泰勒级数收敛于函数的条件;,3.函数展开成泰勒级数的方法.,思考题,什么叫幂级数的间接展开法？,思考题解答,从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之.,第8章习题课,(1)定义,1、,幂级数,(2)收敛性,推论,定义:正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,a.代数运算性质:,加减法,(其中,(3)幂级数的运算,乘法,(其中,除法,b.和函数的分析运算性质:,2、幂级数展开式,(1)定义,(2)充要条件,(3)唯一性,(3)展开方法,a.直接法(泰勒级数法),步骤:,b.间接法,根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.,(4)常见函数展开式,(5)应用,a.近似计算,b.欧拉公式,例1.求下列各幂级数的