线性代数试题库(矩阵)

1对任意阶方阵总有（ ）n,A B A. B. ABBAABBA C. D. ()T TT ABA B 222 ()ABA B 答案：B ABBAA B 2在下列矩阵中，可逆的是（ ） A.B. 000 010 001 110 220 001 C.D. 110 011 121 100 111 101 答案：D 3设是3阶方阵，且，则（ ）A2,A 1 A A.-2B. 1 2 C.D.2 1 2 答案：B 4设矩阵的秩为 2，则（ ） 111 121 231 A A.2B.1 C.0D.-1 答案:B 提示：显然第三行是第一行和第二行的和 5设，矩阵满足方程，求矩阵. 101 020 101 A X 2 AXEAXX 答案： 201 030 102 X 解： 22 ()AXEAXAE XAE 101001 020010 101100 AAE 显然可逆，所以：AE 112 () ()() ()AEAE XXAEAE 1 () ()()AEAEAEAE 201 030 102 X 6求下列矩阵的秩 01112 02220 01111 11011 A 答案：3 7设矩阵，矩阵由矩阵方程确定，试求. 1410 , 1102 PD A 1 P APD 5 A 答案： 511/3127/3 127/331/3 11551 P APDAPDPAPD P 15 141/31/310 , 114/31/3032 PPD 所以： 551 14101/31/3511/3127/3 . 110324/31/3127/331/3 APD P 8设矩阵可逆，证明A *11 ()AAA 证明：因为，矩阵可逆，所以 * AAA AA EA0A * AA AAE AA 又因为，所以： 1 1 A A *11 ()AAA 9若是( )，则必为方阵.AA A. 分块矩阵B. 可逆矩阵 C. 转置矩阵D. 线性方程组的系数矩阵 答案 ：B 10.设阶方阵，且，则 ( ).nA0A *1 ()A A. B. A A * A A C. D. 1 A A * A A 答案答案 ：A A 11若( )，则AB: A. B. 秩=秩AB( )A( )B C. 与有相同的特征多项式AB D. 阶矩阵与有相同的特征值，且个特征值各不相同nABn 答案：B 12.设，则_. 1 2 3 A T AA 答案： 123 246 369 13.设矩阵，且秩，为的一个阶子式，则_.m nA( )ArDA1r D 答案 ：0 14已知，且，则_. 1 P APB 0B A B 答案：1 15.已知，求矩阵。 2031 1101 X X 解：矩阵可逆，所以由 20 11 1 20312031 11011101 XX 1/20313/21/2 1/21013/21/2 X 16.若对称矩阵为非奇异矩阵，则也是对称矩阵.A 1 A 证明：因为矩阵为非奇异矩阵，所以A 11 AAA AE ，即： 11 ()() TTT AAA AE 11 ()() TTTT AAAAE 因为矩阵为对称矩阵，所以，则有：A T AA 11 ()() TT AAA AE 所以：，即也是对称矩阵.。 11 ()TAA 1 A 17.设是矩阵，是矩阵，是矩阵，则下列运算有意义的是（ Am nBsnCms ） A.A. B.B. ABBC C.C. D.D. T AB T AC 答案：C 18.设，均为阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是（ ）ABn A. B. ()T TT ABAB 111 ()ABAB C. D. 111 ()ABB A ()T TT ABB A 答案：B 19.设为阶矩阵，秩，则秩（ ）An( )1An * ()A A.0B.1 C. D. 1nn 答案：A 因为是由矩阵的代数 余子式组成，但是秩，所以其代数余子式全部为0， * AA( )1An 所以： * 0A 20矩阵的秩为（ ） 1010 0234 0005 A A.1B.2 C.3D.4 答案：3 21.设为2阶方阵,且,则_.A 1 2 A * 2A 答案：2 22.设是3阶矩阵,秩=2,则分块矩阵的秩为_.AA 0 AA E 答案 ：5 23.设矩阵,求矩阵,使 221 110 123 A B2ABAB 解：由得：， 2ABAB (2 )AE BA 021 2110 121 AE 021 221100 302 (2 , )110 110010 212 121 123001 245 AE Ar 所以： 302 212 245 B 24. 设三阶方阵的行列式，则的伴随矩阵的行列式_.Adet( )3A A * A * det()A 答案：9 提示： *3 1 det()det( )AA 25. 设，且，则_. ab A cd det( )0Aadbc 1 A 答案： db ca adbc 26. 设，则_. 12 31 A 21 03 B (2, 1)C () T AB C 答案 ： 1 8 27. (5分)设且满足，求 111 022 110 A 111 110 211 B XABX 解：可逆 111 022 110 A A 由，得 XAB 1 XBA 111100 022010 110001 1111/31/34/3 1102/31/31/3 2111/35/64/3 A C B 所以： 1 1/31/34/3 2/31/31/3 1/35/64/3 XBA 28. 设矩阵 1 2*1 ()CA AA BAA 其中，, . A 110 011 111 123 456 789 B 为的伴随矩阵.计算 * AAdet( )C 解： 1 2*1 ()CA AA BAACEA B 11011 0 01101 11 11111 1 AA 223 466 7810 CEB 显然：det( )0C 29设是两个阶方阵，若则必有（ ）,A Bn0AB A且B或0A 0B 0A 0B C且D或0A 0B 0A 0B 答案：D 30若都是方阵，且，则（ ）,A B2,1AB 1 A B A-2B2 CD 1 2 1 2 答案：C 31矩阵的伴随矩阵（ ） 12 34 A * A AB 42 31 43 21 CD 42 31 42 31 答案：C 32设为34矩阵，若矩阵的秩为2，则矩阵的秩等于（ ）AA3 T A A1B2 C3D4 答案：B 33设为4阶矩阵，则 .A3A A 答案：3 34设，则 . 200 001 010 A 5 A 答案：32 35设， ，则 . 123 121 A 121 123 B T AB 答案： 814 68 36= . 1 500 031 021 答案： 1 00 5 011 023 提示：用 分块对角矩阵做。 37设，求满足关系式的3阶矩阵 1 00 3 1 00 4 1 00 7 A 1 6A BAABA B 1111 6()66()A BAABAAE BAABAE 11 1 00 3 300200 1 00040030 4 007006 1 00 7 AAAE ， 1 11 1 00 2 200 1 ()03000 3 006 1 00 6 AE 所以： 11 300 6()020 001 BAE 38设矩阵的秩为2，求. 121 2310 41 a A ab , a b 解： 121121121 2310071 22071 22 410720012 aaa Aaa ababab 因为：矩阵的秩为 2，所以A10,201,2abab 39已知阶方阵满足关系式，证明是可逆矩阵，并求出其逆矩阵.nA 2 320AAEA 证明： 2 (3 ) 320(3 )2 2 AE AAEA AEEAE 所以是可逆矩阵，且其其逆矩阵为：A 3 2 AE 40设是3阶方阵，且，则（ ）A1A 2A A8B2 C2D8 答案：A 41设矩阵，则（ ） 200 011 012 A 1 A AB 1 00 2 021 011 1 00 2 021 011 CD 210 110 1 00 2 210 110 002 答案：A 42设是阶方阵，则下列结论中错误的是（ ）An0A A秩( )An B有两行元素成比例A C的个列向量线性相关An D有一个行向量是其余个行向量的线性组合An 答案：B 43设均为阶矩阵，且秩秩，则必有（ ）,A Bn( )A( )B A与相似B与等价ABAB C与合同DABAB 答案：B 44_. 13 210 01 114 40 答案： 25 174 45若均为3阶矩阵，且，则_.,A B2,3ABE AB 答案：54 46设矩阵，其中则秩 1 11 21 3 2 1222 3 3 13 23 3 ababab Aa ba ba b a ba ba b 0(1,2,3) ii abi _.( )A 答案：1 47设， ，矩阵满足方程，求. 112 223 433 A 100 211 122 B X T AXBX 答案： 381 4124 012 解：， 100121 211012 122012 T BB 1TT AXBXA B , T A Br E X 48设是阶方阵，证明An0A 1 * n AA 证： * nn AAA EAAA EAA AA 因为，所以：0A 1 * n AA 49.设是3阶方阵，且，则（ ）A2A A A-6B-2 C2D6 答案：B 50设，则的伴随矩阵（ ） 020 003 400 A A * A AB 0120 008 600 006 1200 080 CD 0120 008 600 006 1200 080 答案：A 51_。 32 211 01 010 24 答案： 653 010 422 52设，则_。 14 03 A 1 A 答案： 1 34 01 3 A 53设且，求。 033 110 123 A 2ABABB 答案： 033 123 110 解：2(2 )ABABAE BA ，很容易得到：是可逆的。所以： 233 2110 121 AE 2AE 1 (2 )BAEA 233033100033 (2 , )110110010123 121123001110 AE Ar 54设方阵满足，证明可逆，并求其逆阵。A 2 20AAEA 证： 2 () 20()2 2 AE AAEA AEEAE 所以：可逆，且其逆阵为。A 2 AE 55设阶方阵满足，则必有（ ）n, ,A B CABCE ABACBECBAE CDBACEBCAE 答案：D 56设阶方阵中有个以上元素为零，则的值（ ）nA 2 nnA A大于零B等于零 C小于零D不能确定 答案：B 56设3阶矩阶A=（1，） ，B=（2，） ，且，则2A 1B （ ）AB A4B2 C1D-4 答案：A 57设是4阶方阵，则_.A2A * A 答案：-8 58设矩阵，则_. 0001 0020 0300 4000 A 1 A 答案： 1 000 4 1 000 3 1 000 2 1000 59设，且矩阵满足,求。 423 110 123 A X2AXAXX 解：2(2 )AXAXAE XA ，容易证明可逆，所以 223 2110 121 AE 223 2110 121 AE 1 (2 )XAEA 223423100386 (2 , )110110010296 1211230012123 AE Ar 所以： 386 296 2123 X 61设均为阶方阵，则必有（ ）,A Bn ABABBAABAB CD()TABAB()T TT ABA B 答案：A 62设，则（ ） 200 011 002 A 1 A AB 1 00 2 010 1 01 2 1 00 2 11 0 22 1 00 2 CD 1 00 2 1 01 2 1 00 2 1 00 2 010 11 0 22 答案：C 63若方阵与方阵等价，则（ ）AB A( )( )R AR B BEAEB CAB D存在可逆矩阵，使P 1 P APB 答案：A 64， （为3阶单位矩阵） ，则 11 ( ,0, ) 22 A ,2 TT BEA A CEA AE _。BC 答案：E 65已知，且，则_。2A 1 331 1 404 4 513 A * A 答案： 331 1 404 2 513 66设，为的伴随矩阵，则_。 802 020 301 A * AA * A 答案：16 67已知，则_。 101 020 001 A 12 (3 ) (9 )AEAE 答案 ： 201 010 002 68设为阶方阵，满足,A B n ABAB 若，求矩阵。 130 210 002 B A ()ABABA BEB 可逆。所以： 030 200 001 BEBE 1 ()AB BE ，得 BEE C BA 1 10 2 1 10 3 002 A 69设是4阶矩阵，则（ ）AA AB4 AA C DA4 A 答案：C 70设为阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（ ）An AB(2 )2 TT AA 11 (3 )3AA CD 111 ( ) ) () TTT AA 1 ()TAA 答案：A 71设是2阶方阵可逆，且，则（ ）A 1 37 12 A A AB 27 13 27 13 CD 27 13 37 12 答案：B 72设均为3阶矩阵，若可逆，秩，那么秩（ ）,A BA( )2B ()AB A0B1 C2D3 答案：C 73设为阶矩阵，若与阶单位矩阵等价，那么方程组（ ）AnAnAXb A无解B有唯一解 C有无穷多解D解的情况不能确定 答案：B 74设矩阵，则_. a A b T AA 答案： 2 2 aab abb 75设矩阵，则行列式_. 12 34 A 2 A 答案：4 76矩阵的秩等于_. 111 011 001 答案：3 77设矩阵，求矩阵方程的解. 500 012 037 A 1001 2021 B XABX 解：，很容易得到是可逆的。所以： 500 012 037 A A 1 XABXBA ，所以： 231 4113 500 012 037 1001 2021 100 010 001 A C B 231 4113 X 78设为同阶对称矩阵，证明也为对称矩阵.,A BABBA 证：为同阶对称矩阵，所以 ：,A B, TT AA BB ()T TTTT ABBAB AA BBAABABBA 所以：也是对称矩阵。ABBA 79.设矩阵，则等于（ ） 100 020 003 A 1 A A. B. 1 00 3 1 00 2 001 100 1 00 2 1 00 3 C. D. 1 00 3 010 1 00 2 1 00 2 1 00 3 001 答案：B 81.设是方阵，如有矩阵关系式，则必有（ ）AABAC A. B. 时0A BC0A C. 时D. 时0A BC0A BC 答案：D 82.设， .则 . 1 11 1 11 A 123 12 4 B 2AB 答案： 337 13 7 84.设，.求（1）；（2）. 120 340 121 A 231 2 40 B T AB4A 答案：（1） 1202286 340341810 12110310 （2），而 3 4464AAA . 120 3402 121 A 所以 3 4464128AAA 85.设矩阵，求矩阵使其满足矩阵方程. 423 110 123 A B2ABAB 答案： 386 296 2129 解：即，而2ABAB(2 )AE BA 1 1 223143 (2 )110153 . 121164 AE 所以 1 143423386 (2 )153110296 1641232129 BAEA 86.设矩阵 12102 24266 21023 33334 A 求：秩；( )A 解：对矩阵施行初等行变换A 121021210212102 000620328303283 032820006200031 0963200021700000 A 所以：秩为3. 87.设方阵满足，试证明可逆，且证：A 3 0A EA 12 ()()EAEAA 233 ()(),0EA EAAEAA 2 ()()EA EAAE 可逆，且EA 12 ()()EAEAA 88.设行矩阵，,且，则 123 ,Aa a a 123 ,Bb b b 121 121 121 T A B _. T AB 答案：0 89.设，为的伴随矩阵，则_. 210 110 002 A * AA * A 答案：4 提示： 3 12 * AAA 而，所以： 210 1102 002 A 3 12 * 4AAA 90.若，为使矩阵的秩有最小秩，则应为_. 124 21 110 A A 答案： 9 4 解答： 124110 21014 110021 A 要使得矩阵的秩有最小秩，则 A 219 144 91.已知矩阵满足，其中， ， XAXBC 100 053 021 A 23 35 B ，求矩阵.(6分) 23 12 12 C X 解：容易证明矩阵都可逆，所以：,A B 11 AXBCXA CB ， 1 100100 053013 021025 AA 1 2353 3532 BB 11 1002310 53 013123410 32 0251277 XA CB 92.设均为阶方阵，且，证明的充分必要条件是,A Bn 22 ,AA BB 2 ()ABAB 0ABBA 证： 222 ()()()ABAB ABAABBAB 因为：，所以： 22 ,AA BB 2 ()ABAABBAB 若 2 ()0ABAABBABABABBA 0ABBAAABABAABBAABBA 若，则0ABBA 2 ()ABAABBABAB 93设矩阵，则下列矩阵运算有意义的是( ) 1 4 1 21 2 3 , B, C2 5 3 44 5 6 3 6 A A. B. C. D. ACBABCBACCBA 答案：B 94.设阶方阵满足，其中是阶单位矩阵，则必有【 】nA 2 0AEEn A. B. C. D. AEAE 1 AAdet( )1A 答案：C 95.设为3阶方阵，且行列式 ,则 【 】A 1 det( ) 2 A det( 2 )A A.-4 B.4 C.-1 D.1 答案：A 96设矩阵为的转置，则= 。 1 -1 32 0 , 2 0 10 1 AB T AA T A B 答案： 22 20 61 97设矩阵则行列式的值为 . 1 2 3 5 A det() T AA 答案：1 99设是阶方阵，且的元素全都是1，是阶单位位矩阵。证明：B(2)n n BEn 1 1 () 1 EBEB n 证明： 2 11 ()() 111 n EB EBEBB nnn 因为的元素全都是1，所以：的元素全部为，即：B 2 Bn 2 BnB 所以：，即： 2 11 ()() 111 n EB EBEBBE nnn 1 1 () 1 EBEB n 100.设是阶方阵，是矩阵，则下列矩阵运算中正确的是( )AnX1n A. B. C. D. T X AXXAXAXA T XAX 答案：A 101. 为同阶矩阵，为单位阵，若，则下列各式中总是成立的有( ), ,A B C EEABCE A. B. C. D. BACEACBECBAECABE 答案：D 102.已知有一个阶子式不等于零，则秩 ( )Ar( )A A. B. C. D. r1r rr 答案：D 103.设是阶阵，且，则由( )可得出.AnABACBC A. B. C.秩 D. 为任意阶矩阵0A 0A ( )AnA n 答案：A 104.，则_ 2112 1214 X X 答案： 1/30 1/32 105.A=，则秩_ 1112 2332 1121 A ( )A 答案：3 106. =_ 123124 246124 469124 答案：0 107.若，且不是单位阵，则_ 2 AAAA 答案：0 108. ，则_4A 1 A 答案： 1 4 109.=_ 11 22 n 答案： 1 11 3 22 n 110. 均为阶可逆阵，则_, ,A B C 1 ()ABC 答案： 111 CB A 111.设是5阶方阵，则_A1A 2A 答案：32 112，求 101 210 325 A 1 A 答案： 11 1001 101100 22 ( ,)210010010111 325 00111 0011 22 A Er 113. ， ，求 20 01 A 11 25 B 2211 ()BA B A 答案： 53 422 解： 22112212 ()()BA B ABA A BBABB BA 113153 2524422 114.阶方阵满足，其中给定，证明可逆，并求其逆矩阵。nA 2 240AAEAA 证： 2 2 240(2 )4 4 AE AAEA AEEAE 所以可逆，且A 1 2 4 AE A 115设矩阵，则为（ ）(1,2,3)A 1 0 2 B AB A.B. 123 000 246 1 0 6 C. D.7106 答案：D 116设均为阶矩阵，且可逆，则下列结论正确的是（ ）,A BnA A.若，则可逆B.若，则0AB B0AB 0B C.若，则不可逆D.若，则0AB BABBABE 答案：B 117设3阶方阵的元素全为1，则秩为（ ）A( )A A.0B.1 C.2D.3 答案：B 118设为3阶方阵，且行列式，则之值为（ ）A1A 2A A.-8B.-2 C.2D.8 答案：A 119设为阶方阵，且的行列式，则等于（ ）A(2)n n A0Aa * A A. B. 1 aa C. D. 1n a n a 答案：C 120设矩阵，则 . 111 022 003 A T A A 答案： 111 155 1514 121设均为3阶方阵，且，则 .,A B3,2AB T AB 答案：6 122设3阶方阵的秩为2，矩阵A ， 010 100 001 P 100 010 101 Q 若矩阵，则秩= .BPAQ( )B 答案：2 123设，则 . 00 00 00 a Ab c n A 答案： 00 00 00 n n n a b c 124已知矩阵，秩，求的值. 132 111 1753 k Ak ( )2A k 答案：1 ，所以 132132132 11104210421 1753043300122 kkk kkkkk kkk 1k 125试求矩阵方程中的未知矩阵。 13214 30125 11113 X X 解： 1321410040 30125010112 11113001145 r 所以： 40 112 145 X 126.设且，求 1210 , 1402 PB APPB n A 解： 12 2 14 P 可逆。又P 1 APPBAPBP 从而得到： 1nn APB P 1 21 121010 , 11 140202 22 n n PBPB 所以： 11 21 12102221 11 14022221 22 nn n n nn A 127.已知，证明：可逆，且。0 m A EA 11 () m EAEAA 证：因为，又因为，所以： 1 ()() mm EA EAAEA 0 m A ，显然可逆，且。 1 ()() m EA EAAE EA 11 () m EAEAA 128.设是阶非零矩阵，是其伴随矩阵，且满足，证明可逆。An * A ijij aAA 证：有得： ijij aA *T AA 所以： *TT A AAAA EA AAAA E 假设不可逆，则，所以：A0A 0 TT A AAA 1 0.00(1,2,. ) n TT ikikik k A AAAa aain 所以0A ，这与题目A是n阶非零矩阵矛盾，所以A可逆。 129.两矩阵即可以相加又可以相乘的条件是_ 答案：两矩阵为同阶方阵。 130. 已知 11610 251 121 Ak k ，且其秩为2，则k _ 答案：3 131.若是阶可逆 矩阵，是阶可逆矩阵，则_AnBm AO C OB ( )R C 答案：mn 132. 设与均为阶方阵，则下列结论中（ ）成立。ABn A ,则,或；det()0AB 0A 0B B ，则，或；det()0AB det( )0A det( )0B C ,则,或；0AB 0A 0B D ,则,或。0AB det( )0A det( )0B 答案：B 133 设为阶方阵，且，则 Andet( )2A 1* 1 det() 3 AA 答案： 1 2 134.求解矩阵方程 123666 231543 312312 X 答案： 111 011 001 X 135设3阶方阵按列分块为（其中是的第 列） ，且，又设A 123 (,)Aa a a i aAi5A ，则 12132 (2,34,5)BaaaaaB 答案：-100 136 设的伴随矩阵为,则 100 220 333 A * A *1 ()A 答案： 1 00 6 11 0 33 111 222 137 设，且,求矩阵。 4200 2000 0073 0051 A BAABB 答案： 0200 2400 0013 0057 138 设，为三阶非零矩阵，且,则 122 41 311 Aa B0AB a 答案：-1 139 已知满足,求矩阵。 101 020 301 A 2 22BAEBAB 答案： 402 040 604 140 11 00 n 答案： 11 00 141 设则 11 , 01 A 1 (2 )A 答案： 11 22 1 0 2 142 若为同阶方阵，则的充分必要条件是 ,A B 22 ()()AB ABAB 答案：ABBA 143设都是阶矩阵，且 , 则下列一定成立的是（ ）,A Bn0AB 或 B都不可逆0A 0B ,A B C中至少有一个不可逆 D,A B0AB 答案：C 144设均为可逆矩阵，则分块矩阵亦可逆， ,A B 0 0 A B 1 0 0 A B 答案： 1 1 0 0 B A 145设为3阶可逆矩阵，且,则 A 1 123 012 001 A * A 答案： 123 012 001 146 均为阶矩阵，下列各式中成立的为（ ）,A Bn （A） 222 ()2ABAABB （B）()T TT ABA B （C）则或0AB ,0A 0B （D）若，则或| 0,AAB| 0A | 0IB 答案：D 147 设 A 为 6 阶方阵，且| A | =2，则= AA 答案：64 148 设，将 A 表示成 3 个初等矩阵的乘积，即 A= 40 53 A 答案： 30 01 15 01 10 04 149任一个 mn 矩阵 A，仅经过初等行变换可化为的标准形式。 （ ） 0 00 r E 答案： 150A 为 5 行 6 列矩阵，且r ( A ) =5，则 A 一定没有不等于 0 的 5 阶子式。 （ ） 答案： 151两个初等矩阵的乘积仍为初等矩阵。 （ ） 答案： 152.A，B 均为 n 阶方阵，AO，且 AB=O，则 B 的秩（ ） （A）等于 O （B）小于 n （C）等于 n （D）等于 n-1 答案：B 153.已知且 A2AB=E，求矩阵 B。 122 014 001 A 答案： 0412 008 000 解:,故 A 可逆,由于故,即 即,即1A, 2 EABAEBAA)( 1 ABA ,故(注:作行变换 1 AAB 100 410 1021 1 A A A 得到也正确)()( 1 AEEA 故 000 800 1240 100 410 1021 100 410 221 1 AAB 154设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵（mn） ，则下列（ ）的运算结果是 n 阶方阵。 （A） AB （B） BTAT （C） （AB）T （D） ATBT 答案：D 155 设 A，B 为 n 阶方阵，A0，B0，且 AB0，则 A，B 的秩（） （A）一个小于 n，一个等于 n （B）都等于 n （C）都小于 n （D）必有一个等于零 答案：C 156下列结论中，不正确