2020-2021学年高中数学 第2章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示学案 新人教A版必修4

2.3.4平面向量共线的座标表现法学习目标核素食主义1.了解用坐标表示两个矢量共线的条件。(困难)2.可以根据平面矢量的坐标确定矢量是否共线，并确定如何确定三点共线。(焦点)3.确定两条直线平行且两个向量共线。(容易混合的点)通过平面矢量共线的坐标表示及应用，培养学生、逻辑推理及数学运算素养。平面向量共线的座标表现法(1) a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b0，a，b共线，仅当存在实数时，a= b(2)用坐标表示时，(x1，y1)= (x2，y2)，仅当x1y2-x2y1=0时，矢量a，b(b0)才共线。思考：两个矢量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)共线坐标条件是否可以表示为=？提示必须，x2，y2之一为0时，缩放没有意义，只能在x22 0时使用。1.已知的a(2，-1)、b(3，1)，平行且相反的向量a为()a.(2，1) b. (-6，-3) c. (-1，2) d. (-4，-8)d =(1，2)，根据平行条件d.2.以下每对矢量中共线的是()a.a=(2，3)，b=(3，-2)b.a=(2，3)，b=(4，-6)c.a=(，-1)，b=(1，)d.a=(1，)，b=(，2)在d a，b，c中，每对矢量不共线，在d中，b=a，两个矢量共线。3.如果已知a=(-3，2)，b=(6，y)和a/b，则y=_ _ _ _ _ _ _ _。-4ab，y=-4。4.a(3，-6)、b (-5，2)、c(6，y)如果三个点共线，则y=_ _ _ _ _ _ _ _ _。-9 =(-8，8)，=(3，y 6)，-a，b，c三点一线，即-7500；-8(y 6)-83=0，y向量共线的判断和证明(示例1) (1)以下矢量组中共线的是()a.a=(-2，3)，b=(4，6)b.a=(2，3)，b=(3，2)c.a=(1，-2)，b=(7，14)d.a=(-3，2)，b=(6，-4)(2)已知的a (-1，-1)、b(1，3)、c(1，5)、d(2，7)，向量是否平行？线ab是否与线cd平行？想法要点：(1)使用“垂直和水平交错产品相减”判断。(2) (1)d a到-26-34 0，b到33-22 0，c到114-(-2) 7 0，d到(-3) (-)因此d.(2)解决方案 875=(1-(-1)，3-(-1)=(2，4)，=(2-1，7-5)=(1，2)。22-41=0，此外，=(2，6)，=(2，4)，24-260，a、b、c不共线，ab与光盘不匹配。ab cd .矢量共线确定方法通知：矢量共线的坐标表达式编写得非常错误，例如，创建x1y1-x2y2=0或x1x2-y1 y2=0。因此，最好理解并记住此公式。水平和垂直交错的乘积相减。1.已知a(1，-3)、b、c(9，1)；验证：a、b、c在3点共线。证明=，=(9-1，1 3)=(8，4)，74-8=0，还有公共场所a，a、b、c 3点共线。已知平面向量共线参数表参数示例2如果已知a=(1，2)、b=(-3，2)、k是值，那么ka b为什么与a-3b平行？平行的时候是同一个方向还是相反的方向？想法点：方法1: b和非零矢量a与b= a ( 0，b等于a)共线。0，b和a反转)解；方法2:可以使用坐标形式的等效条件求出k，然后使用b= a确定各向同性或反向。解决方案方法1:(共线矢量清理方法)ka b=k (1，2) (-3，2)=(k-3，2k 2)，a-3b=(1，2)-3 (-3，2)=(10，-4)，当ka b与a-3b平行时，有唯一的实数。设定ka b= (a-3b)。基准(k-3，2k 2)= (10，-4)，所以解决方案k=-。k=-时，ka b与a-3b平行，此时ka b=-a b=-(a-3b)，因为=-0，所以ka b与a-3b相反。方法2:(坐标法)在问题中，ka b=(k-3，2k 2)、a-3b=(10，-4)，因为ka b平行于a-3b所以(k-3) (-4)-10 (2k 2)=0，解决方案k=-。此时，ka b=-(a-3b)、因此，当k=-时，ka b平行于a-3b并翻转。使用向量并行条件处理评估问题：(1)用共线矢量定理a= b (b 0)列方程求解。(2)使用矢量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解。2.已知向量a=(1，2)，b=(2，-2)，c=(1，)，c(2a b)时=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。问题中的2a b=(4，2)、c(2a b)、c=(1，)、4-2=0，即=。所以答案是。矢量共线的综合应用(示例3) (1)已知矢量a=(cos ，-2)，b=(sin，1)和a-b等于2sin cos ()a.3b-3c.-d .(2)图中所示，a(4，0)、b(4，4)、c(2，6)获取ac和ob的交点p的坐标。想法点：(1)首先引入a/b中sin 和cos 的关系，求出tan ，然后求出2sin cos ，而不是“1”。(2)需要点p的坐标，只需要从共线得到的向量的坐标=，用与共线的坐标表示即可。您也可以设定p(x，y)、和/来求解x，y的方程式。(1)由于cab，所以cos 1-(-2) sin=0，也就是cos =-2sin ，tan =-，所以2sin cos =-。(2)解决方案方法1:(清理方法)o，p，b 3点共线，可设置=(4 ，4)，等于=-=(4 -4，4由于(4 -4) 6-4 (-2)=0，解决方案=(3，3)，因此p点的座标为(3，3)。方法2:(坐标方法)如果设置p(x，y)，则表示与=(x，y)=(4，4)共线，因此=，x=y此外，如果=(x-4，y)、=(-2，6)和共线(x-4)，则6-y (-2)=0，x=y=3已解析，因此p点的座标为(3)应用矢量共线的坐标表示解决几何问题的步骤3.如图所示，在aob中，a(0，5)、o(0，0)、b(4，3)、=、=、ad与点m相交以获取点m的坐标。因为解决，所以=(0，5)=，所以c因为=(4，3)=，所以d .如果设定m(x，y)，则=(x，y-5)、=。因为或者，所以-x-2(y-5)=0，即7x 4y=20。另外=，=，因为x-4=0，即7x-16y=-20。联立 解决方案x=，y=2，因此点m的坐标为。共线矢量和线段点坐标计算探究问题1.如何找到p1，p2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，p1p2线段中点p的坐标？提示：如图所示，p是p1p2的中点。=，875-=-，=()=、线p1p2的中点坐标为。2.如果p1，p2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，并且点p是线段p1p2的三等分点，则p点坐标是什么？提示：点p是线段p1p2的三等分点，分为两种情况：如果=，则=(-)=；=当，=(-)=。3=时，点p的坐标是什么？提示：=(-=-、=(x1，y1) (x2，y2)=、p .范例4点a(3，-4)和点b (-1，2)，点p位于线ab上，| |=2 | |寻找点p的座标。点子点：点p位于直线ab上，点p位于直线ab上，并且位于直线段ab的延长线上，因此必须对其进行分类。将p点坐标设定为(x，y)。| |=2 | |。如果p在段ab中=2，(x-3，y 4)=2 (-1-x，2-y)，理解p点坐标为.p位于段ab延伸线时，=-2，(x-3，y 4)=-2 (-1-x，2-y)，理解p点坐标为(-5，8)。总而言之，点p的坐标为或(-5，8)。1.如果将此范例条件| |=2 | |变更为=3的其他条件未变更，则取得点p的座标。解决方案等于3，因此(x-3，y 4)=3 (-1-x，2-y)，所以解开了所以点p的坐标是。2.如果将此范例条件变更为通过点p (-2，3)的直线，并将x、y轴变更为点a、b、| |=3 | |，则将取得点a、b的座标。解决方案有三个点共线：a、b和p，并设置| |=3 |，a(x，0)，b(0，y)。如果点p在a，b之间=3，(-x，y)=3 (-2-x，3)，解决方案x=-3，y=9，点a，b的坐标分别为(-3，0)，(0，9)。点p不在a，b之间，-3，同样，点a，b的坐标分别为，(0，-9)。总之，点a，b的坐标分别为(-3，0)、(0，9)或，(0，-9)。取得点的座标时要注意的问题(1)设定p1(x1，y1)、p2(x2，y2)。如果点p是p1p2的中点，则p(x，y)为(2)在求p1p2线段或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，转换为向量问题后，在写方程解列表的同时，要注意分类讨论。(3)如果 0 1，p在线段p1p2 =1时，p与p2匹配。 1，点p线段p1p2延长线； 0，点p线段p1p2逆延长线。1.两个向量的共线条件表示已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(1) b0时a= b(2) x1y2-x2y1=0。(3)当x2y20时，=，即两个向量的对应座标成比例。2.应用矢量共线的坐标表示两个向量共线坐标表示的应用可以分为两个方面。(1)两个已知矢量的坐标确定两个矢量共线。可以证明接触平面几何图元平行、共线、三点共线、直线平行等几何问题。需要注意的是，分隔向量的共线、平行与几何图形的共线和平行不同。(2)知道两个矢量共线，求出点或矢量的坐标，求出参数的值，求出轨迹方程，方程思想的应用，矢量共线的条件，矢量相同的条件等，都可以作为热方程的基础。1.以下两项中的一项无效：()a.如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，并且a与b共线，则=。b.如果a=(x1，y1)、b=(x2，y2)和x1y2x2y1，则a不与b共线。c.如果a、b、c三点共线，则向量，都是共线向量。d.a(3，-6)、b (-5，2)、c(6，y)如果三个点共线，则y=-9。a如果a中的x2或y2为0，则比例没有意义，b，c都正确；在d中，如果=(-8，8)，=(11，y-2)，则为-8 (y-2)-811=0，y=-9。d正确2.如果您知道两点a(2，-1)、b(3，1)，则平行且相反的向量a可以是()a.(1，-2) b. (9，3)c.(-2，4) d. (-4，-8)d 因问题而=(1，2)，因此a=(，2)(其中 0)。符合条件的只有d项，因此d.3.已知平面矢量a=(1，2)，b=(-2，m)，对于a/b，2a 3b为_ _ _ _ _ _。(-4，-8)-a-b，-1m-(-2)2=0，m=-4，；a=(1，2)，b=(-2，-4)，2a 3b=2(1，2) 3 (-2，-4)=(-4，-8)。4.已知笛卡尔坐标平面上的4