安徽省皖南八校2020届高三数学上学期第一次联考试题 文（含解析）

安徽省皖南八校2020届高三数学上学期第一次联考试题 文（含解析）考生注意：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。第卷每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。3.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数。第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】用列举法写出b集合，再求交集。【详解】，故选d【点睛】集合的运算-交集：取两个集合共同的元素。2.若复数，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】复数的除法法则化简复数z，再根据复数的模长公式求解。【详解】。故选b【点睛】对于分数型的复数，首先采取复数的除法运算法则进行化简，化简成的形式，再求模长。3.已知，则（ ）a. b. c. d. 0【答案】a【解析】【分析】利用诱导公式和，进行变形，再代入求值。【详解】，。故选a。【点睛】诱导公式口诀，“奇变偶不变，符号看象限”。4.设，且，则（ ）a. b. 4c. 5d. 【答案】c【解析】【分析】由，确定未知量取值，再求模长。【详解】解得故选c。【点睛】平面向量数量积的基本应用，垂直数量积为零，模长公式。5.若，则（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用指数函数、对数函数性质，逐个分析abc取值范围，进而比较大小。【详解】，且，则故选c【点睛】对数式和指数式比较大小题型，通常将数与0、1、2或-1等比较，确定范围，再比较大小。6.函数的部分图象大致为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。【详解】，故奇函数，四个图像均符合。当时，排除c、d当时，排除a。故选b。【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。7.为了测量铁塔的高度，小刘同学在地面处测得铁塔在东偏北方向上，塔顶处的仰角为，小刘从处向正东方向走140米到地面处，测得铁塔在东偏北方向上，塔顶处的仰角为，则铁塔的高度为（ ）a. 米b. 米c. 米d. 米【答案】c【解析】【分析】应用举例问题，注意分析角度，设所求为未知量再利用余弦定理列方程，解方程。【详解】设，中，中，中，由余弦定理解得，故选c8.在平面直角坐标系中，角的顶点为，始边与轴正半轴重合，终边过点，且，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】通过三角函数定义求y，并且一定注意终边所过点的取值范围。再利用两角和余弦公式进行化简，求值。【详解】由终边过点，得，解得即终边过点，故选b。【点睛】使用三角函数定义，需注意，其中。9.关于复数，下列命题若，则；若为实数，则；若是纯虚数，则，y=0；若，则.其中真命题的个数为（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】c【解析】【分析】对于复数，考察：模长公式复数分类复数除法【详解】对，则，。正确对，若为实数，则虚部为零，即y=0。正确对，若是纯虚数，那么。正确对，则。错误故选c【点睛】本题考查复数的有关概念及运算，考查学生对基本知识的理解与运算，属于基础题.10.若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递增区间为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间。详解】，求导解得，则当时，。则的单调递增区间是。故选a【点睛】导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率。已知两点坐标也可求斜率。本题还考察了导数在研究函数性质中的应用。11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）a. 函数的图象关于直线对称b. 函数在上单调递增c. 函数的图象关于点对称d. 函数的值域为【答案】a【解析】【分析】分情况讨论，去绝对值，再讨论函数性质。详解】分类讨论：当时，当时，周期，图像关于直线对称，故a正确。函数在上单调递增，在上单调递减，故b错误。函数无对称中心，故c错误。函数值域为故d错误。故选a。【点睛】对于绝对值函数应分类讨论，形成分段函数，必要的时候可以画出简图，简要判断。12.已知函数，若函数与函数的图象有且只有3个公共点，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】对参数a进行分类讨论，分别讨论分段函数的交点问题。【详解】当时，有两个实数解，则即只有1个非正数解，不合题意.当时，函数显然有3个解，当时，函数有1个解，则要有2个非正的实数根，综上.【点睛】一次函数与对数函数交点问题可以使用图像解法，分析出在特定范围的解的情况。令二次函数解的个数问题，需注意解的正负情况。第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】确定b集合范围，由充分必要条件，可得出条件推结论、结论不可推条件，从而解题。【详解】因“”是“”的充分不必要条件，,故实数的取值范围是【点睛】充分不必要条件的应用，转化成集合的从属关系。14.已知，则_.【答案】【解析】【分析】用两角和与差的正弦公式拆解两个已知条件，分别求出和的值，比值即为最后所求。【详解】 +得： -得： 两式相除：故填【点睛】两角和与差的正弦公式，解得和并构造所求式子。15.当时，函数的最大值与最小值的和为_.【答案】【解析】【分析】利用导数求解最值问题，即可求解。属难题。【详解】，当时，；当时，在，上都是增函数，在上是减函数，的最大值为，最小值为，它们的和为.【点睛】导数在研究函数中的应用，可求单调性，分析最值，进而求解最大值与最小值的和。16.已知四边形是平行四边形，点在的延长线上，.若，则_.【答案】2【解析】【分析】平面向量线性运算表示，平面向量基本定理以与为一组基底，进行化简。【详解】由，得，.【点睛】平面向量的平行四边形法则，以两条邻边为基底，表达其他向量。是解题的关键。三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知：函数在上是增函数，：，若是真命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】本题是组合命题真值判断，先分别求解p真和q真时的参数取值范围，再由简单的逻辑联结词判断p，q的真假。进而求参数取值范围【详解】解：真时，真时，为真时，或，为真，与都为真，即【点睛】且命题：全真为真，一假即假。非命题：与原命题真值相反。18.已知，.（1）若，求的值；（2）若，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数的表达式及的最小正周期.【答案】（1）（2），最小正周期为.【解析】【分析】（1）由向量平行求解，再求，利用齐次式求解。（2）平面向量数量积运算求得解析式，经过图像平移，求解析式及周期。【详解】解：（1）由，得，.（2），最小正周期为.【点睛】（1）利用齐次式解决问题时候注意1的妙用。（2）平面向量数量积运算，满足实数的乘法分配律，可直接进行化简。19.在中，内角，的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1),再利用正弦定理即可解出来（2）运用余弦定理解题，均值不等式确定最值问题。【详解】解：（1）由，及正弦定理，得，又中，.（2），当且仅当时，取等号.，的面积，面积的最大值为.【点睛】（1）解三角形问题，一般需要注意三角形内角和180，各个内角均为正。（2）已知对角和对边，则另两边为未知量，运用余弦定理列方程，再结合均值不等式求解。20.已知函数，分别是曲线上的一个最高点和一个最低点，且的最小值为.（1）求函数的单调递增区间和曲线的对称中心的坐标；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），对称中心坐标为.（2）【解析】【分析】（1）先化简整理成的形式，再根据周期及最值求解。（2）用给定的x的取值范围，求的取值范围，再根据恒成立，比较端点值。【详解】解：（1），的最小值为，由得，函数的单调增区间为，由得，曲线的对称中心坐标为.（2），对恒成立，.【点睛】（1）巧用两点间距离公式确定周期，解出参数取值。（2）给定范围恒成立问题，转化成比较端点大小问题。21.已知函数，.（1）讨论函数的极值；（2）若函数存在极小值，且极小值小于零，求实数的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）【解析】【分析】（1）三次函数参数未知、讨论其单调性，需分析取值范围。（2）由第一问结论可直接判断参数a取值范围，再求解。【详解】解：（1）定义域为，当时，或；，单调增区间为，单调减区间为，的极大值为，极小值为，当时，在上是增函数，没有极值；当时，或；，的单调增区间为，单调减区间为，的极大值为，极小值为.（2）由（1）知时，的极小值为，时，的极小值为，由得，即的取值范围是.【点睛】（1）含参数的函数讨论极值的问题，需分类讨论，根据参数的不同取值范围逐步判断单调性及最值。（2）通过对极值取值范围分析，进而确定参数的范围。22.已知函数.（1）求函数的零点个数；（2）求证：.【答案】（1）有两个零点，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）抽象函数判断零点的个数，需要综合考虑导数，单调性，极值最值等等，还有特殊值的分析。（2）构造新函数，求新函数的最值，即可证明。【详解】解：（1）定