第2章----控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型,2-1傅里叶变换和拉普拉斯变换2-2控制系统的时域数学模型2-3控制系统的复数域数学模型2-4控制系统的结构图与信号流图,重点与难点,控制系统时域数学模型微分方程的建立,信号流图及梅森公式，会根据结构图画出信号流图并通过梅森公式求系统传递函数,控制系统复数域数学模型传递函数,控制系统的结构图及其等效变换，会对系统结构图通过等效变换进行化简,2-1傅氏变换与拉斯变换,傅氏变换与拉斯变换是工程实践中用来求解线性常微分方程的简便工具；同时也是建立传递函数和分析频率特性的数学基础。,2-1傅氏变换与拉斯变换,2-1傅氏变换与拉斯变换,2-1傅氏变换与拉斯变换,4.拉氏变换的基本特性P31表22,基本运算,f(t),F(s)=Lf(t),1,拉氏变换定义,f(t),F(s)=0f(t)estdt,2,位移(时间域),f(t-0),e0sF(s),00,3,相似性,f(at),F(),a0,4,一阶导数,sF(s)f(0),5,n阶导数,snF(s)sn-1f(0)sn-2f(0)fn-1(0),6,位移(s),eatf(t),F(s+a),5.常用函数拉氏变换对照表P32表23,1,象函数F(S)1,原函数f(t)(t),2,1(t),3,t,4,5,e-at,6,7,8,9,(1-eat),10,11,cos(t),e-at,1,(n-1)!,tn-1,2-1傅氏变换与拉斯变换,6.拉氏反变换（1）由F(S)求原函数f(t)可由定义求；（2）通过对照表查出原函数；（3）部分分式展开法（海维赛德展开定理）来求。,其中s1,s2,sn是A(S)0的根，F(S)的极点。,2-1傅氏变换与拉斯变换,6.拉氏反变换（3）部分分式展开法（海维赛德展开定理）,2-1傅氏变换与拉斯变换,6.拉氏反变换（3）部分分式展开法（海维赛德展开定理）,=,B(s),A(s),F（S）,=,(s-s1)r,(ssr+1),(s-sn),b0,b0sm,+,b1sm-1,+,bm-1s,+,bm,+,2-1傅氏变换与拉斯变换,例3：求F(S)=,S+2,S(S+1)2(S+3),的原函数f(t),6.拉氏反变换（3）部分分式展开法（海维赛德展开定理）,2-1傅氏变换与拉斯变换,练习：,知识回顾,1.拉氏变换,F(s)=0f(t)estdt,1,2.拉氏反变换求法,3.数学模型,4.时域和复数域的数学模型分别用什么表示？,5.传递函数,6.传递函数初始条件为零的含义是什么？,7.传递函数拉氏反变换是什么？,8.微分方程与传递函数的关系是什么？,知识回顾,2.拉氏反变换求法,（1）查表法,1,(t)脉冲函数,1(t)单位阶跃函数,t单位斜坡函数,eat指数函数,象函数F(S),原函数f(t),知识回顾,2.拉氏反变换求法,（2）部分分式展开法,知识回顾,3.数学模型,描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。,4.时域和复数域的数学模型分别用什么表示？,5.传递函数,（1）微分方程（2）传递函数,线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。,6.传递函数初始条件为零的含义是什么？,在t为0之前系统输入、输出函数及各阶导数均为0.,7.传递函数拉氏反变换是什么？,传递函数拉氏反变换是该系统的脉冲响应。,7.传递函数拉氏反变换是什么？,8.微分方程与传递函数的关系是什么？S=d/dt,2-2控制系统的时域数学模型一.控制系统的数学模型,描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。,1.建立数学模型的方法：分析法和实验法,（1）分析法（解析法）依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。,（2）实验法对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。,分析法适用于简单、典型、常见的系统；实验法适用于复杂、非常见的系统。,2-2控制系统的时域数学模型一.控制系统的数学模型,描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。,1.建立数学模型的方法：分析法和实验法,（1）分析法（解析法）依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。,（2）实验法对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。,分析法适用于简单、典型、常见的系统；实验法适用于复杂、非常见的系统。,2-2控制系统的时域数学模型一.控制系统的数学模型,2.数学模型的用途,（1）分析实际系统（2）预测物理量（3）设计控制系统,3.数学模型的形式,（1）时域：微分方程、差分方程、状态方程（2）复域：传递函数、动态结构图（3）频域：频率特性,控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制系统的基础，经典控制论中三种分析（时域，根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法，都是建立在这个基础上的。,2-2控制系统的时域数学模型二.控制系统的时域数学模型,时域数学模型形式：微分方程、差分方程和状态方式,建立微分方程的一般步骤(1)确定系统或元件的输入量和输出量；(2)依据各个变量之间遵循的物理或化学定律，列出一组微分方程；(3)消去中间变量，写出系统输入和输出变量的微分方程(4)对微分方程进行整理，写成标准形式，即输出量放在左边，输入量放在右边，按降幂排列。,2.列写微分方程,例1.列写如图所示RC网络的微分方程。,2-2控制系统的时域数学模型二.控制系统的时域数学模型,解：由基尔霍夫定律得:,C,将式(2)、(3)代入式(1)得RC网络的微分方程：,(1),(2),2.列写微分方程,2-2控制系统的时域数学模型二.控制系统的时域数学模型,由(2)可得,(3),2.列写微分方程,2-2控制系统的时域数学模型二.控制系统的时域数学模型,例2.如图所示的RLC无源网络，图中电感为L（亨利），电阻为R（欧姆），电容为C（法），试列写出以电压ui(t)为输入量，以电压uo(t)为输出量网络微分方程。,2.列写微分方程,2-2控制系统的时域数学模型二.控制系统的时域数学模型,例2.解：由基尔霍夫定律得:,将(2)、(3)、(4)代入（1）得微分方程,2-3控制系统的复数域数学模型一.传递函数的概念与定义,（1）初始条件为零的含义,一指输入作用是t0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t=0时的值为零。,二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t=0时，系统的输出量及各阶导数为零。,线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。,设线性定常系统由下述n阶线性微分方程描述：,2-3控制系统的复数域数学模型二.传递函数与微分方程的关系,(1)传递函数是以复变量s为自变量的有理真分式，它的分子，分母的阶次是：nm，且所有系数均为实数;(2)传递函数与微分方程一一对应；d/dt=s(3)传递函数描述了系统的外部特征，传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关；(4)传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数;(5)一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应;(6)传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。,2-3控制系统的复数域数学模型二.传递函数的性质,2-3控制系统的复数域数学模型二.传递函数的性质,(7)传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应g(t)，脉冲响应因是系统在单位脉冲(t)输入时的输出响应。因为G(s)=C(s)/R(s);当r(t)=(t)时，R(s)=1，所以g(t)=L-1C(s)=L-1G(s)R(s)=L-1G(s),例1:若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出响应c(t)=1-2e-2t+e-t，试求系统的传递函数和脉冲响应。,2-3控制系统的复数域数学模型三.传递函数的极点和零点对输出的影响,=,G(S),(s-p1),(s-p2),(s-pn),a0,b0,(s-z1),(s-z2),(s-zm),=,K*,(s-zm),i=1,m,(s-zi),n,(s-pj),j=1,传递函数的极点是微分方程的特征根，它们决定了所描述系统自由运动的形态模态。,2-3控制系统的复数域数学模型三.传递函数的极点和零点对输出的影响,传递函数的极点是微分方程的特征根，它们决定了所描述系统自由运动的模态。,极点p1=-1，p2=-2，零点z1=-3，系统自由运动的模态为e-t和e-2t。零点不形成自由运动的模态，但它影响模态响应所占的比重，因而影响响应曲线的形状。见P49图2-13,零点不形成自由运动的模态，但它影响模态响应所占的比重，因而影响响应曲线的形状。,1,j,-1,-2,z2,z1,例：,=,G1(S),(s+1),4s+2,=,(s+2),G2(S),(s+1),1.5s+2,(s+2),0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2,1,2,3,4,t,c(t),c2(t),c1(t),p1,p2,9.传递函数的极点和零点对系统输出有何影响？,10.传递函数的初始条件不为零时如何求系统的输出响应？,例1.如图所示的RLC无源网络，图中电感为L（亨利），电阻为R（欧姆），电容为C（法），试列写出以电压ui(t)为输入量，以电压uo(t)为输出量之间的传递函数。,2-3控制系统的复数域数学模型四.传递函数举例,网络微分方程：,2-3控制系统的复数域数学模型四.传递函数举例,练习如图所示的RC无源网络，电阻为R（欧姆），电容为C（法），试列写出以电压ui为输入量，以电压uo为输出量之间的传递函数。,ui,R1,C2,uo,C1,R2,i,i1,由(1)求出i1，代入(3)求出i,再代入(2)求得Uo(s)/Ui(s)。,2-3控制系统的复数域数学模型四.传递函数举例,5,n阶导数,snF(s)sn-1f(0)sn-2f(0)fn-1(0),4,一阶导数,sF(s)f(0),一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见的几种形式有：,比例环节传递函数,2-3控制系统的复数域数学模型五.典型环节的传递函数,积分环节传递函数,微分环节传递函数,惯性环节传递函数,二阶振荡环节传递函数,式中：T为时间常数，为阻尼系数。,二阶微分环节传递函数,式中：为时间常数，为阻尼系数,2-3控制系统的复数域数学模型五.典型环节的传递函数,一阶微分环节传递函数,式中：，T为时间常数。,延迟环节传递函数,式中：为延迟时间,2-3控制系统的复数域数学模型五.典型环节的传递函数,(1)电位器比例环节(2)测速发电机比例微分环节(3)电枢控制直流伺服电动机惯性环节或惯性积分环节(4)两相伺服电动机惯性环节(5)无源网络RC（惯性环节）RLC（二阶振荡环节）(6)单容水槽惯性环节(7)电加热炉惯性延迟环节(8)双容水槽比例二阶振荡环节,知识回顾,9.传递函数的极点和零点对系统输出有何影响？,10.传递函数的初始条件不为零时如何求系统的输出响应？,传递函数的极点决定系统的运动模态；零点影响模态响应所占的比重，因而影响响应曲线的形状,12.结构图的等效变换（串联、并联、反馈、比较点后移、比较点前移、引出点后移和引出点前移）,11.结构图的概念及结构图的组成元素,1.串联结构等效变换,R(s),C(s),2.并联结构等效变换,R(s),C(s),G1(s),G2(s),R(s),C(s),C1(s),C2(s),3.反馈结构等效变换,R(s),C(s),G1(s)G2(s),G1(s)G2(s),4.比较点后移等效变换,G(s),5.比较点前移等效变换,1/G(s),6.比较点之间移动等效变换,7.引出点后移等效变换图,G(s),R(s),C(s),R(s),?,1/G(s),8.引出点前移等效变换图,G(s),9.引出点之间的移动,重点与难点,控制系统时域数学模型微分方程的建立,信号流图及梅森公式，会根据结构图画出信号流图并通过梅森公式求系统传递函数,控制系统复数域数学模型传递函数,控制系统的结构图及其等效变换，会对系统结构图通过等效变换进行化简,控制系统的结构图是描述系统中各种信号传递关系的数学图形，它表示了系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算，是控制理论中描述复杂系统的一种简便方法。结构图可用于线性系统和非线性系统。,2-4控制系统的结构图一.结构图的定义,二.结构图的特点,(1)结构图可以直观地研究系统特性，分析各环节对系统性能的影响；(2)当输入输出信号确定后，对应的系统传递函数是唯一的。,动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、方框、比较点和引出点。,2-4控制系统的结构图三.结构图的组成,信号线,表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。,2.方框,方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的传递函数G(s)。,2-4控制系统的结构图三.结构图的组成,3.比较点（综合点）,表示几个信号相加、减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。,4.引出点,表示同一信号传输到几个地方。,2-4控制系统的结构图四.结构图的绘制,1.根据微分方程绘制（1）建立系统各元件的微分方程；（2）对微分方程取拉氏变换，画出对应的结构图；（3）将各元件的结构图按信号传递顺序连接起来。,2.根据原理图绘制（1）将原理图画成方框图；（2）将方框图中的元部件名称换成相应的传递函数；（3）应用此方法的前提是各元部件的传递函数是已知。,2-4控制系统的结构图四.结构图的绘制,3.结构图的基本连接形式,（1）串联连接,方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入。,2-4控制系统的结构图四.结构图的绘制,3.结构图的基本连接形式,（2）并联连接,两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号。,2-4控制系统的结构图四.结构图的绘制,3.结构图的基本连接形式,（3）反馈连接,一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。,2-4控制系统的结构图四.结构图的绘制,4.结构图的构成,构成原则按照动态结构图的基本连接形式，构成系统的各个环节，连接成系统的结构图。,2-4控制系统的结构图四.结构图的绘制,5.结构图绘制示例,例：试绘制RC无源网络的结构图,应用复阻抗概念，根据基尔霍夫定律写出以下方程Ui(s)=I1(s)R1+U0(s)U0(s)=I(s)R2I2(s)=I1(s)R1I1(s)+I2(s)=I(s),5.结构图绘制示例,按照方程可分别绘制相应元件的方框图,2-4控制系统的结构图四.结构图的绘制,5.结构图绘制示例,RC无源网络结构图,2-4控制系统的结构图四.结构图的绘制,2-4控制系统的结构图五.结构图的等效变换,1.串联结构等效变换,两个串联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的乘积。,2.并联结构等效变换,两个并联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的代数和。,2-4控制系统的结构图五.结构图的等效变换,3.反馈结构等效变换,2-4控制系统的结构图五.结构图的等效变换,4.比较点后移等效变换,2-4控制系统的结构图五.结构图的等效变换,G(s),5.比较点前移等效变换,2-4控制系统的结构图五.结构图的等效变换,1/G(s),6.比较点之间移动等效变换,结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。,2-4控制系统的结构图五.结构图的等效变换,7.引出点后移等效变换图,2-4控制系统的结构图五.结构图的等效变换,1/G(s),8.引出点前移等效变换图,2-4控制系统的结构图五.结构图的等效变换,G(s),相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。,9.引出点之间的移动,2-4控制系统的结构图五.结构图的等效变换,例：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数C(s)/R(s)。,2-4控制系统的结构图六.结构图化简示例,本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结构。,解题思路：消除交叉连接，由内向外逐步化简。,2-4控制系统的结构图六.结构图化简示例,将综合点2后移，然后与综合点3交换。,2-4控制系统的结构图六.结构图化简示例,2-4控制系统的结构图六.结构图化简示例,2-4控制系统的结构图六.结构图化简示例,内反馈环节等效变换,2-4控制系统的结构图六.结构图化简示例,内反馈环节等效变换结果,2-4控制系统的结构图六.结构图化简示例,串联环节等效变换,2-4控制系统的结构图六.结构图化简示例,串联环节等效变换结果,2-4控制系统的结构图六.结构图化简示例,内反馈环节等效变换,2-4控制系统的结构图六.结构图化简示例,内反馈环节等效变换结果,2-4控制系统的结构图六.结构图化简示例,反馈环节等效变换,2-4控制系统的结构图六.结构图化简示例,等效变换化简结果,2-4控制系统的结构图六.结构图化简示例,将综合点前移，然后与综合点交换。,2-4控制系统的结构图六.结构图化简示例-方法2,引出点A后移,2-4控制系统的结构图六.结构图化简示例-方法3,引出点B前移,2-4控制系统的结构图六.结构图化简示例-方法4,确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简，求得各自的传递函数。若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。,2-4控制系统的结构图七.结构图化简步骤小结,有效输入信号所对应的综合点尽量不要移动；,尽量避免综合点和引出点之间的移动。,2-4控制系统的结构图八.结构图化简注意事项,作业：P786、7、8P7911（c）（f）,练习1.控制系统的结构图下所示，求系统的传递函数Uo(s)/Ur(s)；,2-4控制系统的结构图八.结构图化简练习,A,D,E,B,C,2-4控制系统的结构图八.结构图化简练习,2-4控制系统的结构图八.结构图化简练习,练习2.控制系统的结构图下所示，试通过结构图等效变换求系统的传递函数C(s)/R(s),2-4控制系统的结构图八.结构图化简练习,G1(s),R(s),C(s),-,-,G2(s),H2(s),G3(s),H1(s),H3(s),-,A,B,C,D,E,练习3.控制系统的结构图下所示，试通过结构图等效变换求系统的传递函数C(s)/R(s),2-4控制系统的结构图八.结构图化简练习,G1(s),R(s),C(s),-,G2(s),G3(s),A,B,知识回顾,12.结构图的等效变换（串联、并联、反馈、比较点后移、比较点前移、引出点后移和引出点前移）,13.系统结构图如下图所示，试画出信号流图。,1.串联结构等效变换,R(s),C(s),2.并联结构等效变换,R(s),C(s),G1(s),G2(s),R(s),C(s),C1(s),C2(s),3.反馈结构等效变换,R(s),C(s),G1(s)G2(s),G1(s)G2(s),4.比较点后移等效变换,G(s),5.比较点前移等效变换,1/G(s),6.比较点之间移动等效变换,信号流图是一种表示线性化代数方程组变量之间关系的图示方法。信号流图由节点和支路组成的一种传递网络。节点标志系统的变量，用小圆圈表示；支路是连接两个节点的定向线段，用支路增益表示方程式中两个变量的因果关系，信号流向由支路上的箭头表示，而传递关系注在支路上。,2-5控制系统的信号流图一.信号流图的基本概念,1,2,3,4,1,a,b,c,5,d,e,f,2-5控制系统的信号流图一.信号流图的基本概念,1,2,3,4,1,a,b,c,5,d,e,f,输入节点：只有输出信号，没有输入信号。输出节点：只有输入信号，没有输出信号。混合节点：既有输入售又有输出信号。前向通路：信号从输入节点到输出节传递时，每个节节只通过一次的通路。前向通路总增益pk：前向通路上各支路增益之乘积。,1,6,6,1,g,p1=1abc1=abc;p2=1d1=d;,x1x2x3x4x5x6;x1x2x5x6,2-5控制系统的信号流图一.信号流图的基本概念,1,2,3,4,1,a,b,c,5,d,e,f,回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点一次的闭合通路。回路增益：回路中所有支路增益的乘积。不接触回路：回路之间没有公共节点。,6,1,g,x2x3x2与x5x5;x3x4x3与x5x5,x2x3x2;x3x4x3;x5x5,L1=ae,L2=bf,L3=g,2-5控制系统的信号流图二.信号流图的绘制,1.由系统微分方程绘制信号流图（1）列出系统的微分方程；（2）通过拉氏变换将微分方程变换为S的代数方程；（3）对方程中每个变量指定一个节点，并按变量的因果关系从左到右顺序列；（4）标明支路增益，根据数学方程式将各节点变量连接。,应用复阻抗概念，根据基尔霍夫定律写出以下方程Ui(s)=I1(s)R1+U0(s)U0(s)=I(s)R2I2(s)=I1(s)R1I1(s)+I2(s)=I(s),Ui,1,1/R1,Ui-Uo,I1,R1CS,I2,1,I,R2,Uo,-1,1,2-5控制系统的信号流图二.信号流图的绘制,2.由系统结构图绘制信号流图,e,e1,e2,2-5控制系统的信号流图二.信号流图的绘制,作业：P7911（b）（d）,规则(1)精简节点数目，支路增益为1的相邻节点可合并；(2)输入、输出节点及输入与比较点之间不允许合并(3)比较点之前有引出点必须分别设置。,2.由系统结构图绘制信号流图,练习1：系统结构图如下图所示，试画出信号流图。,2-5控制系统的信号流图二.信号流图的绘制,2.由系统结构图绘制信号流图,练习2：系统结构图如下图所示，试画出信号流图。,-G3(s),2-5控制系统的信号流图二.信号流图的绘制,练习3.控制系统的结构图下所示，试通过结构图等效变换求系统的传递函数C(s)/R(s),G1(s),R(s),C(s),-,-,G2(s),H2(s),G3(s),H1(s),H3(s),-,2.由系统结构图绘制信号流图,2-5控制系统的信号流图二.信号流图的绘制,练习4.控制系统的结构图下所示，试通过结构图等效变换求系统的传递函数C(s)/R(s),G1(s),R(s),C(s),-,G2(s),G3(s),2.由系统结构图绘制信号流图,2-5控制系统的信号流图二.信号流图的绘制,H2,2-5控制系统的信号流图三.梅森增益公式,信号流图的输入节点到输出节点之间的传递函数可直接用梅森增益公式求取。,P：从输入到输出的传递函数（总增益）。：流图特征式=1-La+LbLc-LdLeLf+La-所有单独回路增益之和；LbLc-所有两两互不接触回路的增益乘积之和LdLeLf-所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和pk：从输入到输出的第k条前向通路总增益；k：流图余子式，k=减去与第k条前向通路相接触的回路增益。,2-5控制系统的信号流图四.利用梅森公式求传递函数,：流图特征式=1-La+LbLc-LdLeLf+La-所有单独回路增益之和；