经济数学基础12形成性考核册及参考答案

经济数学基础12形成性考核册及参考答案一、课程概述经济数学基础是经济类和管理类各专业的一门重要基础课程，它为后续的专业课程提供必要的数学工具和方法。本课程包括函数、极限与连续、导数与微分、导数应用、不定积分、定积分等内容。通过学习，学生应掌握基本的数学概念、理论和方法，具备一定的运算能力、逻辑推理能力和数学建模能力，能够运用数学知识解决经济和管理中的实际问题。二、形成性考核册题目及参考答案第一章函数1.题目求函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{4x^2}}+\ln(x1)$的定义域。已知$f(x)=\frac{x+1}{x1}$，求$f(\frac{1}{x})$。2.参考答案对于$f(x)=\frac{1}{\sqrt{4x^2}}+\ln(x1)$，要使根式有意义，则$4x^2>0$，即$x^2<4$，解得$2<x<2$；要使对数有意义，则$x1>0$，即$x>1$。所以定义域为$(1,2)$。已知$f(x)=\frac{x+1}{x1}$，则$f(\frac{1}{x})=\frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{1}{x}1}=\frac{1+x}{1x}$。第二章极限与连续1.题目计算$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$。已知函数$f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\\2x1,&x\geq0\end{cases}$，求$\lim\limits_{x\to0^}f(x)$，$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)$，并判断函数在$x=0$处是否连续。2.参考答案根据重要极限$\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1$，令$u=3x$，当$x\to0$时，$u\to0$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=3$。$\lim\limits_{x\to0^}f(x)=\lim\limits_{x\to0^}(x+1)=0+1=1$；$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(2x1)=2\times01=1$。因为$\lim\limits_{x\to0^}f(x)\neq\lim\limits_{x\to0^+}f(x)$，所以函数在$x=0$处不连续。第三章导数与微分1.题目求函数$y=x^32x+5$的导数。已知$y=\sin(2x+1)$，求$dy$。2.参考答案根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n1}$，则$y^\prime=(x^32x+5)^\prime=3x^22$。令$u=2x+1$，则$y=\sinu$，先对$y$关于$u$求导得$y^\prime_u=\cosu$，再对$u$关于$x$求导得$u^\prime_x=2$。根据复合函数求导法则$dy=y^\prime_u\cdotu^\prime_xdx=2\cos(2x+1)dx$。第四章导数应用1.题目求函数$f(x)=x^33x^29x+5$的单调区间和极值。某工厂生产某种产品，其成本函数为$C(x)=2000+10x+0.01x^2$，需求函数为$p=900.01x$，其中$x$为产量，$p$为价格。求利润最大时的产量和价格。2.参考答案先求$f(x)$的导数$f^\prime(x)=3x^26x9=3(x^22x3)=3(x3)(x+1)$。令$f^\prime(x)=0$，解得$x=3$或$x=1$。当$x<1$时，$f^\prime(x)>0$，函数单调递增；当$1<x<3$时，$f^\prime(x)<0$，函数单调递减；当$x>3$时，$f^\prime(x)>0$，函数单调递增。所以单调递增区间为$(\infty,1)$和$(3,+\infty)$，单调递减区间为$(1,3)$。极大值为$f(1)=(1)^33\times(1)^29\times(1)+5=10$；极小值为$f(3)=3^33\times3^29\times3+5=22$。利润函数$L(x)=x\cdotpC(x)=x(900.01x)(2000+10x+0.01x^2)=0.02x^2+80x2000$。求$L(x)$的导数$L^\prime(x)=0.04x+80$。令$L^\prime(x)=0$，解得$x=2000$。此时$p=900.01\times2000=70$。所以利润最大时的产量为$2000$，价格为$70$。第五章不定积分1.题目求$\intx^2\cosxdx$。已知$\intf(x)dx=2x^2+C$，求$f(x)$。2.参考答案利用分部积分法，设$u=x^2$，$dv=\cosxdx$，则$du=2xdx$，$v=\sinx$。根据分部积分公式$\intudv=uv\intvdu$，可得：$\intx^2\cosxdx=x^2\sinx\int2x\sinxdx$。对于$\int2x\sinxdx$，再用一次分部积分法，设$u=2x$，$dv=\sinxdx$，则$du=2dx$，$v=\cosx$。所以$\int2x\sinxdx=2x\cosx+\int2\cosxdx=2x\cosx+2\sinx+C$。则$\intx^2\cosxdx=x^2\sinx+2x\cosx2\sinx+C$。因为$(\intf(x)dx)^\prime=f(x)$，已知$\intf(x)dx=2x^2+C$，所以$f(x)=(2x^2+C)^\prime=4x$。第六章定积分1.题目计算$\int_0^1x^2dx$。求由曲线$y=x^2$，直线$x=1$，$x=2$及$x$轴所围成的平面图形的面积。2.参考答案根据定积分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq1$），可得：$\int_0^1x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{1}{3}(1^30^3)=\frac{1}{3}$。所求图形的面积$S=\int_1^2x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_1^2=\frac{1}{3}(2^31^3)=\frac{7}{3}$。三、学习建议1.理解基本概念：经济数学基础中的概念较多，如函数的定义域、极限、导数、积分等，要深入理解其定义、性质和几何意义，这是学好后续内容的基础。2.掌握基本方法：熟练掌握求导公式、积分公式以及各种计算方法，如求导法则、分部积分法、换元积分法等。通过大量的练习，提高运算能力和解题技巧。3.注重知识联系：函数、极限、导数、积分之间有着密切的联系，要理解它们之间的内在逻辑关系，能够运用相关知识解决综合性问题。4.多做练习题：通过做练习题加深对知识点的理解和掌握，提高解题能力。同时，要认真分析题目，总结解题思路和方法，做到举一反三。5.结合实际问题：经济数学基础在经济和管理中有广泛的应用，要学会将所学知识与实际问题相结合，提高运用数学知识解决实际问题的能力。四、总结经济数学基础12形成性考核册涵盖了课程中的各个重要知识点，通过对题目及参考答案的分析，我们可以更