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2.1积分第一中值定理证明积分第一中值定理:如果函数在闭区间上连续，在上不变号，并且在闭区间上是可积的，则在上至少存在一点，使得成立。证明如下：由于在闭区间上不变号，我们不妨假设，并且记在闭区间上的最大值和最小值为和，即，我们将不等式两边同乘以可以推出，此时对于任意的都会有成立。对上式在闭区间上进行积分，可以得到。此时在之间必存在数值，使得，即有成立。由于在区间上是连续的，则在上必定存在一点，使成立。此时即可得到，命题得证。2.2积分第一中值定理的推广定理：（推广的第一积分中值定理）若函数是闭区间上为可积函数，在上可积且不变号，那么在开区间上至少存在一点，使得成立。推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。证法1：由于函数在闭区间上是可积的，在上可积且不变号，令，很显然在上连续。并且， 。由柯西中值定理即可得到，化简，即，根据上式我们很容易得出，命题得证。证法2：由于函数在上可积且不变号，我们不妨假设。而函数在闭区间上可积，我们令，。假设是在闭区间上的一个原函数，即。我们就可以得到下面等式（2.2.1）此时由于，则会有，由于存在两种可能性，那么下面我们就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论：(1).如果，由等式（2.2.1）可得出，那么对于都有恒成立。(2).如果，将（2.2.1）除以可得，（2.2.2）我们记 ，（2.2.3）此时我们又分两种情形继续进行讨论：（）如果（2.2.2）式中的等号不成立，即有成立，则此时一定就存在，可以使得，我们不妨假设，这其中。因为，则会有。此时至少存在一点，使得，即有成立，从而结论成立。（）如果（2.2.2）式中仅有一个等号成立时，我们不妨假设，因为，此时一定存在区间（其中），使得，恒有成立，我们可以将（2.2.3）式进行简化，因为，则有（2.2.4）而且我们已知，则。于是（2.2.5）在式子（2.2.5）下必定存在，使得。如果不存在一个，使得，则在闭区间上必定有及成立，从而使得。如果，
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