2017年全国初中数学联合竞赛(初二年级)试题参考答案和评分标准

2017 年年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及评分标准全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及评分标准 说明：说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题， 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在 评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试第一试 一、选择题一、选择题： （本题满分（本题满分 42 分，每小题分，每小题 7 分）分） 1已知实数, ,a b c满足213390abc，3972abc，则 3 2 bc ab （ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 【答】【答】B. 已知等式可变形为2(2 )3(3)90abbc，3(2 )(3)72abbc，解得218ab， 318bc，所以 3 2 bc ab 1. 2已知实数, ,a b c满足1abc ， 111 0 135abc ，则 22 (1)(3)ab 2 (5)c （ ） A.125 B120 C100 D81 【答】【答】C. 令1ax ，3by，5cz，则(1)(3)(5)10 xyzabc，且 由 111 0 135abc 得 111 0 xyz ，所以0 xyyzzx. 所以 2222222 (1)(3)(5)()2()100abcxyzxyzxyyzzx. 3若正整数, ,a b c满足abc且2()abcabc ，则称( , , )a b c为好数组.那么，好数组的个数 为 （ ） A. 4 B3 C2 D1 【答】【答】B. 若( , , )a b c为好数组，则2()6abcabcc ，所以6ab.显然，a只能为 1 或 2. 若a2，由6ab可得2b 或 3，2b 时可得4c ，3b 时可得 5 2 c （不是整数） ； 若a1，则2(1)bcbc ，于是可得(2)(2)6bc，可求得( , , )a b c（1，3，8）或（1，4， 5）. 综合可知：共有 3 个好数组，分别为（2，2，4） ， （1，3，8）和（1，4，5）. 2017 年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及评分标准 第 1 页（共 5 页） 4已知正整数, ,a b c满足 2 6390abc， 2 60abc，则 222 abc （ ） A. 424 B. 430 C. 441 D. 460 【答】【答】C. 由已知等式消去c整理得 22 (9)3(1)75ab， 所以 2 3(1)75b， 又b为正整数， 解得16b. 若b1，则 2 (9)75a，无正整数解； 若b2，则 2 (9)72a，无正整数解； 若b3，则 2 (9)63a，无正整数解； 若b4，则 2 (9)48a，无正整数解； 若b5，则 2 (9)27a，无正整数解； 若b6，则 2 (9)0a，解得9a ，此时18c . 因此，9a ，b6，18c ，故 222 abc441. 5梯形ABCD中，/ADBC，3AB ，4BC ，2CD ，1AD ，则梯形的面积为 （ ） A. 10 2 3 B. 10 3 3 C. 3 2 D. 3 3 【答】【答】A. 作/AEDC，AHBC，则ADCE是平行四边形，所以1CEAD， 2AECD，从而4 13BEBCCEAB ，所以ABE是等腰三角 形，底边AE边上的高为 22 312 2. 所以ABE的面积 11 2 2 22 SAEBE AH，故可得 4 2 3 AH . 所以梯形的面积为 14 210 2 (1 4) 233 . 6如图，梯形ABCD中，/ADBC,90A ，点E在AB上，若42AE ， 28BE ，70BC ，45DCE，则DE （ ） A. 56 B. 58 C.60 D. 62 【答】【答】B. 作CFAD， 交AD的延长线于点F， 将CDF绕点C逆时针方向旋转90至 CGB，则ABCF为正方形，且45ECGECD，CGCD，CECE，所以，ECG ECD，所以EGED. 设DEx，则28DFBGx，7098ADDFx. 在RtEAD中，有 222 42(98) xx，解得58x . 2017 年全国初中数学联合竞赛试题（初二年级）参考答案及评分标准 第 2 页（共 5 页） DA BCHE FA CB E D G 二、填空题二、填空题： （本题满分（本题满分 28 分，每小题分，每小题 7 分）分） 1使得等式 3 11 aa成立的实数a的值为_ 【答】【答】8. 由所给等式可得 32 (11)aa.令1xa， 则0 x ， 且 2 1ax， 于是有 322 (1)(1)xx， 整理后因式分解得 2 (3)(1)0 x xx，解得 1 0 x ， 2 3x ， 3 1x （舍去） ，所以1a 或8a . 验证可知：1a 是原方程的增根，8a 是原方程的根. 所以，8a . 2已知ABC的三个内角满足100ABC，用表示100,C CB BA中的最小者，则 的最大值为_ 【答】【答】20. 因为表示100,C CB BA中的最小者，所以100C，CB，BA，所以 63(100)2()()300()120CCBBAABC，所以20. 又当10020CCBBA，即80 ,60 ,40CBC时，满足题设条件，故可取到 20. 因此，的最大值为20. 3设, a b是两个互质的正整数，且 3 8ab p ab 为质数，则p 【答】【答】7. 因为, a b互质，所以ab与a和b都互质，而 3 8ab p ab 为质数，所以 3 1, 8 , ab p ab 或 3 , 8 1. abp ab 由 3 1, 8 , ab p ab 可得1ab，4p ，不合题意； 由 3 , 8 1. abp ab 可得7a ，1b ，7p ，符合题意； 所以7p . 4 420 个都不等于 7 的正整数排列成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于 7，则这 20 个数之 和的最小值为 【答】【答】34. 2017 年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及评分标准 第 3 页（共 5 页） 首先证明：对于任意 7 个正整数 127 ,b bb，其中一定存在若干个数（至少一个，也可以是全部）之 和为 7 的倍数. 我们来考虑如下 7 个正整数 112123127 ,b bb bbbbbb 如果中 7 个正整数有一个是 7 的倍数，则结论成立 如果中 7 个正整数没有一个是 7 的倍数， 则它们除以 7 所得的余数只能为 1， 2， ， 6 这 6 种情况 所 以，其中一定有两个正整数除以 7 所得的余数相同，不妨设为 12i bbb和 12j bbb （17ij ） ，于是 1ij bb 是 7 的倍数.所以，结论成立. 对于 20 个都不等于 7 的正整数 1220 ,a aa中的任意 7 个数，由上述结论可知，其中一定有若干个 数的和是 7 的倍数，又由题设知，它不等于 7，所以，它大于或等于 14. 又因为 20276，所以 1220 2 14634aaa 另外，当 714 8aa， 1220 ,a aa中其余的数都为 1 时， 1220 aaa34，即式等号成立. 所以， 1220 aaa的最小值为 34 第二试第二试 一一、 （本题满分（本题满分 2020 分）分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如 果 22 AB是完全平方数，求A的值. 解解 设10Aab，, a b为正整数且19a，19b，ab，则10Bba， 2222222 (10)(10)99()311 () ()ABabbaababab.5 分分 因为 22 AB是完全平方数，所以ab，且11|() ()abab. 又18ab，118ab，所以11ab. 10 分分 于是 2222 311()ABab，故ab也是完全平方数，所以ab1 或 4. 15 分分 如果ab1，结合11ab可求得6a ，5b . 如果ab4，结合11ab可知没有正整数解. 因此，6a ，5b ，A65. 20 分分 二、 （本题满分二、 （本题满分 25 分）分）如图，ABC中，D为BC的中点，DE平分ADB，DF平分ADC， BEDE，CFDF，P为AD与EF的交点.证明：2EFPD. 2017 年全国初中数学联合竞赛试题（初二年级）参考答案及评分标准 第 4 页（共 5 页） 证明证明 设2ADB，则1802ADC，ADEBDE， 90ADFCDF. 5 分分 由于BDE是直角三角形，所以9090EBDBDE，所以 EBDFDC. 10 分分 又因为D为BC的中点，所以BDDC，所以RtBDERtDCF， 所以BECF. 15 分分 又由EBDFDC可知/EBFD，因此，四边形BDFE是平行四边形，故/EFBD，于是可得 PEDBDE，PFDCDF. 20 分分 又因为BDEPDE，CDFPDF，所以PEDPDE，PFDPDF，所以 PEPDPF，所以2EFPD. 25 分分 三、 （本题满分三、 （本题满分 25 分）分）已知, ,a b c是不全相等的正整数，且 5 5 ab bc 为有理数，求 222 abc abc 的最 小值. 解解 因为, b c是正整数，5是无理数，故50bc. 而 2 2222 5( 5)( 5)(5)5() 555 ababbcabbcbac bcbcbc 为 有 理 数 ， 所 以 2 0bac， 故 2 bac，又, ,a b c不全相等，不妨设abc. 10 分分 又 22222222 2()()()abcaaccbacbacb acb ， 所 以 222 abc ab