二次根式的基本定义

知识点一：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义注意理解：1、定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。根指数省略不写。不能从化简结果上判断，如4，0都是二次根式。2、被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。但前提条件是必须是大于或等于0.3、如果是给定的式子，a就是有意义的。、4、形如ba(a0)的式子也是二次根式，b与a是相乘关系，当b是分数时，写成假分数。5、式子a(a0)表示的是非负数。6、a+b(a0)和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。二次根式定义：【例1】下列各式，其中是二次根式的是_（填序号）变式练习：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、2、在、中是二次根式的个数有_个3、下列的式子一定是二次根式的是（）A-x-2 B xC x2+2D x2-24、式子： a； ； 1-x； x+2； -x； 5x2-1； a2+2 3b2中是二次根式的代号为（）ABCD【例2】若48n是正整数，最小的整数n是（）A6B3C48D2变式练习：1、已知： 20n是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（）A0B1C2D52、二次根式 50a是一个整数，那么正整数a最小值是 注意掌握：1、二次根式具有双重非负性。a(a0)，a02、如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数，分式中的分母不为0.3、如果式子中含有零指数幂或负整数指数幂，有意义的条件是，度数不为0.【例3】来式子2x+1x-1有意义的x的取值范围是 源:学*科*网Z*X*X*K变式练习：1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ） A、x3 B、x3 C、 x4 D 、x3且x42、使代数式有意义的x的取值范围是 3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例4】若y=+2009，则x+y= 变式练习：1、若，则xy的值为（ ）A1 B1 C2 D32、若x、y都是实数，且y=，求xy的值3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。4、若实数a、b、c满足b-2a+3 +|a+b|= c-4+ 4-c，则2a-3b+c2的值为 5、已知y=x2-9+-x2+9x+3，求2x+y的算术平方根二次根式整数部分小数部分：已知a是整数部分，b是 的小数部分，求的值。1、若的整数部分是a，小数部分是b，则 。2、若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.二次根式性质：1. 非负性：是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到 2. 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： 3. 注意：（1）字母不一定是正数（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4. 公式与的区别与联系 （1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数 （2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数 （3）和的运算结果都是非负的【例5】若则 变式练习：1、若，则的值为 。2、已知为实数，且，则的值为（ ）A3B 3C1D 13、已知直角三角形两边x、y的长满足x240，则第三边长为.4、若与互为相反数，则。【例6】如果（x-2）22x，那么x取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx2【例7】化简二次根式的结果是（A） (B) (C) (D)变式练习：1、把二次根式化简，正确的结果是（ ）A. B. C. D. 2、已知0a1，化简a2+1a2+2 +a2+1a2-2 = 3、若化简1-x-x2-8x+16的结果为2x-5，则x的取值范围是（ ）A、任意实数 B、1x4 C、x1 D、x44、若实数a、b、c在数轴的位置，如图所示，则化简 （a+c)2|bc|= 5、已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： （a+1)2+2 (b-1)2-|a-b|6、已知，x-1=2,求x2-8x+16-4x2-4x+1的值。最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式,（被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，都是1）；分母中不含根号 化最简根式时注意：（1）被开方数是带分数的要化成假分数。（2）被开方数学是小数的要化成分数。（3）被开方数中含有能开方的多项式时，要先因式分解再开方。同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【例7】在根式1) ，最简二次根式是（ ） A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）ABCD3、下列根式不是最简二次根式的是()A.B.C.D. 【例8】下列根式中能与是合并的是( )A. B. C.2 D. 【例9】将a-1a根号外的因式移入根号内的结果是 练习：化简：363，0.72，32x3y5(y0)，25a4+50a4b分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： 单项二次根式：利用来确定，如：，与等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，分别互为有理