2020-2021学年高中数学 第1章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值学案 新人教A版必修4

第2课时正弦、余弦函数的单调性与最值学 习 目 标核 心 素 养1.掌握ysin x和ycos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值(重点、难点)2.掌握ysin x和ycos x的单调性，并能利用单调性比较大小(重点)3.会求函数yasin(x)和yacos(x)的单调区间(重点、易混点)1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的单调性和最大(小)值等性质，提升学生的数学抽象素养.2.通过三角函数单调性等性质的学习，培养学生的运用数形结合研究问题的思想，提升学生的数学运算素养.正弦、余弦函数的图象与性质解析式ysin xycos x图象值域1,11,1单调性在2k，kz上递增，在2k，kz上递减在2k，2k，kz上递增，在2k，2k，kz上递减最值x2k，kz时，ymax1；x2k，kz时，ymin1x2k，kz时，ymax1；x2k，kz时，ymin1对称轴xk(kz)xk(kz)对称中心(k，0)kzkz思考：ysin x和ycos x在区间(m，n)(其中0mn2)上都是减函数，你能确定m、n的值吗？提示由正弦函数和余弦函数的单调性可知m，n.1y2sin的值域是()a2,2b0,2c2,0 d1,1a这里a2，故值域为2,22函数ysin的一个对称中心是()a. b.c. d.bysincos 2x，令2xk(kz)得x(kz)，令k0的对称中心为，故选b.3函数y2sin x取得最大值时x的取值集合为 当sin x1时，ymax2(1)3，此时x2k，kz.4函数f(x)cos的单调减区间为 (kz)令2k2x2k，kz，得kxk(kz)，故单调减区间为(kz)正弦函数、余弦函数的单调性【例1】(1)函数ycos x在区间，a上为增函数，则a的取值范围是 (2)已知函数f(x)sin1，求函数f(x)的单调递增区间思路点拨：(1)确定a的范围ycos x在区间，a上为增函数ycos x在区间，0上是增函数，在区间0，上是减函数a的范围(2)确定增区间令u2xysin u1的单调递增区间(2)解令u2x，函数ysin u1的单调递增区间为，kz，由2k2x2k，kz，得kxk，kz.所以函数f(x)sin1的单调递增区间是，kz.1本例(2)中条件不变，问是该函数的单调递增区间吗？解令2xu，x，2x，即u.而ysin u在上不单调，故ysin1在上不是单调递增的2本例(2)中条件不变，求在，上的单调递增区间解对于ysin1，由2k2x2k(kz)得kxk(kz)x，令k1时，x，令k0时，x，令k1时，x，函数ysin1在，上的单调递增区间为、和.3本例(2)中把条件中的“2x”改为“2x”，结果怎样？解ysin1sin1，令2k2x2k(kz)，得kxk(kz)故函数ysin1的单调递增区间为(kz)1求形如yasin(x)b或形如yacos(x)b(其中a0，0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得2具体求解时注意两点：要把x看作一个整体，若0，0时，将“x”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当a0时，同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律1(1)函数ysin，x的单调递减区间为 (2)已知函数ycos，则它的单调递减区间为 (1)，(2)(kz)(1)由2k3x2k(kz)，得x(kz)又x，所以函数ysin，x的单调递减区间为，.(2)ycoscos，由2k2x2k，kz，得kxk，kz，单调递减区间是(kz)利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小【例2】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)sin与sin；(2)sin 196与cos 156；(3)cos与cos.思路点拨：解(1)，sinsin.(2)sin 196sin(18016)sin 16，cos 156cos(18024)cos 24sin 66，0166690，sin 16sin 66，从而sin 16sin 66，即sin 196cos 156.(3)coscoscoscos，coscoscoscos.0，且ycos x在0，上是减函数，coscos，即coscos.三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到，0或0，内.(2)不同名的函数化为同名的函数.(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.2(1)已知，为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是()asin sin bcos sin ccos cos dcos cos (2)比较下列各组数的大小：cos，cos；cos 1，sin 1.(1)b，为锐角三角形的两个内角，所以cos cossin .(2)解coscos，coscos，因为0，而ycos x在0，上单调递减，所以coscos，即coscos.因为cos 1sin，而011且ysin x在上单调递增，所以sinsin 1，即cos 1sin 1.正弦函数、余弦函数的最值问题探究问题1函数ysin在x0，上的最小值是多少？提示：因为x0，所以x，由正弦函数图象可知函数的最小值为.2函数yasin xb，xr的最大值一定是ab吗？提示：不是因为a0时，最大值为ab，若a0时，最大值应为ab.【例3】(1)函数ycos2x2sin x2，xr的值域为 (2)已知函数f(x)asinb(a0)当x时，f(x)的最大值为，最小值是2，求a和b的值思路点拨：(1)先用平方关系转化，即cos2x1sin2x，再将sin x看作整体，转化为二次函数的值域问题(2)先由x求2x的取值范围，再求sin的取值范围，最后求f(x)min，f(x)max，列方程组求解(1)4,0ycos2x2sin x2sin2x2sin x1(sin x1)2.因为1sin x1，所以4y0，所以函数ycos2x2sin x2，xr的值域为4,0(2)解0x，2x，sin1，f(x)maxab，f(x)minab2.由得1求本例(1)中函数取得最小值时x的取值集合解因为ycos2x2sin x2sin2x2sin x1(sin x1)2，所以当sin x1时，ymin4，此时x的取值集合为.2本例(2)中，函数变成f(x)2cos3，求其最大值和最小值，并求取得最大值及最小值时的集合解(1)因为1cos1，所以当cos1时，ymax5；这时2x2k(kz)，即xk(kz)当cos1时，ymin1.这时2x2k(kz)，即xk(kz)综上，f(x)max5，这时x取值集合为；f(x)min1，这时x取值集合为.3本例(2)中，函数变成f(x)2cos3，且加上条件x时，求最大值、最小值解因为x，所以02x，所以0cos1，所以当cos1时，ymax5；当cos0，ymin3.所以函数y2cos3，x的最大值为5，最小值为3.三角函数最值问题的常见类型及求解方法：(1)yasin2xbsin xc(a0)，利用换元思想设tsin x，转化为二次函数yat2btc求最值，t的范围需要根据定义域来确定(2)yasin(x)b，可先由定义域求得x的范围，然后求得sin(x)的范围，最后得最值1求函数yasin(x)(a0，0)单调区间的方法：把x看成一个整体，由2kx2k(kz)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kx2k(kz)解出x的范围，所得区间即为减区间若0，先利用诱导公式把转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间2比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断3三角函数最值问题的求解方法有：(1)形如yasin x(或yacos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论(2)形如yasin(x)b(或yacos(x)b)型，可先由定义域求得x的范围，然后求得sin(x)(或cos(x)的范围，最后求得最值(3)形如yasin2xbsin xc(a0)型，可利用换元思想，设tsin x，转化为二次函数yat2btc求最值t的范围需要根据定义域来确定1下列命题正确的是()a正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数b存在xr满足sin xc在区间0,2上，函数ycos x仅当x0时取得最大值1d正弦函数ysin x有无穷多条对称轴和无数个对称中心da错，ysin x，ycos x在定义域没有单调增区间也没有减区间；b错，sin x1；c错，ycos x(x0,2)当x0或2时，函数取得最大值；d对，根据正弦曲线可以知道正弦曲线有无数条对称轴，写成xk(kz)，也有无穷多个对称中心(k，0)(kz)2