2020版高考数学二轮复习 第二篇 专题突破 2.3 数列 高考小题 2 数列的简单问题课件 理

第2课时数列的简单问题,考向一由递推关系求通项(压轴题型考点)【典例】1.已知数列an满足a1=1,且则数列an的通项公式为(),c.an=n+2d.an=(n+2)3n,【解析】选b.由an=an-1+(n2且nn*)得,3nan=3n-1an-1+1,3n-1an-1=3n-2an-2+1,32a2=3a1+1,以上各式相加得3nan=n+2,故an=.,2.(2019天津一模)已知数列an满足:a1=,则数列an的通项公式为an=(),【解析】选c.通解:an+1-1=(an-1),令bn=an-1,则从而得到,又b1=a1-1=-,得bn=b1,所以an=.优解:a1=1-,a2=1-,a3=1-,归纳可得an=1-.,3.数列an中,an0,前n项和为sn,且,则数列an的通项公式为_.,【解析】由sn=,an0,(nn*)得a1=,解得a1=1,又sn-1=(n2),两式相减得2an=+an-an-1,化简得(an+an-1)(an-an-1-1)=0,因为an+an-10,则an-an-1=1(n2),则数列an是首项和公差都等于1的等差数列,则an=n.答案:an=n,【题眼直击】,【拓展提升】求数列通项常用的方法(1)定义法:形如an+1=an+c(c为常数),直接利用定义判断其为等差数列.形如an+1=kan(k为非零常数)且首项不为零,直接利用定义判断其为等比数列.,(2)叠加法:形如an+1=an+f(n),利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1),求其通项公式.(3)叠乘法:形如=f(n)0,利用an=a1,求其通项公式.,(4)待定系数法:形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)0),先用待定系数法把原递推公式转化为an+1-t=p(an-t),其中t=,再转化为等比数列求解.,(5)构造法:形如an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)0),先在原递推公式两边同除以qn+1,得,构造新数列bn,得bn+1=bn+,接下来用待定系数法求解.,【变式训练】1.数列an满足a1=2,an+1=an,nn*,则an=_.,【解析】由已知所以由a1=2,an=(n+1)2n-1.答案:(n+1)2n-1,2.已知数列an中,a1=3,且点pn(an,an+1)(nn*)在直线4x-y+1=0上,则数列an的通项公式为_.,【解析】点pn(an,an+1)(nn*)在直线4x-y+1=0上,有4an-an+1+1=0.即an+1=4an+1,得an+1+.所以是公比为4,首项为a1+的等比数列.an+4n-1,故有an=4n-1-答案:an=4n-1-,【补偿训练】已知在数列an中,an+1=an(nn*),且a1=4,则数列an的通项公式an=_.,【解析】由an+1=an,得两边分别相乘,得,由a1=4,得an=.答案:,考向二数列求和(压轴题型考点)【典例】1.(2019洛阳一模)已知sn是非零数列an的前n项的和,且sn=2an-1,则s2020等于()a.1-22019b.22020-1c.22019-1d.1-22020,【解析】选b.因为sn=2an-1,所以s1=1,且sn=2(sn-sn-1)-1,即sn=2sn-1+1,得sn+1=2(sn-1+1),由此可得数列sn+1是首项为2,公比为2的等比数列,得sn+1=2n,即sn=2n-1,所以s2020=22020-1.,2.已知函数则a1+a2+a3+a100=()a.0b.100c.-100d.10200,【解析】选b.由题意,a1+a2+a3+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-(99+100)+(101+100)=-(1+2+99+100)+(2+3+100+101)=-1+101=100.,3.已知sn为数列an的前n项和,且a1=1,则s2021=_.,【解析】由anan+1=3n,得an-1an=3n-1(n2),所以=3(n2),则数列an的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列,又a1=1,a1a2=3,所以a2=3,所以s2021=31011-2.答案:31011-2,【题眼直击】,【拓展提升】分类讨论思想在数列求和中的应用(1)当数列通项中含有(-1)n时,在求和时要注意分n为奇数与偶数处理.(2)对已知数列满足=q,在求an的前n项和时分奇数项和偶数项分别求和.,【变式训练】1.数列an的前n项和为sn,a1=2,sn=an+1,bn=log2an,则数列的前n项和tn=_.,【解析】a1=2,sn=an+1,n2时,sn-1=an,两式作差,得an=an+1-an,化简得=2,检验:当n=1时,s1=a1=a2,即a2=4,=2,所以数列an是以2为首项,2为公比的等比数列;an=2n,bn=log2an=n,前n项和tn=答案:,2.若数列an的各项均为正数,前n项和为sn,且a1=1,sn+1+sn=(nn*),则a25=_.,【解析】因为sn+1+sn=(nn*),所以sn+sn-1=(n2),所以sn+1+sn-sn-sn-1=,所以an+1+an=,所以an+1-,所以a2-=-2,解得a2=-1,a2=-1-(舍去),所以a3-,解得a3=,a3=(舍去),a4-解得a4=,a4=-(舍去),于是可以猜,想,a25=.答案:,考向三数列与其他知识的综合问题(压轴题型考点)【典例】1.设曲线y=2020 xn+1(nn*)在点(1,2020)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=log2020 xn,则a1+a2+a2019的值为()a.2020b.2019c.1d.-1,【解析】选d.因为y=2020(n+1)xn,所以切线方程是y-2020=2020(n+1)(x-1),所以xn=,所以a1+a2+a2019=log2020(x1x2x2019)=log2020=log2020=-1.,2.(2019潍坊二模)已知函数f(n)=n2cos(n),且an=f(n),则a1+a2+a100=()a.0b.100c.5050d.10200,【解析】选c.a1+a2+a3+a100=-12+22-32+42-992+1002=(22-12)+(42-32)+(1002-992)=3+7+199=5050.,3.在数列an中,a1+=2n-1(nn*),且a1=1,若存在nn*使得ann(n+1)成立,则实数的最小值为_.,【解析】方法一:依题意得,数列的前n项和为2n-1,当n2时,=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1,且=21-1=1=21-1,因此=2n-1(nn*),.记bn=,则bn0,=1,bn+1bn,数列bn是递增数列,数列bn的最小项是b1=.依题意得,存在nn*使得=bn成立,即有b1=,的最小值是.,方法二:由方法一知an=n2n-1,因为ann(n+1),所以n2n-1n(n+1),所以,由方法一知,当n=1时,有最小值,所以,所以最小值为.答案:,【题眼直击】,【拓展提升】数列与不等式的交汇多为不等式恒成立与证明和形式的不等式,在求解时要注意等价转化即分离参数法与放缩法的技巧应用.,【变式训练】1.已知等差数列an的前n项和为sn,a1=-9,a2+a3=-12,则使sn取得最小值时n的值为()a.2b.4c.5d.7,【解析】选c.因为a2+a3=2a1+3d=-18+3d=-12,解得d=2,从而有sn=-9n+2=n2-10n=(n-5)2-25,所以当n=5时,sn最小.,2.已知数列an满足1+log3an=log3an+1(nn*),a2+a4+a6=9,则(a5+a7+a9)=()a.-b.c.-5d.5,【解析】选c.由1+log3an=log3an+1(nn*)得an+1=3an(