最值问题解题思路奥数

从马到成功的奥数主题：离散最大值引言国内外数学竞赛中，经常出现自然数范围内变化量的最大值问题，我们称之为离散最大值问题. 要解决这种非常规的问题，没有统一的方法，每个主题都必须采用不同的策略和方法。 具体主题大体可以从以下几个方面开始1 .着眼于极端情况2 .分析推论确定最大值3 .枚举比较确定的最大值4 .估计和结构。离散的最高值问题渗透到小升初的各个奥数题目中，掌握它能为解决数学论、计数、应用问题等打下坚实的基础。一、从极端情况开始从极端情况开始，着眼于极端情况，是解决最有价值问题的有效手段。题目1 .布袋中有红、黄、绿三种颜色的球各10个，这些球大小一样，红球标有数字“4”，黄球标有数字“5”，绿球标有数字“6”。 小明从袋子里取出8个球，其数字之和为39，其中最多可能有几个球是红色的？解：假设接触到的8个球都是红球，数字之和为(48=)32，与实际之和39不同7。 这是因为接触到的黄色球、绿色球都是红色球。用一个绿球换一个红球，数字和可增加(6-4=)2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加(5-4=)1。 为了使红球尽量多，应该把绿球变成红球，现在是72=31，所以把红球变成3个绿球，再用另一个黄球变成红球的话，8个球的数字之和正好是39。 因此，若要将8个球的数字之和设定为39，其中最多4个球(8-3-1=)4 )可能是红色球。主题2.13个不同的正整数，其和为100。 其中偶数最多几个，最少有几个？解0000000气体、气体、气体、气体、气体、气体1、3、5、7、9、11、13、15=64的偶数最少为5个，100-64=3636=24、6、8、16的偶数最少为5个。主题3 .小型天平备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。 为了测量1克到91克中任意一个整数克的重量，只允许在天平的一端放置重物，至少需要准备几个重物。解：为了表现从1克到91克的任意整数克的重量，需要9克、5克、3克、1克，它们的和可以是91。 9 1需要9 1 1 2=13个。主题4.1台计算机的大部分按钮失效，只能使用数字“7”和“0”和加法按钮，因此只能输入77，707这个数字的7和0的数字，进行加法运算。 要显示222222，至少需要按“7”键多少次按下222222-70000*3=12222个7 12222-7000*1=5222个7个按下7个5222-700*7=322，按下4个7 322-70*4=42，按下6个7 42-7*6=0。 3 1 7 4 6=21次二、列举法和逐步调整枚举法是在确定有限数量的最大(或最小)值时常用的基本方法之一。 本方法的大意是逐一列出与问题有关的对象，逐一比较发现其中最有价值的或者逐一考察与问题有关的各种情况，最后总结必要的结论。将主题5.6、7、8、9、10按任意顺序写在圆周上，将相邻的两个数相乘，将得到的五个乘积相加，得到的和的最小值是多少解：要使乘积最小，请尽量减小每个数。 至于10，旁边再加上6和7，就这样缩小。 因此，有两种方法：-主题6 .某公共汽车从出发点到终点，中途有13个停车站。 这辆巴士从始发站出发，除了终点站，各站的乘客中，如果有一名乘客从这个站到下一站，为了让所有的乘客都有座位，这辆巴士至少需要几个座位解法1 :车上最多只需要几个人。 按问题分列的清单如下：由上表可知，车上最多需要56人，也就是说至少需要56人的座位。说明：本问题的问题句中出现“至少”字样的是座位，必须根据座位最低、什么时候车辆人数最多来保证乘客中每个人都有座位。 要准备的座位至少要和乘客最多时的人数一样。 所以，不能只看表面现象。 误以为“至少”是求最小数目，要分析清楚问题的意思后再判断。解法2 :从某个车站出车的时候，以前各车站从同一人数到各车站(各车站1人)，这个人数也和本车站的上车人数一样多发车人数=(以前的站数1 )以后的站数=站号(15-站号)。因此，我们只需要比较以下几个大小114、213、312、411、51069，78，87，96，105114，123，132，141。从这些数据可以看出，78和87是最大值，也就是说车上乘客最多时的人数是56人，应该有56个座位。解释：这两个问题的解法都是采用的枚举法，枚举法是解决离散最高值问题的基本方法。 本方法的大意是逐一列出与问题有关的对象，逐一比较发现其中最有价值的或者逐一考察与问题有关的各种情况，最后总结必要的结论。主题7在如图18-2所示2*8方向眼表中，在第1行的8方向眼内按照1、2、3、4、5、6、7、8的顺序被写入. 此外，如果将1、2、3、4、5、6、7和8以适当的顺序分别写入第二行的第八个单元格，并且一列中的两个数字之间的差异是两个，则在第二行中显示的八位最大可能值是多少？解：这8个差别分别为0，1，2，3，4，5，6，7和28，按组分为14。 八和七一定要埋在一两个方格里。 前两列的差距是7和5，第三列填补6的话，7 5 3超过14，所以只能填补5。 在这种情况下，三个差别是7，5，2和14，并且第四网格只能填充4，6重复。 数字6只能填写在第7段，更加紧凑的话就是87541362。三、从简单的情况开始解决复杂问题从简单问题开始，通过分析得出规律，找出解决复杂问题的方法。主题8.123456791011从99100减去100的数字，其他数字的顺序不变，求出剩馀的数字中的最大数和与最大数的位数相同的最小数。分析和解答将这个问题从12345678简化成9个数字。 利用枚举法，剩下的2位的最大数为91，最小数为10，即求最大数时，上位的数字在求取尽可能大的数字的最小数时，取尽可能小的数字。 在这个问题上， 12345678中除10个数字以外剩下9个111213484950中除76个数字以外剩下4个9进一步51525355555555555555555352535253525352535253525352535253525352535252525253525352535253525352535252535252525352525252535252525252 53525352535253525352535253525352535253525352535252535253525352535253525352535253525352535253在计算最小值时，从12345678减去9个数字11121314484950减去76个数字以保留4个0，并且从515253545555555657585960减去15个数字以保留尽可能小的数字12340，从而得到最小数字10000012340616299100。主题9.1、2、3、49、50任意分成10组，每组5个。 在各组中，位于数值中央的称为“中央值”。 求出这10个中央值之和的最大值和最小值。解： 1，2，3，49，50 4，5，6，47，48 28，29，30，31，32 3 6 30=165 (最小值) 1，2，48，49，50 3，4，45，46，47 19，20，21，22，23 48 45 21=345 (最大值)四、一定的问题和1 9=10 19=92 8=10 28=163 7=10 37=214 6=10 46=245 5=10 55=25例如，发现和为10的两个自然数，它们的乘积的最大值是什么？和为10的自然数有5对，每个自然数的乘积得到5个不同的数。 如下表所示由此可知，将这2个自然数都设为5时，存储有最大值25。成立。 也就是说，与一定时差的最小积越大。主题103条线段a、b、c、线段a的长度为2.12米，线段b的情况为2.71米，线段c的长度为3.53米。 如图18-1所示，将它们作为上底、下底、高度，能够制作3个相同的梯形。 几号梯形的面积最大？解：梯形体积=(上底下底) *高/2一定时，使乘积最大，使两个个数接近。 a b和c非常接近，所以的面积最大。主题11 .以50元出售进货单价为40元的商品，每件利润为10元，但只能出售500个。 这种商品涨价一元，其销售额就减少了十个。 为了获得最多的利益，销售价格应该是多少？解：以每个商品的销售价格为(50 x )元，销售量为(500-10X )个。 一共有利(50 x-40)(500-10x )=10(10 X)(50-X ) (原始)。(10 x) (50-x)=60是固定值，因此当10 X=50-X，即X=20时，它们的乘积变为最大。这种情况下，各自的销售价格为50 20=70 (元)主题12.3、4、5、6、7、8这6个数字并排乘以3个2位，要求它们的乘积最大。 我应该怎么排？【分析和解】十位数字分别为8、7、6、876，个位数字分别为5、4、3、543，根据“接近原则”，大小的组合为837465，三位数字最接近，因此它们的乘积最大。综上所述，这种法则：的数量多时通过组合小数量、小数量时通过组合大数量，能够使数量彼此更靠近，确保面积为最大。 简单来说，数量越近，乘积就越大。综上所述，这种法则：的数量多时通过组合小数量、小数量时通过组合大数量，能够使数量彼此更靠近，确保面积为最大。 简单来说，数量越近，乘积就越大。五、积累一定的问题两个变化的量，如果在变化的过程中它们的乘积不变，那么它们的差与和有什么关系呢让我们看看下表我们可以得到以下法则两个变化的量，除非积在变化过程中发生变化，否则差别会变小，和会变小。 相同的话，相同的话，是最小的。主题13 .长方形的面积为144 cm2，其长度和宽度分别为多少时，其周长最短？解：长方形的长度和宽度分别为xcm和ycmxy=144。从而，如果x=y=12，则由于x-y具有最小值，所以矩形的周长2(x y )也具有最小值。题目14 .农场计划开挖面积为432 m2的长方形鱼池，鱼池周围分别有3m和4m的堰。 占地面积最小，池塘长度和宽度应该是多少？解：如图所示，池的长度和宽度分别为xm和ymxy=432。设置面积的总和是S=(x 6)(y 8)cm2。 所以呢S=Xy 6y 8X 48=6y 8X 480。我们知道6y 8X=48432是恒定值，因此对于6y=8X，s是最小的，在这种情况下，6y=8X=144，因此y=24，x=18。六、从整体开始从整体上抓住数据的本质特征进行分析，很容易突破难点。主题15.10、9、8、7、6、5、4、3、2、1这十个相邻的两个主题之间带有加号或减号来构造公式。 要求： (1)式的结果等于37 (2)该式中的所有减数(前加减号的数)的乘积尽可能大。 那么，这些减数的最大积是多少？主题16.10、9、8、7、6、5、4、3、2、1这十个相邻的两个主题之间附加加号或减号来构成计算公式。 要求： (1)式的结果等于37 (2)该式中的所有减数(前加减号的数)的乘积尽可能大。 那么，这些减数的最大积是多少？解：给10个数加上加号，它们的和是55，把其中一个数前的加号换成减号，把这个数减数的话，和数就减少到这个数的2倍。因为55-37=18，所以减数的这些数之和是182=9。 在大于2的数据中，两个数的和总是小于两个数的乘积，减数越多越好，以使这些减数的乘积尽可能大(1除外)。 9最多可以分解为3个数的和2 3 4=9，因此这些减数的最大积为234=24，加上正和负的公式为10 9 8 7 6 5- 4- 3- 2 1=37。七、抓住不均匀的关系主题17 .一所学校决定出版作文集。 费用在30册以内为80元，超过30册的每本增加了1.20元。 如果打印多本，每本费用在1.50元以内吗？解：很明显，印刷份数应该超过30份。 如果打印(30 x )册，总费用将为(80 1.2x )元。 有故80 1.2x1.5 (30 x )答案：160=147以内。题目18 .糖块有4袋，其中任意3袋合计超过60袋。 那么，这四袋糖块的总数最少是多少？解：其中任意3袋的合计要超过60个，至少要61个，先在1袋中放入20个糖，但任意3袋中至少有1个是21个，否则不能超过60个。 要使任意三袋中至少一个为21袋，这四袋糖块分别为20、20、21、21。 和为20 20 21 21=82八、抓住对等关系主题19.10名小学生的平均身高为1.5米。 其中有1.5米以下的，他们的平均身高是1.2米，其他1.5米以上的平均身高是1.7米。 那么，身高正好1.5米的同学有多少人？:的身高刚好是1.5米，低于1.5米的人越少，高的人和低的人分别为a、b