现代控制理论第3版刘豹唐万生课后习题答案.doc

学习-好资料 现代控制理论参考答案 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 )sU(+-K1K?Ks1pK?Ks+1ps+-1Kb2sJsJ21?(-Kns)图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： Kpxxxx+K1K1236?1?b1J?)s(U12-xK1nKp3+x5K?-Kp-+-JK4?s图1-30双输入-双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下： 更多精品文档学习-好资料 ?x?x21K?bx?x2 3J2KKK1?ppnx?x?xx?x? 65334JJJJ 1111?x?x34?Xx?Kx?K61513KKK?111u?x?x?x? 661KKKppp?xy?y?(s) 令，则1 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为001000?K0?xxb?000001?1 ?J0?x?2?x?2KK2K1?0?ppn?00?xx? ?JJJJ3u?3?0111?x000010?x4?04?x?0K?K000K5x?111?5KKx? ?K?11?6?000?0? xp? ?KK6?ppx?1?x?2?x?30000y?10?x?4?x5?x?6 R)u(t和以电阻为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，所示。1-28有电路如图1-2以电压2 上的电压作为输出量的输出方程。 更多精品文档学习-好资料 L1L2R1 i2i1-CUcR2U-电路图1-28 图 x?,ux,i?xi?xRy? 解：由图，令，输出量3212c122R11?1uxx?x? 311LLL?111u?xLx?xR31111R1?2?xx?x?2 32xRx?x?L 既得 有电路原理可知： LL2322222?11?xx?Cx?x?x?x321 213CCxRy?22 写成矢量矩阵形式为：R1?1?0?1?。? LLx?x? ?11L11R1?1。?2u0xx?0? ?22?LL。?22?0x?x?113?3 ?0? ?CC?x?1?x0y?R0?22?x?3 yuyu 所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。的系统，其模拟结构图如图，两输出两输入1-4 ，1-301122 更多精品文档学习-好资料 u b?1y1+1-aa-12aa165-+ub+?22+y-2a3a4双输出系统模拟结构图双输入-图1-30 解：系统的状态空间表达式如下所示：000100xx?11?a0?aa?0bxx?621122u?100100xx?33?a0?a?ab0xx?354244 x?1?x?200y?11?x3?x?40s0?1?aa0as?621?)?A(sI ?1s0?1?aaa0?3541?s01?000?aa0s?a0b?21611?(sIA)BW(s)? ux?01?s100?0aaab0?54321?s00?100?a?aas00b?21611?010?(Ws)C(sIA)B1 uy?0s1?1?00?0aaab0?5432 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述.?uu?3y?5y2()?y7?yu3?2 列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 更多精品文档学习-好资料 .y，x?y，x?yx ，则有解：令312。?x0010x?11。?000?ux1?x?22。?1x7?5?3?x?33 ?x?1?x3y?12?2?x?3相应的模拟结构图如下： 13+y+u+?2-x53x2x17 6(s?1)?W(s),试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图 1-6 （2）已知系统传递函数 2)3)(s?s(s2101?341)?6(s? 33?)W(?s?解： 22s2s)?s?)(s?3)3(s?3s(s?2xx000?31?11?xx1000?3?22u?xx10?020?33?xx10000?44 x?1?x110?2y?4?3? ?x33?3?x?41-7 给定下列状态空间表达式 更多精品文档学习-好资料 010x0x?11?u?xx?1?2?30?22?2x?x3?11?33 x?1?x001y?2?x?3（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解： 0s?1?W(s)?(sI?A)?2s?03）（2 ?3s?1?1?2 ?2(s?3)?(s?3s?3)(s?2)(s?1)ssI?A?( ?2?s?3?s30?1?1?2(s?3)s(sI?A)s?3)0 ? )1)(s?3)(s?2(s?)2)(s?1(s?1?s?5s?2?0s?3?30s?1?1B?2(s?3)s(s?3)0)W(s?(sI?A)1? ux(s?3)(s?2)(s?1)?s?2)52(s?1)(s?1s? )?3(s?1?)s?3s(? )?)(s1?3)(s?2(s?)s?3(2s?1)(?(s?3)?1?1?s(s1?sI?A)3)B?00)W(s?C(? uy(s?3)(s?2)(s?1)?)?3?1)(s(2s ?(2s?1)? (s?2)(s?1) 1-8 求下列矩阵的特征矢量 100?A?230）3 （?67?12?01?32?3?A02?I?6?11?6? A 解：的特征方程 ?6?127? 更多精品文档学习-好资料 ?,3?2?1, 解之得：31210p0p?1111?3?02?pp1?时， 当?21211?pp?6?12?7?3131 p1?11?P?p?1pp?p?1p? 令 解得： 得 ?21111213111?1p?311p?11?1P?p1?p ）（或令，得?21111?1p?31 p10p0?1212?pp?30222? 当 时， ?22221?p?7?6p?12?3232p2?121?4?Pp2p?ppp?2p,? 解得： 令得 ? 22212123222122?1p?32?1p?12?1p?2?Pp? （或令，得）?12222?1?p? 322?pp001?1313?p230?3p?3? 当时，?23231?pp?12?7?6?33331p?13?3?P?p?1?pp?3p,3?pp 得 令 解得： ?2331323131333?3p?33 1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解） 更多精品文档学习-好资料 41?2x31x?11?u7xx2?102?22?3513xx1?33（2） x?1y120?1?x?2y110?2?x?3?4?12?2? I?A?)(?3)?20?(1?1 的特征方程 解：A?311?,1?3 31,241?2pp?1111?1320pp?3?时，当 ?21211?p3p1?1?3131p1?11?P?p?1p?p?p1p? 令 解之得 得 ?21111213111?1p?31 41?2pp1?1111?1p21?p0?33?时，当 ?21212?1pp1?13?3131p1?12?P?p?0pp?p?p?1,1p? 得 令 解之得 ?2223212222212?0p?3241?2pp?1313?1pp0?21?时， 当?23233?pp?131?3333p0?13?p,p2?p?02pP?1p? 令 解之得 得 332313?23333?1p?33 1100?12?1?21?T1T?012 ?11?0110? 更多精品文档学习-好资料 0?12318?1?1?27?11?2?T5B?2 ?43?01?135? 110?120314?CT?102? ?010312?110? 约旦标准型 3108?1?u20?5xx?03?413?00 ?314?y?x?203? 1-10 已知两系统的传递函数分别为W(s)和W(s) 21 1111? 4ss?2s?3s?1?s)W(W(s)? ?1?1s2100? 1?s?2s?试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 1111? 2?s?s?31s?4s?W(s)?W(s)W(s)?1s?11200? ss?2?1? 2?7ss1?5? )(s?4)(s?s?2)(s31)(s?)?3(?11? 2?)(s?2(s?1)(1s?)? （2）并联联结1111? 42?3s1s?ss?s(s(?W(s)W)?W) ?11s?1100? 1?s2s?1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为 更多精品文档学习-好资料 11?01? ss?1?)W(s?(s)W ?11210?0 2?s? 求系统的闭环传递函数 解：1111?01? s1s?1ss?)?(Ws)W(s ?1121110?00 2s?2s?1211s?01? s1ss?s?1?(s)?II?W(s)W? ?3s?1110?00 2s?2s?1s1?s?1?s3? 1?s )s?2?3s(ss2s?1?)(sWI?(?s)W ? 2s?212s?3s?00 ?1s?3s?1s?311?1s? sss?1?s2?1?sW?(s)W(sW(s)?)W(I? 12s?1123s?s0 21?s?s? 11s?s?31? 1?s)32(s?)(2s?1)ss(s?s? 113s?00 ?3s?s?1? 、2的传递函数阵分别为1-22（第2版教材） 已知如图所示的系统，其中子系统11-1111?01? s1s?sW()?(s)W ?11210?2? 2?s? 求系统的闭环传递函数 解：1111?01? s11s?s?s?)W?W(s)(s ?111110?22? 2?s?2s?2111s?01? 1s?s1ss?(?s)W(I?Ws) ?31s?1110?22? 2?s?s2? 更多精品文档学习-好资料 s?31?)s(s?1 ss?2?1?)W(s)(I?Ws ? 2?s1122s?5s?2? s?1?111s?3?)1s?s( sss?2s?2?1?W(s)(s)?I?W(W(s)?s)W? s1?211122?5s?s?s?2 s?21s?s?32s?31? )?1s(s2ss(s?2)s(s?2)(s?2? ? 22(s?2)212s?5s?2? ?s?1ss?s?21?2?1?s?81)(3s(s? 2222?5sss?2)(?5s?2)s(?232?s6s?6s?s? 222(s?2)(s)?5s?25s?s? 已知差分方程为1-12 y(k?2)?3y(k?1)?2y(k)?2u(k?1)?3u(k) 试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为 1?b ）（1?1? 1： 解法2z?311?W(z)? 2?3z?2z?z1z?2?101?x(k?1)?x(k)?u(k) ?0?21?x(1k(k)?)1y 解法2： x(k?1)?x(k)21x(k?1)?2x(k)?3x(k)?u 221y(k)?3x(k)?2x(k)21100?x(k?1)?x(k)?u(k)?2?31 ?x(k)?)32y(k1111?1?11?TBT?T? 所以 使得求T, 得 ?01011? 更多精品文档学习-好资料 11?1?40110?1ATT? ?01?2?301?5?1?1?1?1?332?CT ?01?所以，状态空间表达式为 ?401?z(k?1)?z(k)?u(k)?5?11 ?z(k)3?1y(k)? 第二章习题答案 At。用三种方法计算以下矩阵指数函数 2-4 e11?（2） A= ?41?I?A?0 令 解：第一种方法： ? ?1?12?41?0?0?。则 ，即 ?1?4?31 ，求解得到21p?11?3?p 时，特征矢量当?11p?21p3p11?1111?p?Ap? ，得由?111pp341?2121p?p?3p1?112111p? 即，可令?14p?p?3p2?212111p?12?1p? 时，特征矢量当?22p?22p?p11?1212?p?Ap? 由，得?222p?p14?2222 更多精品文档学习-好资料 p?p?p1?122212p? 即，可令?24p?p?p2?22221211? 11?241?T?T?，则 ?1122? ?42111111?tt?33tt?ee?e?e?t311? 0e?422244At?e? ?t?112?211e0?t?3t3t?te?eee ?2?242? 第二种方法，即拉氏反变换法： s?1?1?sI?A? ?4s?1?s?11?11?AsI ? ?1s?41?s?3s?s?11? ?1ss?3?3s?1s? ?1?s4? ?1?3ss?3s1s?111111? 14s?3s?s?312s? ?11111? s32s?s?1?3s?1?1111?tt?3t3?te?ee?e? 42421?1?At?sI?LeA? ?11?t?33t?tte?eee ?22 第三种方法，即凯莱哈密顿定理?1?3? 由第一种方法可知，211313?t?3te?e?1?33tt?31 ?ee?44440? ?t?t?11111?1ee?tt3?1ee? ?444?4? 更多精品文档 -好资料学习1111?t?33tt?te?eee? 1011?3311?4422At3t?tt3t?e?eee?e? ? 1101414444?tt3t?t?3eee?e ?22? 阵。2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A11?tt?t3t?3ee?ee?t?2t?2?t?t ?e2e?e2e?242?t?t? 3（） （4）?t2t?t?2t1e2?ee?e?t3?tt?t3e?e?e?e ?201?I?0? ）因为3 ，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件解：（?10? tt?t2t22?0?e?2e?2?e2e?4?t?A ?t?2t?t?t2 31? e?4e?e2?e?0t?0?t01?I?0? 4（）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件?10? 3311?tt?t33t?ee?ee?11 ?2424?A?t? ? 1314 0t?t33t?t?te?e3?e?e ?2?20?t 2-6 求下列状态空间表达式的解：010?ux?x? ?100 ?xy1,0? 1?tu?x0 时单位阶跃函数。初始状态，输入?1?10?A 解：?00?1s?sIA ?s0? 更多精品文档学习-好资料 11? 1s?12ss1?A?sI? ? 210ss?0 ?s?1t?1?1?At?AsI?e?Lt? ?10?0?tIu?t?B ，因为 ?1?t?dxtt?t?x0Bu 0?0t?t111?t?d? ?0011110?tt?1?t?d? ?110?1?21?tt? ?2 ?1?t?1?2t?t?1? ?2 ?t?1?1?2?tt?101x?y? 2 uu为分段常数。 和所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s，而2-9 有系统如图2.221u2-xux112X+K/(s+1)1/s12+ 系统结构图2.2 图 解：将此图化成模拟结构图 更多精品文档学习-好资料 u2-xux+112XK-X12+ 列出状态方程x?x?ku 111 u?x?x 221 x2?x?y 12u010k?1?xx? ?u1100?2x?112y? ?x?2 则离散时间状态空间表达式为?kk?1T?GuT?xHxk ?kkcxyDuk? T?AtAt?dtB?TeHeG?T 和由得：02k0?10?T?C?BA ?110?01?T?0?1?s?e0?1?11?At?LLsI?eA? ?T?s1?11?e?T?01?ketT?00kk?01e?e0?TT?At? ?dtdtH?e?T?T?10?1?0?T1?1T?e1eT?00T?e?1kT?1?1?0k1?e?0e?k?1xk?uxk? T=1时当 ?1?1?1e1?1?ke?kky?12?1x 更多精品文档学习-好资料 ?0.1?0?ke1?0.1?0e?xk?1kuk?x 当T=0.1时 ?0.1?11?e0.1?0.1?0.9k?e? kyxk?12?1 第三章习题 3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ （1）系统如图3.16所示： x+u1 ?y-ax+xx+324?-bcd-图3.16 系统模拟结构图 解：由图可得： ?uax?x?11?bxx?22?cx?x?x?x?cxxx? 3213231?dxx?x443x?y3状态空间表达式为： 更多精品文档学习-好资料 ?xx1000?a?11?x00b00?x?2u?2? x01?1c0?x3?3?x00d01?4?x?4?x10y?00?有关，因而系统为不完全只与与无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于由于、xxyxxu3342 能观的，为不能观系统。 ）系统如下式：（3?x1?10x21?11?ua10?0?0xx?22?0200?xb? x?33?c0d?y?x?000?解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有。 0b?a?0,要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有。 0d?c?0,3-2时不变系统 ?3111?uX?X?1311? 11?X?y?1?1?试用两种方法判别其能控性和能观性。 解：方法一： ?311111?,C?A?,B?11?11?31? -211-2?MBAB?2-12-1?系统不能控。?1?rankM,2 更多精品文档学习-好资料 11?C1?1?N? ?CA?2?2?44? 系统能观。2,rankN?方法二：将系统化为约旦标准形。 ? ?3?1?2? ?13I?A?0? 3?1?2，4?211?P?P?则状态矢量：AP?111111? 1?P?P? AP? ?22222-1?11?11? 221-?T ，?T?111-1? 22?11?-3111-20? 221-?TAT ?11310-411-? 22?11?1111? 22-1TB? ?111001? 22?111120? CT?1-11-102?-1中有全为零的行，系统不可控。中没有全为0的列，系统可观。 BTCT?和 3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数ii?11?111,?C?)(1A?,b ?01?2解：构造能控阵： ?11?1?AbM?b ?1?2?1?0?1? 要使系统完全能控，则，即2211 更多精品文档学习-好资料 构造能观阵： ?11C? N?1CA?21? ，即要使系统完全能观，则0?1?1?22113-4设系统的传递函数是 y(s)s?a? 23)su(?27s?s?10s18 （1）当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？ （2）当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。 （3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。 y(s)s?a?W(s) ：(1) 方法1 解： u(s)(s?1)(s?3)(s?6)系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。 方法2： a-1a?3a-6y(s)s?a 10615 ? u(s)(s?1)(s?3)(s?6)s?1s?3s?6?，61，?3? 321?1001?X0?0u?31X? 100?6?a?3?a1a?6?Xy? 61510?系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。 （2）当a=1, a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型 1000?0x0u 1? x?0? ?1?1027?18? xy01a?（3）根据对偶原理，当a=1, a=2或a=4时，系统的能观标准II型为 更多精品文档学习-好资料 00?18a? u?110?27x? x? ?01?100? x 100y?.? 3-6已知系统的微分方程为：u6y?6y?y?6y?11 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 解：6?3，b?，6，a?11，a?6aa?03210 系统的状态空间表达式为1000?0x0 u1x?0 ? ?1?6?6?11? x06y?0传递函数为 ?1010s?6?1-?0)(s?C(sI-A)0sB?6001W ? 236?11ss?6s?1?6611s?其对偶系统的状态空间表达式为： 00?66? u0?11x? x10? ?0?601? x10y?06 传递函数为?)W(s 32s?6s?11s?63-9已知系统的传递函数为 2?6ss?8W(s)? 2s?4s?3试求其能控标准型和能观标准型。 2?6s?82s?5s?1?W(s)? 解： 22s?4s?3s?4s?3系统的能控标准I型为 010? xx? u? -31-4?x?2y?5u 更多精品文档学习-好资料 能观标准II型为 0-35? xx? u? 1-24?x?01y?u 3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。 1000? u130xx? ?2? ?2?31?1? x10y?01000?A30?21，C?001，b?解： ?2?3?11?01?3?27?b?2M?bAbA1 ?1152?rankM?2?3，系统为不能控系统，不能变换为能控标准型。 01C0?CA?3?N?1?1 ?2?971CA?rankN?3，系统为能观系统，可以变换为能观标准型。 3-11试将下列系统按能控性进行分解 12?10?A111?00,C?01?,b）1（ ?130?4?解： 0?1?4?20?Mb?0AbA0b ，系统不是完全能控的。 rankM=23?391?0?10?bR，?R10R，?Ab?0RRR： ，其中构造奇异变换阵是任意的，只要满足满秩。?321c3c?013? 更多精品文档学习-好资料 0?10301?1?10RR0?0?10即得 ?cc?001301?0?321?1?1 14?ARAb?R?Rb?02 1?12c?cR? ?cccc?0100?3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解 12?10?A011?1,b?01,C?0 1 ）（?1?430?12?10?A1?1?100,C?01,b由已知得 解： ?1430?1?11C?CA?32N2则有 ?4?742CA?rank N=23，该系统不能观 1?11?1?1?R2?32R，有构造非奇异变换矩阵 ?00?100?3?1?1?R?102则 ?0?100?0101?1?1?23bux?R?0ARx?x?R2u ?000 ?1327?x010xy?cR? 0 3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解 1001?32A2b?22,C?11,）（ 1?2201?111?2?Ab21226Ab?MA 解：由已知得?202? 更多精品文档学习-好资料 rank M=3，则系统能控 c112?5?2?1cAN ?2?14?7cA1? rank N=3，则系统能观 所以此系统为能控并且能观系统 17?3? 44111?1?1?21226T 取，则 3?T7? 2c?2c2?20?2?51?3? ?44?0021?1? ?A10B?T?5b?0则， ， 23c?cT?713 ?2c2c?0401?3-14求下列传递函数阵的最小实现。 11?1? （1） ?sw? 111s?11?10?1，解： ?A?B?0c0110?1?101100?， B?C?D?ccc011100?系统能控不能观 111?1?1 取，则?RR?001010?1011?1?1 ，所以ABB?R?RAR?c00010?10?1000? ，CD?CR?0c0001?100?1B1?A1?所以最小实现为， ，C?D?mmmm100?11?1?1? 验证：B?wAsI?Cs? mmm111?s? 更多精品文档 -好资料学习 和是两个能控且能观的系统3-15设?21010?1C?2A?，b?，?：?1111 431?1?1，C?2，b?：A2222 所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；1）试分析由和（?21 所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。2）试分析由和（?21 解：? 和串联（1）21x?2x?2x?x?y?u 当的输入的输出时，是22132131 0100? 04?3x?1ux? ，xy?001? ?0221?01?4?2?413bAM?1bAb? ?41?0?则rank M=23，所以系统不完全能控。 s?211?sI?A)B?W(s)?C( 2(s?2)(s?3)(s?4)s?7s?12?y?u时是当 得输出的输入11220110?14?x?30?uxx10y?2 ，? ?100?2?001?2?AbM?bAb01?6 因为 ?4?21? rank M=3 则系统能控 c210?1N?cA?3?2因为 ?2?456cA? rank N=23 则系统不能观 更多精品文档学习-好资料 11? ?)B)?C(sI?AW(s 212s?7s 和并联（2）?210100?0?xu?4?x?31 ，xy?211? ?1200?4?01?2?Ab1?4M?AAb13 ?4?2?1? ，所以系统完全能控因为rank M=311c2?cAN?2?2?3 ?2?546cA? ，所以系统完全能观因为rank N=3 ?22?22?s?2s?22?1?ssI?C?ABw ?3?ss?1s?2 现代控制理论第四章习题答案 4-1判断下列二次型函数的符号性质：222xx3?Q(x)?11x?2xx?xx2xx）（1 211233123222x4?x)?xvxx?6xx?2xx(?x?2）（2 232331211 1（）由已知得解：x?111?x?11xxx?x?x3x?x?x?x?xQ()? 213321123222?x?3? ?111?x?11?x?xxx13? 2123?2?x?13?11?1? ?2 更多精品文档 好资料学习- ?111? 11?171?1?3?0? ，0?10?2? 3122431?1?11?1? 2因此是负定的 )(xQ（2）由已知得 x?1?x?x?4x?x?3Q(x)?xx?xxx?3x?3221321321?x?3 x?11?1?1?34?x?xxx1?2231?x1?1?3?31?1?1 11? ?14?3?16?001? ，0?33124?1?1?31因此不是正定的 )xQ(4-2已知二阶系统的状态方程： aa?1211x?x ?aa ?2221试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。 解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。 即： ? ?a?a1211? ?I?A?aa22212?aa?aa?)?(a?a 212222111112?0有解，且解具有负实部。 a?a?0且aa?aa 即：212212111122T0x?P?PA?AQ。为大范围渐近稳定，等价于）2方法（：系统的原点平衡状态 e 更多精品文档 学习-好资料PP?1211T，则带入 ，得到，令取?PQAP?PA?IQ?PP?22121?0P2a2a?111121?a?0aa?aP ?1222121121?102a2aP?22221202a2a 2111a?aa)?a?a0a?4(a?a)(aa ，则此方程组有唯一解。即若1221111112112222212202a2a221222? )A?a?a?(aa?aa1112122212212 ?P?22 )?a?a?(aa?aaAAa)2(a?1112121121222211 其中a?aa?adetA?A21221112 正定，则要求要求P22aa?A?22210?P 111A)?a?2(a2211 22)(a?(a?a)a?212212110?P? 2)?a?4(a2211 0?a?a ，且因此0detA?2211 第二法确定下列系统原点的稳定性。4-3试用lyapunov11? ）（1xx?32? ?1?1? （2）x?x?1?1? ?22xx?V?0(x)?0?x函数为Lyapunov（，则 解：1）系统唯一的平衡状态是。选取21e?xx)(x?2xx?2V2121 )x?(2x3)(?2x?x?2x?2x222111 22x6?2xx?6x?212133220x?)x?x?2( 22122?x?)(xV 。即系统在原点处大范围渐近稳定。是负定的。，有?(x)V22?xx0?xV()0x?函数为Lyapunov。选取）系统唯一的平衡状态是（，则 221e 更多精品文档 -好资料学习?x2?2xx?xV(x)2121 )?x(?x?2x(?x?x)?2x 2211212202?x?2x?21? 是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。?x?)xV(?V(x) 4-6设非线性系统状态方程为：xx?21 20x,a?x?a(1?x)x?1222 试确定平衡状态的稳定性。 解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：x?2?x)f( ?2xx?(1?x)?a?12201?)?f(x?(x)?J ? 2Tax3?4ax?1?ax?22 取IP?T)xJJx)?(x)?Q(010?1? ?22ax?3ax?1?a4ax3ax1?a?4?222200?2axax?6?0?2a8?2222xx?xV()?0?函数为的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取很明显，则 Lyapunov)Q(x21?x?2x(x)?2xxV2112 2)x?x)xx?2x?2x(?a(1 221212220x)x?2a(1?22?x?)(xV，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。 是负定的。?)?V(x4-9设非线性方程： x?x21 3x?x?x212 试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。 ）采用克拉索夫斯基法，依题意有：（解：1 更多精品文档 好资料学习-x?2 ?)f(x?3xx?2110?)x?f( ?)?J(x? 2T1?3xx?1x?23232T? x)?()x)f(xV(x)?(?x?x?x?xf?x?2121223x?x?21 ，有。?x?V(x) 取IP?T)(x(x)?Q(x)JJ210?x0?3?1 ?21x?311?12?x301?1?22?3x1?12?x31?0?1?)Q(x 则，根据希尔维斯特判据，有： ?223?1?x?1 20x1?3221?0，?1）?0?（3x? ，的符号无法判断。)xQ(2112x2?3?113324函数为2）李雅普诺夫方法：选取Lyapunov（，则 ?x)Vxx?0( 2124?3xxxx?3V(x)?32121 33)x?x?x3x(?x?3 21221203x?2?x?，有是负定的。即系统在原点处大范围渐近稳定。 V(x)?x)?V(4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数 2?xx?2x?-x2111 ? -?xx?22 解：假设的梯度为： )xV(ax?ax?V?1111221?V ?ax?ax?V?2222112计算的导数为： )(Vx 更多精品文档学习-好资料 2?x?2xx?T211xaax?ax?axV(x)?(?V)x?211211211222x? ? 2?32222x2a2axx?xa?a?xxax?a?x?21121222221211112111选择参数，试选，于是得： 0?a?a?a?1,a21112212x?V?V?x?x121210?,即，显然满足旋度方程 ，表明上述选择的参数是允许的。则有：?V? xx?x?x?x?21212?22xx?2xx)xV()?(1? 211211?xx?xx?xx0或1?2xx和 的约束条件。是负定的，因此，是如果，则V(x) 2122112122计算得到为： )xV(x(x?0)x(x?x)11221?xdx?xdxV(x)?2211 00122)xx?( 21211?2xx?0即xx?x?0是渐进稳定的。 是正定的，因此在范围内，)V(x 2211e2 现代控制理论第五章习题答案