三年高考（2020）高考数学试题分项版解析 专题14 与数列相关的综合问题 理（含解析）

专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.数列求和掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法掌握2020课标全国,12;2020课标全国,17解答题2.数列的综合应用能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,抽象出数列的模型,并能用有关知识解决相应的问题掌握2020山东,19;2020福建,8;2020重庆,12选择题解答题分析解读1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等.2020年高考全景展示1【2020年浙江卷】已知成等比数列，且若，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令则，令得，所以当时，当时，因此， 若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如2【2020年浙江卷】已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为_【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.3【2020年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，.（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明.【答案】()，；()（i）.（ii）证明见解析.【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得 （II）（i）由（I），有，则.（ii）因为，裂项求和可得.详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II）（i）由（I），有，故.（ii）因为，所以.点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4【2020年江苏卷】设，对1，2，n的一个排列，如果当s0时，所以单调递减，从而100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A440B330C220D110【答案】A【解析】试题分析：由题意得，数列如下：则该数列的前项和为要使，有，此时，所以是之后的等比数列的部分和，即，所以，则，此时，对应满足的最小条件为，故选A.【考点】等差数列、等比数列的求和.【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.2.【2020浙江，6】已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4 + S62S5”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由，可知当，则，即，反之，所以为充要条件，选C【考点】 等差数列、充分必要性【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故为充要条件3.【2020山东，理19】已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2（）求数列xn的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.【答案】(I)（II）【解析】试题分析：(I)依题意布列和公比的方程组.（II）利用梯形的面积公式，记梯形的面积为.求得，应用错位相减法计算得到试题解析：(I)设数列的公比为，由已知.由题意得，所以，因为,所以，因此数列的通项公式为（II）过向轴作垂线，垂足分别为,由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以+=+ 又+ -得= 所以【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.4.【2020北京，理20】设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数（）若，求的值，并证明是等差数列；（）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列【答案】（）详见解析；（）详见解析.【解析】试题分析：（）分别代入求，观察规律，再证明当时，所以关于单调递减. 所以，即证明；（）首先求的通项公式，分三种情况讨论证明.（）设数列和的公差分别为，则.所以 当时，取正整数，则当时，因此.此时，是等差数列.当时，对任意，此时，是等差数列.当时，当时，有.所以 对任意正数，取正整数，故当时，.【考点】1.新定义；2.数列的综合应用;3.推理与证明.【名师点睛】近年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生.5.【2020天津，理18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（）求和的通项公式；（）求数列的前n项和.【答案】 （1）.（2）.【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.试题解析：（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.由，可得 .由，可得 ，联立，解得，由此可得.所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.（II）解：设数列的前项和为，由，有，故，上述两式相减，得 得.所以，数列的前项和为.【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.6.【2020浙江，22】（本题满分15分）已知数列xn满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）证明：当时，（）0xn+1xn；（）2xn+1 xn；（）xn【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析【解析】试题分析：（）由数学归纳法证明；（）由（）得， 构造函数，由函数单调性可证； （）由，得，递推可得试题解析：（）用数学归纳法证明：当n=1时，x1=10假设n=k时，xk0，那么n=k+1时，若，则，矛盾，故 因此，所以，因此（）因为，所以得，故，【考点】不等式证明【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明7.【2020江苏，19】 对于给定的正整数,若数列满足 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”. （1）证明：等差数列是“数列”; （2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，从而，当时，所以，因此等差数列是“数列”.（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，当时，当时，.由知，将代入，得，其中，所以是等差数列，设其公差为.在中，取，则，所以，在中，取，则，所以，所以数列是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明为等差数列的方法：(1)用定义证明：为常数）；(2)用等差中项证明：；(3)通项法： 为的一次函数；(4)前项和法： 2020年高考全景展示1.【2020高考浙江理数】如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且，（）.若（ ）A是等差数列 B是等差数列C是等差数列 D是等差数列【答案】A【解析】试题分析：表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，作差后：，都为定值，所以为定值故选A考点：等差数列的定义【思路点睛】先求出的高，再求出和的面积和，进而根据等差数列的定义可得为定值，即可得是等差数列2.【2020年高考四川理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )（参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg20.30）（ A）2020年 （B）2020年 （C）2020年 （D）2021年【答案】B【解析】试题分析：设第年的研发投资资金为，则，由题意，需，解得，故从2020年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.考点：等比数列的应用.【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论3. 【2020高考新课标2理数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如 （）求；（）求数列的前1 000项和【答案】（）， ；（）1893.【解析】试题分析：（）先用等差数列的求和公式求公差，从而求得通项，再根据已知条件表示不超过的最大整数，求；（）对分类讨论，再用分段函数表示，再求数列的前1 000项和试题解析：（）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（）因为所以数列的前项和为考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.于是，BmAmdm211，Bm1minam，Bm2.故dm1Am1Bm1220，与dm11矛盾所以对于任意n1，有an2，即非负整数列an的各项只能为1或2.因为对任意n1，an2a1，所以An2.故BnAndn211.因此对于任意正整数n，存在m满足mn，且am1，即数列an有无穷多项为1.考点定位：本题考查新定义信息题，考查学生对新定义的理解能力和使用能力。【名师点睛】本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，题目给出新的定义：an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1，an2，的最小值记为Bn，dnAnBn ,对于数列an给出这样一个新的定义，首先要理解定义，题目的第一步，前一项的最大值为2，第一项后面的项的最小值为1，即，则，同理求出，通过第一步的计算应用新定义，加深对定义的认识进入第二步就容易一些了，第二步证明充要条件、第三步的证明就是在第一步的基础上的深化研究，毕竟是一个新的信息题，在一个全新的环境下进行思维，需要在原有的知识储备，还需要严密的逻辑思维和分析问题与解决问题的能力，有得分的机会，但得满分较难.4. 【2020高考山东理数】（本小题满分12分）已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 （）求数列的通项公式；（）令 求数列的前n项和Tn.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）根据及等差数列的通项公式求解；（）根据（）知数列的通项公式，再用错位相减法求其前n项和.（）由（）知，又，得，两式作差，得所以考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.5.【2020高考江苏卷】（本小题满分16分）记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设,求证：.【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析【解析】试题分析：（1）根据及时定义，列出等量关系，解出首项，根据等比数列通项公式写出通项公式（2）数列不等式证明，一般是以算代征，而非特殊数列一般需转化到特殊数列，便于求和，本题根据子集关系，先进行放缩为一个等比数列，再利用等比数列求和公式得（3）利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设则因此由，因此中最大项必在A中，由（2）得，（2）为（3）搭好台阶，只不过比较隐晦，需明晰其含义.试题解析：（1）由已知得.于是当时，.又，故，即.所以数列的通项公式为.（2）因为，所以.因此，.（3）下面分三种情况证明.若是的子集，则.若是的子集，则.若不是的子集，且不是的子集.令，则，.于是，进而由，得.设是中的最大数，为中的最大数，则.由（2）知，于是，所以，即.又，故，从而，故，所以，即.综合得，. 考点：等比数列的通项公式、求和【名师点睛】本题三个难点，一是数列新定义，利用新定义确定等比数列首项，再代入等比数列通项公式求解，二是利用放缩法求证不等式，放缩目的，是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列性质，以算代征，三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用.6. 【2020高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项()设，求证：是等差数列；()设 ，求证：【答案】（）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先根据等比中项定义得：，从而，因此根据等差数列定义可证：（） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简，再利用裂项相消法求和，易得结论.试题解析：（I）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.（II）证明： 所以.考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和【名师点睛】分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和7. 【2020高考新课标3理数】已知数列的前n项和，其中（I）证明是等比数列，并求其通项公式；（II）若 ，求【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）首先利用公式，得到数列的递推公式，然后通过变换结合等比数列的定义可证；（）利用（）前项和化为的表达式，结合的值，建立方程可求得的值（）由（）得，由得，即，解得考点：1、数列通项与前项和为关系；2、等比数列的定义与通项及前项和为【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解8. 【2020年高考北京理数】（本小题13分） 设数列A： ， , ().如果对小于()的每个正整数都有 ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得，则 ；（3）证明：若数列A满足- 1（n=2,3, ,N）,则的元素个数不小于 -.【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）关键是理解