广东省仲元中学等七校联合体2020届高三数学冲刺模拟考试试题 理（含解析）

广东省仲元中学等七校联合体2020届高三数学冲刺模拟考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题，分别求得集合A和B，再求其交集即可.【详解】由题，对于集合A，所以集合 对于集合B， ，所以集合 所以 故选C【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题.2.已知复数z满足（i为虚数单位），则复数Z在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先解出复数并化简，找出复数z在复平面内对应的点，然后判断所在象限即可.【详解】解：由，得所以复数z在复平面内对应的点为，在第一象限故选：A【点睛】本题考查了复数的乘数法运算，复数的几何意义，属于基础题.3.已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如表对应数据根据表中数据可得回归方程 ，其中，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（ ）万元123451015304550A. 60B. 63C. 65D. 69【答案】B【解析】【分析】根据表中数据求出，然后根据线性回归方程中系数的求法得到，进而得到回归方程，然后求出当时的函数值即为所求【详解】由表中数据可得，又回归方程中，回归方程为当时，所以可估计当投入6万元广告费时，销售额约为63万元故选B【点睛】本题考查线性回归方程的求法和其应用，考查计算能力和应用意识，解题的关键是求出系数，属于基础题4.给出下列说法：“”是“”的充分不必要条件；定义在上的偶函数的最大值为30；命题“”的否定形式是“”其中正确说法的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】对于，利用充分不必要条件的定义判读其正确性，对于，利用偶函数的定义求得参数的值，结合二次函数的性质，求得其最大值，得出其正确性，对于，应用特称命题的否定形式，判断其是否正确，即可得结果.【详解】对于，当时，一定有，但是当时，所以“”是“”的充分不必要条件，所以正确；对于，因为为偶函数，所以，因为定义域为，所以，所以函数的最大值为，所以正确；对于，命题“，”的否定形式是“，”，所以是错误的；故正确命题的个数为2，故选C.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题个数的问题，涉及到的知识点有充分必要条件的判断，偶函数的性质，含有一个量词的命题的否定，考查的都是基础.5.已知a、b、c分别是ABC的内角A、B、C的对边，若，则的形状为（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】【分析】将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B的范围，可得三角形形状.【详解】因为在三角形中，变形为由内角和定理可得化简可得： 所以 所以三角形为钝角三角形故选A【点睛】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题.6.在正方体中，分别是的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题，AD的中点为M，易证，即角为所求角，利用余弦定理可得答案.【详解】在正方体中，取AD的中点为M，连接ME，设正方体的边长为1因为在正方体中，F点为的中点，M点为AD的中点，所以与CM平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以所以异面直线所成角也就是所成的角所以 所以 故选D【点睛】本题考查了立体几何中异面直线的夹角问题，平移直线到相交是解题的关键，属于较为基础题.7.函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数解析式代值进行排除即可.【详解】解：由，得，又，结合选项中图像，可直接排除B，C，D故选：A【点睛】本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.8.九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意知：，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【详解】解：由题意知：，设，则在中，列勾股方程得：，解得所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为故选：C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.9.已知如图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的棱的长度中，最大的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由三视图可知该几何体是一个四棱锥，分别求出其各棱长，即可确定结果.【详解】由三视图可知该几何体一个四棱锥，其直观图如图所示，其中，；，所以最长的棱的长度为.故选B【点睛】本题主要考查几何体的三视图，根据三视图还原几何体即可，属于常考题型.10.若，二项式的展开式中项的系数为20，则定积分的最小值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】由二项式定理展开项可得，再利用基本不等式可得结果.【详解】二项式的展开式的通项为当时，二次项系数为 而定积分 当且仅当时取等号故选B【点睛】本题考查了二项式定理，定积分和基本不等式综合，熟悉每一个知识点是解题的关键，属于中档题.11.已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为，则=（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】分别由椭圆和双曲线的定义表示出AB和BC的长，再利用勾股定理化简可得结果.【详解】如图由题，设椭圆的长半轴为，双曲线的半实轴为，根据椭圆和双曲线定义： 可得 设 在直角三角形ABC中，由勾股定理可得 即 即2故选B【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合，主要考查了定义以及离心率，熟悉定义和性质是解题的关键，属于中档偏上题目.12.已知函数，当时，的取值范围为，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求导分析函数在时的单调性、极值，可得时，满足题意，再在时，求解的x的范围，综合可得结果.【详解】当时，令，则；，则，函数在单调递增，在单调递减.函数在处取得极大值为，时，的取值范围为，又当时，令，则，即，综上所述，的取值范围为.故选C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，且，则_【答案】 【解析】由题得,故填.14.已知定义在R上的函数满足：函数的图象关于点（1，0）对称，且时恒有，当时，求 _【答案】【解析】因为函数的图象关于点对称，所以的图像关于原点对称，所以函数是奇函数，因为时恒有，所以=故填1-e.15.已知关于实数x，y的不等式组构成的平面区域为，若，使得恒成立，则实数m的最小值是_【答案】【解析】分析】由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可，再由表示平面区域内的点与定点距离的平方，因此结合平面区域即可求出结果.【详解】作出约束条件所表示的可行域如下：由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可；令目标函数，则目标函数表示平面区域内的点与定点距离的平方，由图像易知，点到的距离最大.由得，所以.因此，即的最小值为37.故答案为37【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需分析清楚目标函数的几何意义，即可结合可行域来求解，属于常考题型.16.在中，内角的对边分别为且的外接圆半径为1，,若边BC上一点D满足，且，则的面积为_【答案】【解析】ABC外接圆半径R为1，由正弦定理，可得：sinA=，边BC上一点D满足BD=3DC，且BAD=90，A=120，CAD=30，BD=a=，CD=a=，如图，由正弦定理可得：，所以所以故填.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列为正项等比数列，满足，且构成等差数列，数列满足（）求数列的通项公式；（）若数列的前n项和为，数列满足，求数列的前n项和【答案】（） ， ；（）【解析】【分析】()先设等比数列的公比为q(q)，根据，且构成等差数列，求出q，即可得出的通项公式，再由，可得出的通项公式；()先由等差数列的前项和公式求出，再由裂项相消法求出即可.【详解】解：()设等比数列的公比为q(q)，由题意，得 解得或（舍）又所以 () ，【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，以及求数列的前项和，熟记等差数列与等比数列的通项公式即可求解，属于常考题型.18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面PCD平面ABCD，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上的一个动点（）求证：平面平面PBC；（）设二面角的平面角为，试判断在线段AB上是否存在这样的点F，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（）见证明；（） 【解析】【分析】（）根据面面垂直的判定定理即可证明结论成立；（）先证明，两两垂直，再以为原点，以，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，用表示出平面的法向量，进而表示出，由，即可得出结果.【详解】解：（） 四边形是正方形，.平面 平面平面平面，平面.平面，. ，点为线段的中点，.又，平面.又平面，平面 平面. （）由（）知平面，平面.在平面内过作交于点，故，两两垂直，以为原点，以，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.因为，.平面， 则，又为的中点， 假设在线段上存在这样的点，使得,设，设平面的法向量为， 则，令，则，则 平面，平面的一个法向量,则.，解得，【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理，以由二面角的大小求其它的量，熟记面面垂直的判定定理即可证明结论成立；对于空间角的处理，常用空间向量的方法，属于常考题型.19.随着节能减排意识深入人心以及共享单车在饶城的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：每周使用次数1次2次3次4次5次6次及以上男4337830女6544620合计1087111450（1）如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成列表（见答题卡），并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关？（2）每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户求抽取的4名用户中，既有男生“骑行达人”又有女“骑行达人”的概率；为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X，求X的分布列及数学期望附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求观测值公式中的基本量，再代入公式即可. (2)第（2）问第1小问，直接利用对立事件的概率公式解答，第（2）小问，根据二项分布，写出分布列求出期望.试题解析：（1）由图中表格可得列联表如下：不喜欢骑行共享单车喜欢骑行共享单车合计男104555女153045合计2575100 将列联表中的数据代入公式计算得， 所以在犯错误概率不超过的前提下，不能认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关 （2）视频率为概率，在我市“骑行达人”中，随机抽取名用户，该用户为男“骑行达人”的概率为，女“骑行达人”的概率为抽取的名用户中，既有男“骑行达人”，又有女“骑行达人”的概率为； 记抽出的女“骑行达人”人数为，则由题意得，（）， 的分布列为 01234 的分布列为0500100015002000所以，所以的数学期望元 20.已知椭圆的离心率为，焦点分别为，点P是椭圆C上的点，面积的最大值是2（）求椭圆C的方程；（）设直线与椭圆C交于M，N两点，点D是椭圆C上的点，O是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由【答案】（） （）见解析【解析】【分析】（）由题意得到的方程组，求出的值，即可得出椭圆方程；（）当直线的斜率不存在时，易求出四边形的面积；当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立直线与椭圆方程，结合判别式和韦达定理，可表示出弦长，再求出点到直线的距离，根据和点在曲线上，求出的关系式，最后根据，即可得出结果【详解】解：（）由解得 得椭圆的方程为. （）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程 ， 点到直线的距离是 由得因为点在曲线上，所以有整理得 由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为 由得, 故四边形的面积是定值，其定值为【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及椭圆中的定值问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，计算量较大，属于常考题型.21.设函数（k为常数，e=2.71828为自然对数的底数）（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在内存在三个极值点，求实数k的取值范围【答案】(1) 的单调递减区间为，单调递增区间为（2）. 【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导，再求函数的单调区间. (2)第（2）问，对k进行分类讨论，求出每一种情况下函数的单调性，再分析函数在内存在三个极值点的条件从而得到实数k的取值范围.试题解析：(1) 函数的定义域为. 由可得，所以当时，；当时，. 故的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）由（1）知，当时，函数在内单调递减，在内单调递增，故在内仅存在一个极值点；当时，令，依题函数与函数，的图象有两个横坐标不等于2的交点.，当时，则在上单调递减， 当时，则在上单调递增；而所以当即时，存在使得，且当时，当 ，当时，当时，此时存在极小值点和极大值点；同理，当即时，存在使得，此时存在极小值点和极大值点.综上，函数在内存在三个极值点时，实数的取值范围为. 点睛：本题的难点在第（2）问，主要是对函数的分析，把它的图像和性质分析清楚了，原命题自然分析清楚了.解答数学问