江苏省常州市教学研究合作联盟2020学年高一数学下学期期中质量调研试题（含解析）

2020学年度第二学期期中质量调研高一 数学试题注意事项：1.作答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.2.球的体积公式为(其中为球的半径) . 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题将直线化成斜截式，可得答案.【详解】由题将直线的化简可得，所以斜率为 故选D【点睛】本题考查了直线的方程，一般式化为斜截式，属于基础题.2.在下列命题中，不是公理的是（ ）A. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.B. 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.C. 垂直于同一条直线的两个平面相互平行.D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.【答案】C【解析】【分析】由题易知A、B、D答案是公理，可得结果.【详解】对于答案A、B、D分别是公理1、3、2；答案C不是公理，故选C【点睛】本题考查了点、线、面的公理，熟悉公理是解题关键，属于基础题.3.在锐角中，角所对的边长分别为.若（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：考点：正弦定理解三角形4.若，则直线一定不过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】将直线化简为斜截式，可得斜率和截距的正负，判断出直线经过的象限，可得结果.【详解】由题，直线化简为： 因为，所以 所以直线过第一、二、四象限故选C【点睛】本题考查了直线的方程，求得斜率和截距的正负是解题的关键，属于较为基础题.5.设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】试题分析：，,故选D.考点：点线面的位置关系.6.设直线在轴上截距为，在轴上截距为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由截距的定义，分别求出直线在x轴和y轴的截距即可.【详解】由直线令 令 即故选B【点睛】本题主要考查了直线在坐标轴上的截距，熟悉截距的定义是解题的关键，属于基础题.7.在中，角，所对应的边分别为，.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题，先利用正切的和差角求得，可得，再利用余弦定理求得结果.【详解】由题，解得 所以 因为，由余弦定理 解得 故选C【点睛】本题考查了利用正余弦定理解三角形，属于基础题.8.已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为，则实数的值为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题易知，正四棱柱的体对角线是外接球的直径，可求得球半径，再利用球的体积公式，求得答案即可.【详解】由题，几何体为正四棱柱，故其外接球的直径为正四棱柱的体对角线，正四棱柱的体对角线为： 所以外接球的半径： 其体积为 解得 故选A【点睛】本题考查了几何体的外接球的知识，熟悉正四棱柱的外接球直径是其体对角线是解题的关键所在，属于中档题.9.记，方程表示的直线为，直线不过点， 直线 ，则直线，的位置关系为（ ）A. 一定平行B. 平行或重合C. 一定垂直D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由题，不过点，可得，将直线易知和直线的斜率相等，截距不相等，可得答案.【详解】因为不过点，所以 直线可得：且 所以直线，的斜率相等，截距不相等，所以直线，平行故选A【点睛】本题考查了直线的位置关系，斜率相等，截距不相等的直线是平行的，属于较为基础题.10.在中，角，所对应的边分别为，.已知 ，则（ ）A. 一定是直角三角形B. 一定是等腰三角形C. 一定是等腰直角三角形D. 是等腰或直角三角形【答案】B【解析】【分析】由题，利用正弦定理和内角和定理化简可得，再利用余弦定理可得，可得结果.【详解】由题，已知 ，由正弦定理可得： 即又因为 所以即 由余弦定理： 即 所以 所以三角形一定是等腰三角形故选B【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，解题的关键是在于正余弦的合理运用，属于中档题.11.已知函数，当时，其图像的右端点为， 当时，其图象是以为端点且斜率为的射线，若，互不相等，且 ，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】由题，求得函数，由题易知在二次函数图上，在射线上，求得，c的范围是，可得结果.【详解】由题，求得点A(10,1)，所以当的射线方程：故函数 当时，易知二次函数顶点B(5,-24)因为 ，设易知在二次函数图上，在射线上，所以，又因为A(10,1)、B(5,-24)令解得所以c的范围是 即的取值范围是故选D【点睛】本题考查了函数的综合应用，分段函数的求法，属于中档偏上的题目.12.如图，直三棱柱中，侧棱长为， ，点是的中点，是 侧面（含边界）上的动点.要使平面， 则线段的长的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取上靠近的四等分点为E，由题易知 ，再利用空间向量证得，即当F在上时，平面，然后求得答案.【详解】取上靠近的四等分点为E，连接,当点F在上时，平面，证明如下：因为直三棱柱中，侧棱长为， ，点是的中点，所以平面，所以 以为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴建系；所以 即 此时，即所以平面，故当F在上时，平面，很明显，当E、F重合时，线段最长，此时故选A【点睛】本题考查了立体几何的综合知识，属于探索性题型，熟悉空间向量与立体几何以及立体几何的定理是解题的关键，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.与直线有相同的纵截距且与直线垂直的直线方程为_【答案】【解析】【分析】由题易知直线的斜率为，纵截距为-4，可得结果.【详解】由题易知直线的斜率为，纵截距为-4，所以直线有相同的纵截距且与直线垂直的直线方程为： 即故答案为【点睛】本题考查了直线的方程，清楚垂直直线的斜率关系是解题的关键，属于基础题.14.已知直线：和两点，使得直线与线段有公共点（含端点）的的范围是_【答案】【解析】【分析】由题易得直线过定点，再利用两点的斜率求得，可得结果.【详解】由题，直线化简可得：易知直线过定点 所以 要使直线与线段有公共点，即 故答案为【点睛】本题考查了直线的相交问题，利用图形以及斜率是解题的关键，属于基础题.15.用一个边长为的正方形卷成一个圆柱的侧面,再用一个半径为的半圆卷成一个圆锥的侧面,则该圆柱与圆锥的体积之比为 _【答案】【解析】【分析】由题易知圆柱的底面面的周长为2R，求得体积，再半圆弧为圆锥的底面圆的周长，易求得，即可得出答案.【详解】由题，圆柱的底面面的周长为2R，设底面圆的半径为，可得圆柱的高为2R，所以体积为： 用一个半径为的半圆卷成一个圆锥的侧面,易知半圆弧为圆锥的底面圆的周长：，设圆锥下底面圆半径，可得，圆锥的高： 所以圆锥的体积： 所以 故答案为【点睛】本题考查了立体几何的圆柱以及圆锥，熟悉图形的构造是解题的关键，一定要清楚知道下底面的圆的周长，属于中档题.16.在中，内角所对应的边分别为,边上的高为，则的最大值为_.【答案】4【解析】【分析】由面积公式可得，再用余弦定理可得，即得出结果.【详解】由题，三角形的面积： 由余弦定理： 可得： 所以 所以的最大值为4故答案为4【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，将边的关系转化为三角函数是解题的关键，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，边所在的直线方程为，其中顶点的纵坐标为1，顶点的坐标为. （1）求边上的高所在的直线方程；（2）若的中点分别为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题易知边上的高过,斜率为3，可得结果.（1）求得点A的坐标可得点E的坐标，易知直线EF和直线AB的斜率一样，可得方程.【详解】（1）边上的高过,因为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直，故其斜率为3,方程为: (2) 由题点坐标为,的中点是的一条中位线,所以,，其斜率为：，所以的斜率为 所以直线的方程为：化简可得：.【点睛】本题考查了直线方程的求法，主要考查直线的点斜式方程，以及化简为一般式，属于基础题.18.如图所示，在四棱锥中，面面求证：（1）平面；（2）平面平面【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题可得根据线面平行的判断定理可证平面；（2）由题，易得，再利用面面可得面，即得证.详解】(1) 面,面,平面(2) 面面,面面,面, 面,又面 ,面面【点睛】本题主要考查了空间几何中平行以及垂直的判断定理和性质定理，熟悉定理是解题的关键，属于较为基础题.19.在中，点在边上（1）求的长度及的值；（2）求的长度及的面积【答案】（1），；（2）,S=6【解析】【分析】（1）由余弦定理可得BC长，再利用正弦定理可得的值；（2）先求出,在三角形ABD中，利用余弦定理求得AD长，再可得结果.【详解】(1) 在中,由余弦定理得: 在中,由正弦定理得: 得: (2) ,记,在中,由余弦定理得:,得 (另:得 )【点睛】本题主要考查了正余弦定理以及利用正余弦定理解三角形，三角形面积的求法，属于中档题.20.如图所示，在三棱柱中， ，分别为，中点（1）求证：平面；（2）求证：面，并求与面所成的角；（3）若，求四棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）；（3）1【解析】【分析】（1）连，可得是的中位线,，得证；（2）利用余弦定理可得，即，同理，得证，易知为求与面所成的角，求得结果；（3）由题求得,，可得结果.【详解】(1)连,在三棱柱中，四边形是平行四边形, 过的中点,是中点, 是的中位线,所以,面,面,所以平面 (2)在中,由余弦定理得,所以,同理: ,面,面,所以面,所以与面所成的角为 (3)由(2)知,是三棱锥的高, ,即,【点睛】本题考查了立体几何中平行与垂直的关系和体积的求法，属于综合题目，熟悉平行与垂直的判断以及性质定理是解题的关键，属于中档题.21.某市欲建一个圆形公园，规划设立，四个出入口（在圆周上）,并以直路顺次连通，其中，的位置已确定，（单位:百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图所示请你为规划部门解决以下问题：（1）如果，求四边形的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为万平方米，求的值【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由题再在和中分别使用余弦定理可得，最后求得得出结果；（2）由题求得半径，中由正弦定理，在中由余弦定理,建立等式求得结果即可.【详解】（1），在和中分别使用余弦定理得：，得：， 四边形的面积 （2）圆形广场的面积为 圆形广场的半径，在中由正弦定理知：, 在中由余弦定理知：, 化简得：解得：或【点睛】本题考查了解三角形的实际应用问题，熟练正余弦定理和面积公式是解题的关键，属于较难题目.22.如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限内有定点和射线，已知，的倾斜角分别为， 轴上的动点与，共线（1）求点坐标（用表示）；（2）求面积关于的表达式；（3）求面积的最小时直线的方程【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）由题易知，可得C点坐标；（2）由题易知直线, 设，共线,即斜率相等，可得，再利用面积公式求得结果；（3）由（2）易知，将分母看做关于的二次函数，求最值即可得出结果.【详解】(1) ，又 (2)直线,设共线,解得:, (3)法一、记()若即,