《函数极限数分》PPT课件

1函数极限概念2由_提供更多PPT下载3函数极限存在的条件4两个重要极限5无穷小量与无穷大量,第三章函数极限,第三章函数极限,1函数极限概念,播放,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,通过上面演示实验的观察:,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,1、定义：,2、另两种情形:,3、几何解释:,例1,证,二、自变量趋向有限值时函数的极限,1、定义：,2、几何解释:,注意：,例2,证,例3,证,例3,证,函数在点x=1处没有定义.,例4,证,3.单侧极限:,例如,左极限,右极限,左右极限存在但不相等,例5,证,四、小结,函数极限的统一定义,(见下表),思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,一、填空题:,练习题,(1),自变量趋于有限值时函数的极限;,作业,3.小结,(2),自变量趋于无穷大时函数的极限;,(3),函数极限的几何意义;,(4),单侧极限的概念;,(5),应用函数极限的定义验证函数极限的方法;,P47:1,3,4,5,6,7.,第三章函数极限,2函数极限的性质,如果f(x)A(xx0)那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界,证明,函数极限的性质,1.局部有界性,如果当xx0时f(x)的极限存,那么这极限是唯一的,证明,2.唯一性,如果f(x)A(xx0)而且A0(或A0)那么对任何正数r0(或f(x)-r,例2,解,解,例3,解,例4,根据无穷大与无穷小的关系得,因为,讨论,提示,当Q(x0)P(x0)0时约去分子分母的公因式(xx0),先用x3去除分子及分母然后取极限,解,先用x3去除分子及分母然后取极限,例5,解:,例6,讨论,提示,例7,解,所以,解当x时分子及分母的极限都不存在故关于商的极限的运算法则不能应用,例8,是无穷小与有界函数的乘积,(1),唯一性;,作业,小结,(2),局部有界性;,(3),局部保号性;,(4),保不等式性;,(5),迫敛性;,P47:1,2,3,5,6,7,8,9.,(6),四则运算法则;,(7),函数极限与数列极限的关系;,(8),复合函数的四则运算法则.,第三章函数极限,3函数极限存在的条件,一、极限存在准则,1.夹逼准则,证,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注意:,准则和准则称为夹逼准则.,例1,解,由夹逼定理得,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,例2,证,(舍去),第三章函数极限,4两个重要极限,二、两个重要极限,(1),注:,这是因为令u=a(x)则u0于是,第一个重要极限,例1,解,解,例2,例3,注：在上例中，应用公式（141）时，我们使用了代换,在运算熟练后可不必代换，直接计算：,例4.求极限:,例5.求极限:,练习1.求下列极限:,二.关于极限,用e表示该数,e是无理数。,e=2.718281828,注意：,2.底数中的无穷小量（可以是字母或是代数式）和指数互为倒数。,1.公式中底数的极限是1，指数的极限是无穷大,函数极限为型,定义,第二个重要极限,类似地,例6,求极限,解：,例7,解：,例8,解：,例9,解,例10,解,练习2.求下列极限:,练习,小结：,作业:,P58:1(1)(10),2(1)(6),3,4(1)(2).,三、小结,1.两个准则,2.两个重要极限,夹逼准则;单调有界准则.,思考题,求极限,思考题解答,一、填空题:,练习题,二、求下列各极限:,练习题答案,第三章函数极限,5无穷小量与无穷大量,则称f(x)是该极限过程中的一个无穷小量(省去xxo,x的极限符号“lim”表示任一极限过程).,定义1.若limf(x)=0,一、无穷小,一、无穷小,1、定义:,极限为零的变量称为无穷小.,例如,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,注2：无穷小量与极限过程分不开,不能脱离极限过程谈无穷小量,小量,但,如sinx是x0时的无穷,注3：由于limC=C(常数),注4：0是任何极限过程的无穷小量.,所以,除0外的任何常数不是无穷小量.,2、无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,意义,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3、无穷小的运算性质:,定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,二、无穷大量,定义2：若0(无论多么大),记作：,0(或X0),当0X)时，有|f(x)|M,则称f(x)是xx0(或x)时的无穷大量.,若以“f(x)M”代替定义中的“|f(x)|M”,就得到正无穷大量的定义.,若以“f(x)M”,就得到负无穷大量的定义.,分别记作：,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,不是无穷大,无界，,证,例2:试从函数图形判断下列极限.,解：(1),x,y,y=tgx,x,y,(2),x,x,y,y,x+,x,注1：若在定义2中，将“f(x)”换成“xn”,注2：若limf(x)=,将“X”换成“N”,将“x”换成,就得到数列xn为无穷大量定义.,“n”,则表示在该极限过程中f(x)的极限不存在.,0,X0,当|x|X时,有|f(x)|M,注3：不能脱离极限过程谈无穷大量.,注4：无穷大量一定是无界量,任何常量都不是无穷大量.,但无界量不一定是无穷大量.,说明0,x0(,+)，使得|x0sinx0|M即可.,三、无穷小与无穷大的关系,定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证,意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,证明,设及是当xx0时的两个无穷小,则0,10,当0|xx0|1时有|,20,当0|xx0|2时有|,取min12,则当0|xx0|时有,这说明也是当xx0时的无穷小,|2,定理1有限个无穷小的和也是无穷小,仅就两个xx0时的无穷小情形证明,举例:,当x0时x与sinx都是无穷小所以xsinx也是当x0时的无穷小,四、无穷小的性质,设函数u在x0的某一去心邻域x|0|xx0|1内有界即M0使当0|xx0|1时有|u|M,又设是当xx0时的无穷小即0存在20使当0|xx0|2时有|取min12则当0|xx0|时有|u|u|M这说明u也是当xx0时的无穷小,证明,定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小,定理1有限个无穷小的和也是无穷小,四、无穷小的性质,举例:,推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小,定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小,定理1有限个无穷小的和也是无穷小,推论1常数与无穷小的乘积是无穷小,四、无穷小的性质,五、无穷小的比较,观察两个无穷小比值的极限,观察与比较,两个无穷小比值的极限的各种不同情况反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度在x0的过程中x2比3x趋于零的速度快些反过来3x比x2趋于零的速度慢些而sinx与x趋于零的速度相仿,无穷小的阶,设a及b为同一个自变量的变化过程中的无穷小,阶的比较举例,所以当x0时3x2是比x高阶的无穷小即3x2=o(x)(x0),所以当x3时x2-9与x-3是同阶无穷小,例2,例3,例1,所以当x0时1-cosx是关于x的二阶无穷小,所以当x0时sinx与x是等价无穷小即sinxx(x0),例4,例5,阶的比较举例,定理1,b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a),关于等价无穷小的定理,必要性:,证明,所以ba=o(a),因为,设ab,只需证ba=o(a),充分性:,设b=a+o(a)则,因此ab,所以当x0时有,sinx=x+o(x),tanx=xo(x),例6,定理1,b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a),关于等价无穷小的定理,定理1,b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a),关于等价无穷小的定理,定理2,证明,求两个无穷小比值的极限时分子及分母都可用等价无穷小来代替因此如果用来代替的无穷小选取得适当则可使计算简化,定理2的意义:,定理1,b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a),关于等价无穷小的定理,定理2,解当x0时tan2x2xsin5x5x所以,解当x0时sinxx无穷小x3+3x与它本身显然是等价的所以,例7