江苏省无锡市江阴市澄要片2023-2024学年八年级上学期期中联考数学试卷

2023-2024学年江苏省无锡市江阴市澄要片八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州成功举办，下列图形中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）如图，已知∠DAB＝∠CAB，添加下列条件不能判定△DAB≌△CAB的是（）A．∠DBE＝∠CBE B．∠D＝∠C C．DA＝CA D．DB＝CB3．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm4．（3分）到三角形的三边距离相等的点是（）A．三角形三条高的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点5．（3分）如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．35°6．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．10，15，18 C．，， D．6，8，107．（3分）如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长可能是（）A．6 B．7 C．8 D．98．（3分）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝72°，则∠COA的度数是（）A．63° B．65° C．75° D．84°9．（3分）已知如图，在6×5的网格中，点A、B在格点上，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．910．（3分）如图，将△ABC沿AC翻折得到△ADC，BD交AC于点E，F为CD中点，连接AF并延长交BC的延长线于点G，连接EF，若AB＝15，AE＝9，△ADF的面积为42，则△DEF的面积为（）A．26 B．24 C．21 D．15二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（3分）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）12．（3分）若直角三角形斜边长为6cm，则斜边上的中线长为cm．13．（3分）顶角为50°的等腰三角形的底角的度数为°．14．（3分）若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为．15．（3分）如图，OC是∠AOB的平分线，点P为OC上一点，且PD⊥OA，E为OB上一点，若PD＝2，则PE的最小值为．16．（3分）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是尺．17．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC各顶点均在网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为．18．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则AB＝；若D为AB上一点，作DE⊥BC，恰有AD＝DE，此时BD的值为．三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）如图，点E，F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，∠A＝∠D．（1）证明：△ABF≌△DCE；（2）若BC＝15，EF＝7，求BE的长．20．（8分）等腰三角形的周长为21cm．（1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；（2）若已知一边长为6cm，求其他两边长．21．（8分）作图：如图，△ABC中，∠A＝110°（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（1）试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到∠ABC两边的距离相等；（2）在（1）的条件下，连接CP，若∠ACP＝40°，则∠PBC的度数为°．（如需画草图，请在备用图上作答）22．（8分）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．（1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组，；（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数．23．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，D是AB边上一点（不与A，B重合），以CD为边作等腰△CDE，CD＝CE，且∠DCE＝100°，CB与DE交于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD＝BF时，求∠BFE．24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，连接DE．（1）求AD的长；（2）求DE的长．25．（10分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点P从A点出发，沿A﹣B﹣C的方向以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，设P的运动时间为t秒．（1）当点P运动7秒时，求△APC的面积；（2）当△APC为等腰三角形时，求t的值；（3）若沿着过点P的直线，能将CA折叠到CB上，直接写出此时BP的长为．26．（10分）已知如图，长方形ABCD中，AB＝5，P为BC上一个动点，BP＝m，点B关于直线AP的对称点是点E．（1）当m＝2时，若直线PE恰好经过点D，求此时AD的长；（2）若AD足够长，当点E到直线AD的距离不超过3时，求m的取值范围．

2023-2024学年江苏省无锡市江阴市澄要片八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州成功举办，下列图形中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；B、图形是轴对称图形，符合题意；C、图形不是轴对称图形，不符合题意；D、图形不是轴对称图形，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2．（3分）如图，已知∠DAB＝∠CAB，添加下列条件不能判定△DAB≌△CAB的是（）A．∠DBE＝∠CBE B．∠D＝∠C C．DA＝CA D．DB＝CB【分析】根据全等三角形的判定方法（SSS、SAS、AAS、ASA）解决此题．【解答】解：A．添加∠DBE＝∠CBE，根据三角形外角的性质，得∠D＝∠DBE﹣∠DAB，∠C＝∠EBC﹣∠CAB，那么∠D＝∠C，从而根据AAS判定△DAB≌△CAB，故A不符合题意．B．添加∠D＝∠C，根据AAS判定△DAB≌△CAB，故B不符合题意．C．添加DA＝CA，根据SAS判定△DAB≌△CAB，故C不符合题意．D．添加DB＝CB，无法判定△DAB≌△CAB，故D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．3．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．故选：B．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．4．（3分）到三角形的三边距离相等的点是（）A．三角形三条高的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答．【解答】解：到三角形的三边距离相等的点是：三角形三条内角平分线的交点．故选：B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．5．（3分）如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】根据“三线合一”可得BP平分∠ABC，可得∠PBC＝30°，根据∠CPE＝∠ACB﹣∠E即可作答．【解答】解：∵P是等边△ABC的边AC的中点，∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB，∴∠PBC＝30°，∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠E＝30°，∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°，故选：C．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，“三线合一”以及三角形外角的定义和性质等知识，掌握“三线合一”是解答本题的关键．6．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．10，15，18 C．，， D．6，8，10【分析】利用勾股数定义进行分析即可．【解答】解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；B、102+152≠182，不是勾股数，故此选项不合题意；C、，，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；D、62+82＝102，且都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…7．（3分）如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长可能是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】在AC上取AE＝AB＝5，然后证明△AEP﹣ABP，根据全等三角形对应边相等得到PE＝PB＝3，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解．【解答】解：在AC上截取AE＝AB＝5，连接PE，∵AC＝9，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，∴∠CAD＝∠BAD，在△APE和△APB中，，∴△APE≌△APB（SAS），∴PE＝PB＝3，∵4﹣3＜PC＜4+3，解得1＜PC＜7，∴PC取6，故选：A．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系；通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键﹒8．（3分）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝72°，则∠COA的度数是（）A．63° B．65° C．75° D．84°【分析】根据CP＝OC＝OA，可得∠P＝∠POC，∠OCA＝∠OAC，根据三角形的外角性质可知∠ACO＝∠P+∠POC＝2∠POC，进一步根据三角形的外角性质可知3∠POC＝∠AOB＝72°，即可求出∠POC的度数，进而求出∠COA的度数．【解答】解：∵CP＝OC＝OA，∴∠P＝∠POC，∠OCA＝∠OAC，∴∠ACO＝∠P+∠POC＝2∠POC，∵∠P+∠PAO＝3∠POC＝∠AOB＝72°，∴∠POC＝24°，∴∠COA＝180°﹣∠POC﹣∠AOB＝84°．故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．9．（3分）已知如图，在6×5的网格中，点A、B在格点上，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】分三种情况：当BA＝BC时；当AB＝AC时；当CA＝CB时，即可解答．【解答】解：如图：分三种情况：当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交正方形网格的格点于点C1，C2；当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交正方形网格的格点于点C3；当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交正方形网格的格点于点C4，C5，C6，C7，C8；综上所述：△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点的个数为8，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．10．（3分）如图，将△ABC沿AC翻折得到△ADC，BD交AC于点E，F为CD中点，连接AF并延长交BC的延长线于点G，连接EF，若AB＝15，AE＝9，△ADF的面积为42，则△DEF的面积为（）A．26 B．24 C．21 D．15【分析】根据折叠的性质得到AC⊥BD，BE＝DE，根据勾股定理得到BE＝DE＝＝12，根据三角形的面积公式得到AC＝14，求得CE＝AC﹣AE＝5，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵将△ABC沿AC翻折得到△ADC，∴AC⊥BD，BE＝DE，∵AB＝15，AE＝9，∴BE＝DE＝＝12，∵△ADF的面积为42，F为CD中点，∴△ACD的面积＝2×42＝84，∴，∴AC＝14，∴CE＝AC﹣AE＝5，∴S△CDE＝＝＝30，∴△DEF的面积＝S△CDE＝15，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（3分）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是CA＝FD．（只需写出一个）【分析】可选择添加条件后，能用SAS进行全等的判定，也可以选择AAS进行添加．【解答】解：添加CA＝FD，可利用SAS判断△ABC≌△DEF．故答案可为CA＝FD．【点评】本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一．12．（3分）若直角三角形斜边长为6cm，则斜边上的中线长为3cm．【分析】根据直角三三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求得答案．【解答】解：∵直角三角形斜边长为6cm，∴斜边上的中线长＝×6＝3（cm），故答案为：3．【点评】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．13．（3分）顶角为50°的等腰三角形的底角的度数为65°．【分析】根据等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：顶角为50°的等腰三角形的底角的度数＝＝65°，故答案为：65．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．（3分）若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为30．【分析】先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用面积公式求得面积．【解答】解：∵52+122＝132，∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，∴此三角形的面积为×5×12＝30．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．15．（3分）如图，OC是∠AOB的平分线，点P为OC上一点，且PD⊥OA，E为OB上一点，若PD＝2，则PE的最小值为2．【分析】根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，过点P作PE⊥OB，利用角平分线的性质，求出PE，就是PE的最小值．【解答】解：根据垂线的性质可知，当PE⊥OB时，PE的值最小，如图所示：过点P作PE⊥OB，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵PD＝2，∴PE＝PD＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，解题关键是理解PE的最小值就是点P到OB的垂线段的长度．16．（3分）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是8尺．【分析】利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可．【解答】解：设竿长为x尺，则门宽为（x﹣4）尺，门高（x﹣2）尺，门对角线是x尺，根据勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，整理得：x2﹣12x+20＝0，解得x＝2（舍去）或x＝10．则门高：10﹣2＝8．故答案为：8．【点评】本题考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键．17．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC各顶点均在网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为1．【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：如图所示：AC＝＝5．∵S△ABC＝AC•BD，S△ABC＝4×3﹣×1×2﹣﹣×1×3﹣1＝，∵×5×BD＝，∴BD＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了三角形的面积和勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出AC的长，此题难度一般．18．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则AB＝5；若D为AB上一点，作DE⊥BC，恰有AD＝DE，此时BD的值为．【分析】直接由勾股定理求出AB的长，过点C作CE⊥AB于点E，连接CD，利用等面积法求出CE的长，设BD＝x，则AD＝DE＝5﹣x，再根据等面积法即可求出BD的长．【解答】解：由勾股定理得，AB＝；过点C作CE⊥AB于点E，连接CD，则CE＝，设BD＝x，则AD＝DE＝5﹣x，∵，∴，解得x＝，∴BD＝，故答案为：5；．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，正确作出辅助线，利用等面积法求解是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）如图，点E，F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，∠A＝∠D．（1）证明：△ABF≌△DCE；（2）若BC＝15，EF＝7，求BE的长．【分析】（1）由“SAS”可证△ABF≌△DCE；（2）由全等三角形的性质可得BF＝CE，即可求解．【解答】（1）证明：在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS）；（2）解：∵△ABF≌△DCE，∴BF＝CE，∴BE＝CF，∵BC＝15，EF＝7，∴2BE＝8，∴BE＝4．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．20．（8分）等腰三角形的周长为21cm．（1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；（2）若已知一边长为6cm，求其他两边长．【分析】（1）设底边BC＝acm，则AC＝AB＝3acm，代入求出即可；（2）分类讨论，然后根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意．【解答】解：（1）如图，设底边BC＝acm，则AC＝AB＝3acm，∵等腰三角形的周长是21cm，∴3a+3a+a＝21，∴a＝3，∴3a＝9，∴等腰三角形的三边长是3cm，9cm，9cm；（2）①当等腰三角形的底边长为6cm时，腰长＝（21﹣6）÷2＝7.5（cm）；则等腰三角形的三边长为6cm、7.5cm、7.5cm，能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为6cm时，底边长＝21﹣2×6＝9；则等腰三角形的三边长为6cm，6cm、9cm，能构成三角形．故等腰三角形其他两边的长为7.5cm，7.5cm或6cm、9cm．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．21．（8分）作图：如图，△ABC中，∠A＝110°（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（1）试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到∠ABC两边的距离相等；（2）在（1）的条件下，连接CP，若∠ACP＝40°，则∠PBC的度数为10°．（如需画草图，请在备用图上作答）【分析】（1）分别作线段BC的垂直平分线以及∠ABC的平分线，交点即为点P．（2）由角平分线的定义可得∠ABP＝∠CBP，由PB＝PC可得∠PBC＝∠PCB，则∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，进而可得3∠PBC+40°+110°＝180°，即可得出答案．【解答】解：（1）如图，点P即为所求．（2）∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP+∠A＝180°，即3∠PBC+40°+110°＝180°，∴∠PBC＝10°．故答案为：10．【点评】本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．22．（8分）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．（1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组6，8，10，5，12，13；（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数．【分析】（1）根据常见勾股数解答即可．（2）先求出x2，y2，z2的值，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．【解答】解：（1）勾股数有6，8，10或5，12，13；故答案为：6，8，10；5，12，13；（2）∵x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，∴x2＝（m2﹣n2）2＝m4+n4﹣2m2n2，y2＝4m2n2，z2＝（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2，∴x2+y2＝（m4+n4﹣2m2n2）+4m2n2＝m4+n4+2m2n2＝z2，∴x、y、z是一组勾股数．【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数是解答此题的关键．23．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，D是AB边上一点（不与A，B重合），以CD为边作等腰△CDE，CD＝CE，且∠DCE＝100°，CB与DE交于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD＝BF时，求∠BFE．【分析】（1）由AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝100°﹣∠DCB，CD＝CE，根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ACD≌△BCE；（2）由△ACD≌△BCE，得AD＝BE，∠A＝∠CBE＝40°，而AD＝BF，则BE＝BF，所以∠BFE＝∠BEF＝70°．【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝100°，∴∠A＝∠CBA＝×（180°﹣100°）＝40°，∵∠DCE＝100°，∴∠ACD＝∠BCE＝100°﹣∠DCB，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝40°，∵AD＝BF，∴BE＝BF，∴∠BFE＝∠BEF，∵∠BFE+∠BEF+∠CBE＝180°，∴2∠BFE+40°＝180°，∴∠BFE＝70°．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明∠ACD＝∠BCE进而证明△ACD≌△BCE是解题的关键．24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，连接DE．（1）求AD的长；（2）求DE的长．【分析】（1）由等腰三角形三线合一的性质得出∠ADB＝90°，BD＝，在Rt△ABD中，由勾股定理得出AD的长；（2）由平行线的性质以及角平分线的定义得出DE＝AE，再由∠CAD+∠C＝∠ADE+∠EDC＝90°，推出DE＝CE，即可推出结果．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC，∴∠ADB＝90°，BD＝，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD＝＝＝8；（2）∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ADE，∴DE＝AE，∵∠CAD+∠C＝∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠EDC＝∠C，∴DE＝CE，∴DE＝AE＝CE，∴DE＝．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理以及等腰三角形的性质是解题的关键．25．（10分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点P从A点出发，沿A﹣B﹣C的方向以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，设P的运动时间为t秒．（1）当点P运动7秒时，求△APC的面积；（2）当△APC为等腰三角形时，求t的值；（3）若沿着过点P的直线，能将CA折叠到CB上，直接写出此时BP的长为．【分析】（1）求出PC长，由三角形面积公式即可求解；（2）分情况讨论，即可求解；（3）由相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理推出PB：PA＝BC：AC，即可求解．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC＝3，AB＝5∴BC＝4，当t＝7时，点P在BC上且BP＝2，∴CP＝2，∴△APC的面积为×2×3＝3；（2）当P在AB上