二次函数yax2bxc的图象和性质1名师课件.ppt

,名师课件,22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,第一课时,（1）二次函数的图象性质：,向上,当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大,当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小,向下,当时，,当时，,（2）抛物线的平移规律：,（h）左加右减，(k)上加下减,活动1,探究一：从旧知识过渡到新知识,复习配方,填空：（1）x2+4x+9=（x+）2+；（2）x2-5x+8=（x-）2+.,2,5,总结规律：,当二次项的系数为1时，常数项须配一次项系数一半的平方,活动2,探究一：从旧知识过渡到新知识,以旧引新,1.二次函数ya(xh)2k的图象，可以由函数yax2的图象先向_平移_个单位，再向_平移_个单位得到,2二次函数ya(xh)2k的图象的开口方向，对称轴是_，顶点坐标是_,3二次函数，你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？,左或右,|h|,上或下,|k|,a0，向上；a4时，y随x的增大而增大；当x4时，y随x的增大而减小当x4时，函数y取最小值2.,师生共研，探究性质,画出函数的图象，并试着说出它的性质,重点、难点知识,探究三：二次函数的图象及性质,思考、讨论下列问题：,1.对于任意一个二次函数yax2bxc(a0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？2.观察二次函数yax2bxc(a0)的图象，在对称轴的左右两侧，y随x的增大有什么变化规律？3.函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？4.你能归纳总结二次函数yax2bxc(a0)的图象和性质吗？,活动,师生共研，探究性质,重点、难点知识,探究三：二次函数的图象及性质,二次函数yax2bxc（a,b,c是常数，a0）的图象与性质：,a0,(1)当a0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸.,(2)对称轴是直线,顶点坐标为,(3)在对称轴的左侧，即相当于时，y随x的增大而减小；,在对称轴的右侧，即相当于时，y随x的增大而增大；,简记为“左减右增”.,(4)抛物线有最低点，当时，y有最小值，y最小值=,活动,师生共研，探究性质,重点、难点知识,探究三：二次函数的图象及性质,二次函数yax2bxc（a,b,c是常数，a0）的图象与性质：,a0,(1)当a0时，抛物线开口向下，并且向下无限延伸.,(2)对称轴是直线,顶点坐标为,(3)在对称轴的左侧，即相当于时，y随x的增大而增大；,在对称轴的右侧，即相当于时，y随x的增大而减小；,简记为“左增右减”.,(4)抛物线有最高点，当时，y有最大值，y最大值=,活动,师生共研，探究性质,探究四：二次函数的图象及性质的应用,活动1,基础型例题,例1把下面的二次函数的一般式化成顶点式：,【解题过程】,解法一：用配方法：,探究四：二次函数的图象及性质的应用,活动1,【思路点拨】一般式化为顶点式有两种方法，一种是配方法，另一种是代入公式法,例1把下面的二次函数的一般式化成顶点式：,基础型例题,【解题过程】,解法二：用公式法：,探究四：二次函数的图象及性质的应用,活动1,基础型例题,练习：若二次函数yx2bx5配方后为y(x2)2k，则b，k的值分别为()A.0，5B.0，1C.4，5D.4，1,解：y(x2)2k=x2-4x+4+k，b=-4，4+k=5，k=1,故选D.,D,探究四：二次函数的图象及性质的应用,活动1,基础型例题,例2已知：抛物线,（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标；（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？,【解题过程】,解：(1)开口向上，对称轴为直线x1，顶点坐标为(1，8),所以与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0),令x0，得y6，所以与y轴的交点坐标为(0，6),(3)当x1时，y随x的增大而增大,探究四：二次函数的图象及性质的应用,活动1,基础型例题,练习：若点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x22x1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1y2（填“”、“”、“=”）,【解题过程】,解：二次函数y=x22x+1的图象的对称轴是x=1，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，,点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x22x+1的图象上两点，123，,y1y2.,【思路点拨】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系.,探究四：二次函数的图象及性质的应用,活动2,提升型例题,例3已知那么函数y=2x2+8x6的最大值是（）,10.5B.2C.2.5D.6,【解题过程】,解：y=2x2+8x6=2（x2）2+2,该抛物线的对称轴是x=2，且在x2上y随x的增大而增大,又,当时，y取最大值，,C,【思路点拨】确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值,探究四：二次函数的图象及性质的应用,活动2,提升型例题,从上表可知，下列说法中正确的是（填写序号）,【思路点拨】题中给出表格，可根据所给数据，求出函数解析式，再据此即可作出判断；也可根据表格中的数据，抛物线的对称性，以及二次函数的图象性质，进行判断。,练习：抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：,探究四：二次函数的图象及性质的应用,活动2,提升型例题,【解题过程】,解法一：略.（请同学们自己完成）,解法二：,抛物线与x轴的一个交点为（-2，0），抛物线与x轴的另一个交点为（3,0），选项正确；,观察表格知，在对称轴左侧，y随x增大而增大，选项正确.,故正确的是.,探究四：二次函数的图象及性质的应用,活动2,提升型例题,例4将抛物线y=ax+bx+c向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线yx+2x+3，求a，b，c的值,【解题过程】,解：yx+2x+3=（x+1）+2，,把抛物线y（x+1）+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，,得到抛物线y（x+4）+4，,ax+bx+c（x+4）+4=x+8x+20，,a1，b8，c20.,【思路点拨】此题应用了逆向思维由抛物线y=ax+bx+c变到抛物线yx+2x+3，不易求a，b，c的值；但反过来由抛物线yx+2x+3平移成抛物线y=ax+bx+c就可轻松求解,探究四：二次函数的图象及性质的应用,活动2,提升型例题,练习：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）,ABCD,【思路点拨】先将一般式化为顶点式，根据左加右减，上加下减来平移.,D,探究四：二次函数的图象及性质的应用,活动3,探究型例题,例5如图所示，二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C,（1）求m的值；,【解题过程】,解：（1）将（3，0）代入二次函数解析式，得32+23+m=0解得，m=3,探究四：二次函数的图象及性质的应用,活动3,（2）求点B的坐标；,解：（2）二次函数解析式为y=x2+2x+3，令y=0，得x2+2x+3=0解得x=3或x=1点B的坐标为（1，0）,探究型例题,例5如图所示，二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C,【解题过程】,探究四：二次函数的图象及性质的应用,活动3,【思路点拨】解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，底相同且面积相等的两个三角形高相等。,探究型例题,例5如图所示，二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C,【解题过程】,（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x0，y0），使求点D的坐标,解：（3）点D在第一象限，点C、D关于二次函数对称轴对称由二次函数解析式可得其对称轴为x=1，点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（2，3）,探究四：二次函数的图象及性质的应用,活动3,探究型例题,练习：两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称,钢缆的最低点到桥面的距离是多少？,【解题过程】,解：（1）,因此钢缆的最低点到桥面的距离是1m.,探究四：二次函数的图象及性质的应用,活动3,【解题过程】,解：（2）,两条钢缆最低点之间的距离是多少？,探究型例题,练习：两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称,探究四：二次函数的图象及性质的应用,活动3,钢缆的最低点到桥面的距离是多少？两条钢缆最低点之间的距离是多少？,【思路点拨】（1）将二次函数解析式配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;（2）由左右两条抛物线关于y轴对称，得出另一条抛物线解析式，可知它们的顶点坐标，从而求得两条钢缆最低点之间的距离。,探究型例题,练习：两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称,知识梳理,归纳二次函数yax2bxc（a,b,c是常数，a0）的图象与性质：,a0,(1)当a0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸.,(2)对称轴是直线,顶点坐标为,(3)在对称轴的左侧，即相当于时，y随x的增大而减小；,在对称轴的右侧，即相当于时，y随x的增大而增大；,简记为“左减右增”.,(4)抛物线有最低点，当时，y有最小值，y最小值=,知识梳理,归纳二次函数yax2bxc（a,b,c是常数，a0）的图象与性质：,a0,(1)当a0时，抛物线开口向下，并且向下无限延伸.,(2)对称轴是直线,顶点坐标为,(3)在对称轴的左侧，即相当于时，y随x的增大而增大；,在对称轴的右侧，即相当于时，y随x的增大而减小；,简记为“左增右减”.,(4)抛物线有最高点，当时，y有最大值，y最大值=,重难点归纳,1.在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征.,2.抛物线y=ax2+bx+c是以直线为对称轴的轴对称图形，有以下性质：,(1)抛物线上关于对称轴对称的两点纵坐标相等；抛物线上纵坐标相等的两点一定关于对称轴对称.,(2)如果抛物线交x轴于两点，那么这两点一定关于对称轴对称.,(3)若设抛物线上关于对称轴对称的两点横坐标为x1，x2，则抛物线的对称轴是直线,重难点归纳,3.直接运用公式确定对称轴和顶点坐标时，不能忽视a，b，c的值的符号。,4.一般式的二次函数图象的平移法：对于一般式的图象平移，是先将一般式化成顶点式，再利用“左加右减，上加下减”规则来求解,特别提醒：对于一般式的图象平移，一般式也可以不化成顶点式，只要熟记左加右减在所有的x上加减，上加下减在函数表达式的末尾加减即可,重难点归纳,5.二次函