2.3等腰三角形(1)

等腰三角形,2.3,我们前面已经学习了三角形的一些性质，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊的性质呢？,任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，如图.,作ABC关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，,由于1=2，AB=AC，因此：,D,1,2,射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线；线段AB的像是线段AC，线段AC的像是线段；点B的像是点C，点C的像是点；线段BC的像是线段CB.从而等腰三角形ABC关于直线对称.,AB,AB,B,AD,由于点D的像是点D，因此线段DB的像是线段，从而AD是底边BC上的.由于射线DB的像是射线DC，射线DA的像是射线，因此BDACDA=，从而AD是底边BC上的.由于射线BA的像是射线CA，射线BC的像是射线，因此BC.,DC,中线,DA,=,90,高,CB,=,由此得到等腰三角形的性质定理：,等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.,等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).,等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”).,因为ABC是等边三角形，所以AB=BC=AC，从而C=A=B.由三角形内角和定理可得：A=B=C=60.,如图，ABC是等边三角形，那么A，B，C的大小之间有什么关系呢？,由此得到等边三角形的如下性质：,等边三角形的三个内角相等，且都等于60.,由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.,例1已知：如图，在ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且AD=AE.求证：BD=CE.,举例,证明作AFBC，垂足为点F，,则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.,BF=CF，,BF-DF=CF-EF，,DF=EF，,即BD=CE.,如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅锤线上.,（1）AD与BC是否垂直，试说明理由.,（2）这时BC处于水平位置，为什么？,1.如图，在ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，BAC=49，BC=4，求BAD的度数及DC的长.,答：BAD=24.5，DC=2.,2.如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且APD=80，AD=AP，求DPC的度数.,答：DPC=20.,我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？,如图，在ABC中，如果B=C，那么AB与AC之间有什么关系吗？,我测量后发现AB与AC相等.,3cm,3cm,事实上，如图，在ABC中，B=C.,沿过点A的直线把BAC对折，,得BAC的平分线AD交BC于点D，,则1=2.,又B=C，,由三角形内角和的性质得ADB=ADC.,沿AD所在直线折叠，,由于ADB=ADC，1=2，,所以射线DB与射线DC重合，,射线AB与射线AC重合.,从而点B与点C重合，,于是AB=AC.,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).,三个角都是60的三角形是等边三角形.,由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理：,例2已知：如图，在ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DEBC.求证：ADE为等腰三角形.,举例,证明AB=AC，,B=C.,又DEBC，,ADE=B，AED=C.,ADE=AED.,于是ADE为等腰三角形.,有一个角是60的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？,如图，在等腰三角形ABC中，,AB=AC.,由三角形内角和定理得A+B+C=180.,如果顶角A=60，,则B+C=180-60=120.,又AB=AC，,B=C.,B=C=A=60.,ABC是等边三角形.,由此得到另一条等边三角形的判定定理：,有一个角是60的等腰三角形是等边三角形,例3已知：如图，ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.求证：ADE是等边三角形.,举例,证明ABC是等边三角形，,BAC=B=C=60.,EAD=BAC=60，,又AD=AE，,ADE是等边三角形,（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）,1.已知：等腰三角形ABC的底角ABC和ACB的平分线相交于点O.求证：OBC为等腰三角形.,ABD=DBC=，ACE=ECB=，,DBC=ECB，,OBC是等腰三角形.,又ABC是等腰三角形，,ABC=ACB，,2.已知：如图，CD平分ACB，AEDC，AE交BC的延长线于点E，且ACE=60.求证：ACE是等边三角形.,在ACE中，CAE=180-E-ACE=60,又ACE=60，,BCD=E=60，,ACD=DCB，,ACD=DCB=60，,又AEDC，,CAE=ACE=E=60,ACE是等边三角形.,3.已知：如图，AB=BC，CDE=120，DFBA，且DF平分CDE.求证：ABC是等边三角形.,ABC是等边三角形.,又CDE=120，DF平分CDE.,FDC=ABC=60，,ABC是等腰三角形，,EDF=FDC=60，,又DFBA，,例1,等腰三角形两边长分别是2