高考抛物线考试结论大全

内部资料 抛物线抛物线 （1）抛物线）抛物线二次曲线的和谐线二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率 e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的 1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华 丽的篇章. 【例 1】P 为抛物线pxy2 2 上任一点，F 为焦点，则以 PF 为直径的圆与 y 轴（） . A相交.B相切.C相离.D位置由 P 确定 【解析】如图，抛物线的焦点为,0 2 p F ，准线是 : 2 p l x .作 PHl于 H，交 y 轴于 Q，那么PFPH， 且 2 p QHOF.作 MNy 轴于 N 则 MN 是梯形 PQOF 的 中位线， 111 222 MNOFPQPHPF.故以 PF 为直径的圆与 y 轴相切，选 B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的. （2）焦点弦）焦点弦常考常新的亮点弦常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的. 【例 2】 过抛物线02 2 ppxy的焦点 F 作直线交抛物线于 1122 ,A x yB xy两点，求证： （1） 12 ABxxp（2） pBFAF 211 【证明】 （1）如图设抛物线的准线为l，作 1 AAl 11111 , 2 p A BBlBAAx于 ，则 AF， 12 2 p BFBBx.两式相加即得： 12 ABxxp （2）当 ABx 轴时，有 AFBFp ， 112 AFBFp 成立； 当 AB 与 x 轴 不 垂 直 时 ， 设 焦 点 弦 AB 的 方 程 为 ： 2 p yk x .代入抛物线方程： 2 2 2 2 p kxpx .化简得： 2 2222 201 4 p k xp kxk X Y P H MN O (,0) 2 p F : 2 p l x=- 2 2ypx= Q X Y F A(x,y) 1 1 B(x,y) 2 2 A1 B1 l 内部资料 方程（1）之二根为 x1，x2， 1 2 2 4 k xx. 12 2 11 12 1212 111111 22 24 xxp pp ppAFBFAABB xx x xxx 1212 22 12 12 2 2 424 xxpxxp p pppp xxp xx . 故不论弦 AB 与 x 轴是否垂直，恒有 pBFAF 211 成立. （3）切线）切线抛物线与函数有缘抛物线与函数有缘 有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功. 【例 3】证明：过抛物线 2 2ypx上一点 M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0） 【证明】对方程 2 2ypx两边取导数：22. p y ypy y ，切线的斜率 0 0 x x p ky y .由点斜式方程： 2 00000 0 1 p yyxxy ypxpxy y 2 00 21ypx，代入（）即得：y0y=p（x+x0） （4）定点与定值）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获. 例 如 ： 1. 一 动 圆 的 圆 心 在 抛 物 线xy8 2 上 ， 且 动 圆 恒 与 直 线02 x相 切 ， 则 此 动 圆 必 过 定 点 （） . 4,0. 2,0. 0,2. 0, 2ABCD 显然.本题是例 1 的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选 B. 2.抛物线 2 2ypx的通径长为 2p； 3.设抛物线 2 2ypx过焦点的弦两端分别为 1122 ,A x yB xy，那么： 2 12 y yp 以下再举一例 【例 4】设抛物线 2 2ypx的焦点弦 AB 在其准线上的射影是 A1B1，证明：以 A1B1为直径的圆必过一定点 【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么 A1B1=AB=2p，而 A1B1与 AB 的距离为 p，可知该圆必过抛物线的焦点. 由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对 AB 的一般情形给于证明. 内部资料 【证明】如图设焦点两端分别为 1122 ,A x yB xy， 那么： 22 121112 .y ypCACByyp 设抛物线的准线交 x 轴于 C，那么.CFp 2 111111 .90AFBCFCACBAFB中故. 这就说明：以 A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点. 通法通法 特法特法 妙法妙法 （1）解析法）解析法为对称问题解困排难为对称问题解困排难 解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）. 【例 5】 （07.四川文科卷.10 题）已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于（） A.3B.4C.32D.42 【分析】直线 AB 必与直线 x+y=0 垂直，且线段 AB 的中点必在直线 x+y=0 上，因得解法如下. 【解析】点 A、B 关于直线 x+y=0 对称，设直线 AB 的方程为： yxm.由 2 2 301 3 yxm xxm yx 设方程（1）之两根为 x1，x2，则 12 1xx . 设 AB 的中点为 M（x0，y0） ，则 12 0 1 22 xx x .代入 x+y=0：y0= 1 2 .故有 1 1 , 2 2 M . 从而1myx.直线 AB 的方程为：1yx.方程（1）成为： 2 20 xx.解得： 2,1x ，从而1,2y ，故得：A（-2，-1） ，B（1，2）.3 2AB，选 C. （2）几何法）几何法为解析法添彩扬威为解析法添彩扬威 虽然解析法使几何学得到长足的发展， 但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算， 这又使得许多考生对解析几何习题望而 生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法. 【例 6】 （07.全国全国 1 卷卷.11 题）题）抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上 方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积（） A4B3 3C4 3D8 【解析】如图直线 AF 的斜率为3时AFX=60. X Y A B F A 1 B1 1 M C X O Y A B M 0lxy+= X Y O F(1,0) A K 60 Y 2 =2px L:x=-1 M 内部资料 AFK 为正三角形.设准线l交 x 轴于 M，则2,FMp 且KFM=60， 2 3 4,44 3 4 AKF KFS.选 C. 【评注】 （1）平面几何知识：边长为 a 的正三角形的 面积用公式 2 3 4 Sa 计算. （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点 A 的坐标， ，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的 几何法简单. （3）定义法）定义法追本求真的简单一着追本求真的简单一着 许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单. 【例 7】 （07.湖北卷.7 题）双曲线 22 1 22 :1(00) xy Cab ab ，的左准线为l，左焦点和右焦点分别为 1 F和 2 F；抛物线 2 C的线为l，焦点为 21 FC；与 2 C的一个交点为M，则 121 12 FFMF MFMF 等于（） A1B1C 1 2 D 1 2 【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去 寻找出路吧. 如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距 c，离心率为 e，作MHlH 于，令 1122 ,MFr MFr.点 M 在抛物线上， 11 1 22 22 , MFMFr MHMFre MHMFr 故， 这就是说： 1 2 | | MF MF 的实质是离心率 e. 其次， 12 1 | | FF MF 与离心率 e 有什么关系？注意到： 1212 1111 221 11 FFe rrcea ee MFrrre . 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于 121 12 | 11 | FFMF ee MFMF .选 A. 内部资料 （4）三角法）三角法本身也是一种解析本身也是一种解析 三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然 后根据各种三角关系实施“九九归一”达到解题目的. 因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算. 【例 8】 （07.重庆文科.21 题）如图，倾斜角为 a 的直线经过抛物线 xy8 2 的焦点 F，且与抛物线交于 A、B 两点。 （）求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程； （）若 a 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。 【解析】 （）焦点 F（2，0） ，准线;2l x . （）直线 AB： tan21 .yx 2 8 y x 代入（1） ，整理得： 2 tan816tan02yy 设方程（2）之二根为 y1，y2，则 12 12 8 tan 16 yy yy . 设 AB 中点为 12 0 00 2 00 4 4cot ,2tan cot24cot2 yy y M xy xy 则 AB 的垂直平分线方程是： 2 4cotcot4cot2yx . 令 y=0，则 22 4cot64cot6xP，有，0 故 222 4cot624 cot14cosFPOPOF 于是|FP|-|FP|cos2a= 222 4csc1 cos24csc2sin8，故为定值. （5）消去法）消去法合理减负的常用方法合理减负的常用方法. 避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上 所说的“不战而屈人之兵”. 【例 9】 是否存在同时满足下列两条件的直线l： （1）l与抛物线xy8 2 有两个不同的交点 A 和 B； （2）线段 AB 被 直线 1 l：x+5y-5=0 垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程. 【解析】假定在抛物线xy8 2 上存在这样的两点 1122 .A xyB xy，则有： 2 11 121212 2 22 8 8 8 yx yyyyxx yx 12 1212 8 AB yy k xxyy A M 内部资料 线段 AB 被直线 1 l：x+5y-5=0 垂直平分，且 1 1 5 5 lAB kk ，即 12 8 5 yy 12 8 5 yy. 设线段 AB 的中点为 12 000 4 25 yy M xyy ，则.代入 x+5y-5=0 得 x=1.于是： AB 中点为 4 1 5 M ，.故存在符合题设条件的直线，其方程为： 4 51255210 5 yxxy，即： （6）探索法）探索法奔向数学方法的高深层次奔向数学方法的高深层次 有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想 证明再猜想再证明.终于发现“无限风光在险峰”. 【例 10】 （07.安徽卷.14 题）如图，抛物线 y=-x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A，将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记 为 P1,P2,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线， 与抛物线的交点依次为 Q1， Q2， ， Qn-1， 从而得到 n-1 个直角三角形Q1OP1, Q2P1P2, Qn-1Pn-1Pn-1,当 n时，这些三角形的面积之和的极限为. 【解析】 1 1OA n ， 图中每个直角三角形的底边长均为 设 OA 上第 k 个分点为 2 2 2 0 .11. k kk Pyxy nn ， 代入： 第 k 个三角形的面积为： 2 1 1 1. 2 k k a nn 2 22 1 22 1211411 1 212 n nnn Sn nnn . 故这些三角形的面积之和的极限 2 1411111 limlim 14 12123 nn nn S nnn 抛物线定义的妙用抛物线定义的妙用 对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高思维能力。现举例说明如下。 一、求轨迹（或方程） 例 1. 已知动点 M 的坐标满足方程，则动点 M 的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对 解：由题意得： 即动点到直线的距离等于它到原点（0，0）的距离 由抛物线定义可知：动点 M 的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线为准线的抛物线。 故选 C。 二、求参数的值 例 2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点到焦点距离为 5，求 m 的值。 内部资料 解：设抛物线方程为，准线方程： 点 M 到焦点距离与到准线距离相等 解得： 抛物线方程为 把代入得： 三、求角 例 3. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点，若 A、B 在抛物线准线上的射影分别为，则 _。 A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 图 1 解：如图 1，由抛物线的定义知： 则 由题意知： 即 故选 C。 四、求三角形面积 例 4. 设 O 为抛物线的顶点，F 为抛物线的焦点且 PQ 为过焦点的弦，若，。求OPQ 的面积。 解析：如图 2，不妨设抛物线方程为，点、点 图 2 则由抛物线定义知： 又，则 由得： 内部资料 即 又 PQ 为过焦点的弦，所以 则 所以， 点评：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。 五、求最值 例 5. 设 P 是抛物线上的一个动点。 （1）求点 P 到点 A（-1，1）的距离与点 P 到直线的距离之和的最小值； （2）若 B（3，2），求的最小值。 解：（1）如图 3，易知抛物线的焦点为 F（1，0），准线是 由抛物线的定义知：点 P 到直线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离。 于是，问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到点 A（-1，1）的距离与点 P 到 F（1，0）的距离之和最小。 显然，连结 AF 交曲线于 P 点，则所求最小值为，即为。 图 3 （2）如图 4，自点 B 作 BQ 垂直准线于 Q 交抛物线于点，则 ，则有 即的最小值为 4 图 4 点评： 本题利用抛物线的定义， 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离， 从而构造出 “两点间线段距离最短” ， 使问题获解。 六、证明 例 6. 求证：以抛物线过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。 证明：如图 5，设抛物线的准线为 ，过 A、B 两点分别作 AC、BD 垂直于 ，垂足分别为 C、D。取线段 AB 中点 M，作 MH 垂 直 于 H。 内部资料 图 5 由抛物线的定义有： ABDC 是直角梯形 即为圆的半径，而准线过半径 MH 的外端且与半径垂直，故本题得证。 抛物线与面积问题抛物线与面积问题 抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点 把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解。 例 1. 如图 1，二次函数的图像与 x 轴交于 A、B 两点，其中 A 点坐标为（1，0）。点 C（0， 5）、点 D（1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点。 图 1 （1）求抛物线的解析式； （2）求MCB 的面积。 解：（1）设抛物线的解析式为 ，根据题意得 ，解得 所求的抛物线的解析式为 （2）C 点坐标为（0，5），OC5 令，则， 解得 B 点坐标为（5，0），OB5 ， 顶点 M 的坐标为（2，9） 过点 M 作 MNAB 于点 N， 则 ON2，MN9 内部资料 例 2. 如图 2，面积为 18 的等腰直角三角形 OAB 的一条直角边 OA 在 x 轴上，二次函数的图像 过原点、A 点和斜边 OB 的中点 M。 图 2 （1）求出这个二次函数的解析式和对称轴。 （2）在坐标轴上是否存一点 P，使PMA 中 PAPM，如果存在，写出 P 点的坐标，如果不存在，说明理由。 解：（1）等腰直角OAB 的面积为 18， OAOB6 M 是斜边 OB 的中点， 点 A 的坐标为（6，0） 点 M 的坐标为（3，3） 抛物线 ，解得 解析式为， 对称轴为 （2）答：在 x 轴、y 轴上都存在点 P，使PAM 中 PAPM。 P 点在 x 轴上，且满足 PAPM 时，点 P 坐标为（3，0）。 P 点在 y 轴上，且满足 PAPM 时，点 P 坐标为（0，3）。 例 3. 二次函数的图像一部分如图 3，已知它的顶点 M 在第二象限，且经过点 A（1，0）和点 B（0，1）。 图 3 （1）请判断实数 a 的取值范围，并说明理由。 （2）设此二次函数的图像与 x 轴的另一个交点为 c，当AMC 的面积为ABC 面积的倍时，求 a 的值。 解：（1）由图象可知：；图象过点（0，1），所以 c1；图象过点（1，0），则； 当时，应有，则 当代入 得，即 所以，实数 a 的取值范围为。 内部资料 （2）此时函数， 要使 ， 可求得。 例 4. 如图 4，在同一直角坐标系内，如果 x 轴与一次函数的图象以及分别过 C（1，0）、D（4，0）两点且平 行于 y 轴的两条直线所围成的图形 ABDC 的面积为 7。 图 4 （1）求 K 的值； （2）求过 F、C、D 三点的抛物线的解析式； （3）线段 CD 上的一个动点 P 从点 D 出发，以 1 单位/秒的速度沿 DC 的方向移动（点 P 不重合于点 C），过 P 点作直线 PQ CD 交 EF 于 Q。当 P 从点 D 出发 t 秒后，求四边形 PQFC 的面积 S 与 t 之间的函数关系式，并确定 t 的取值范围。 解：（1）点 A、B 在一次函数的图象上， 且 四边形 ABDC 的面积为 7 。 （2）由 F（0，4），C（1，0），D（4，0）得 （3）PD1tt OP4t 即。 抛物线抛物线 1 已知抛物线已知抛物线 D：y2=4x 的焦点与椭圆的焦点与椭圆 Q：)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右焦点的右焦点 F1重合重合，且点且点) 2 6 ,2(P在椭圆在椭圆 Q 上上。 （） 求椭圆求椭圆 Q 的方程及其离心率的方程及其离心率； （） 若倾斜角为若倾斜角为 45的直线的直线 l 过椭圆过椭圆 Q 的左焦点的左焦点 F2， 且与椭圆相交于且与椭圆相交于 A， B 两点，求两点，求ABF1的面积。的面积。 内部资料 解： （）由题意知，抛物线xy4 2 的焦点为（1，0） 椭圆 Q 的右焦点 F1的坐标为（1，0） 。1 22 ba 又点) 2 6 ,2(P在椭圆 Q 上，1 ) 2 6 ( )2( 2 2 2 2 ba 即1 2 32 22 ba 由，解得3, 4 22 ba椭圆 Q 的方程为1 34 22 yx 离心离 2 1 1 2 2 a b a c e （） 由 （） 知 F2（1， 0） 直线 l 的方程为1) 1(45tan0xyxy，即设),(),( 2211 yxByxA， 由方程组 1 34 1 22 yx xy 消y整理，得 7 8 , 7 8 , 0887 2121 2 xxxxxx 7 212 4)(2|2| 21 2 2121 xxxxxxAB 又点 F1到直线 l 的距离2 ) 1(1 |11| 2 d 7 12 2 7 212 2 1 | 2 1 1 dABS ABF 2 如图所示，抛物线如图所示，抛物线 y2=4x 的顶点为的顶点为 O，点，点 A 的坐标为的坐标为(5，0)，倾斜角为，倾斜角为 4 的直线的直线 l 与线段与线段 OA 相交相交(不经过点不经过点 O 或点或点 A)且且 交抛物线于交抛物线于 M、N 两点，求两点，求AMN 面积最大时直线面积最大时直线 l 的方程，并求的方程，并求AMN 的最大面积的最大面积 解法一由题意，可设 l 的方程为 y=x+m,其中5m0由方程组 xy mxy 4 2 ,消去 y,得 x2+(2m4)x+m2=0 直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N，方程的判别式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得 m1,又5m 0,m 的范围为(5，0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4)1 (2m点 A 到直线 l 的距离为 d= 2 5m S=2(5+m)m1,从而 S2=4(1m)(5+m)2=2(22m