6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质

.6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、复习引入1、复习（1）函数的概念在某个变化过程中有两个变量、，若对于在某个实数集合内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的实数值与它对应，则就是的函数，记作，。（2）三角函数线设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，设它与角的终边（当在第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于.规定：当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值； 当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值； 当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；根据上面规定，则,由正弦、余弦、正切三角比的定义有： 网；这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线。二、讲授新课【问题驱动1】结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由1、正弦函数、余弦函数的定义（1）正弦函数：；（2）余弦函数：【问题驱动2】如何作出正弦函数、余弦函数的函数图象？2、正弦函数的图像（1）的图像【方案1】几何描点法步骤1：等分、作正弦线将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；步骤2：描点平移定点，即描点；步骤3：连线用光滑的曲线顺次连结各个点小结：几何描点法作图精确，但过程比较繁。【方案2】五点法步骤1：列表列出对图象形状起关键作用的五点坐标；步骤2：描点定出五个关键点；步骤3：连线用光滑的曲线顺次连结五个点小结：的五个关键点是、。（2）的图像由，所以函数在区间上的图像与在区间上的图像形状一样,只是位置不同.于是我们只要将函数的图像向左、右平行移动(每次平行移动个单位长度)，就可以得到正弦函数的图像。3、余弦函数的图像（1）的图像（2）的图像 图像平移法 由，可知只须将的图像向左平移即可。三、例题举隅例、作出函数的大致图像；【设计意图】考察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像【解】 列表描点在直角坐标系中，描出五个关键点：、 、连线练习、作出函数的大致图像二、性质1定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R或(，)，分别记作：ysinx，xR ycosx，xR2值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以sinx1，cosx1，即1sinx1，1cosx1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是1，1其中正弦函数y=sinx，xR当且仅当x2k，kZ时， 取得最大值1当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1而余弦函数ycosx，xR当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值13周期性由sin(x2k)sinx，cos(x2k)cosx (kZ)知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。由此可知，2，4，2，4，2k(kZ且k0)都是这两个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。4奇偶性由sin(x)sinx， cos(x)cosx可知：ysinx为奇函数， ycosx为偶函数正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称5单调性结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1。余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1y=sinxy= cosx图 象定义域RR值 域-1,1-1,1最 值当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值1周期性2p2p奇偶性奇函数偶函数单调性在闭区间2k，2k(kZ)上单调递增，；在闭区间2k，2k(kZ)上单调递减在闭区间(2k1)，2k(kZ)上单调递增；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上单调递减典型例题（3个，基础的或中等难度）例1：求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么。（1）ycosx1，xR； （2）ysin2x，xR解：（1）使函数ycosx1，xR取得最大值的x的集合，就是使函数ycosx，xR取得最大值的x的集合xx2k，kZ。函数ycosx1，xR的最大值是112。（2）令Z2x，那么xR必须并且只需ZR，且使函数ysinZ，ZR取得最大值的Z的集合是ZZ2k，kZ由2xZ2k，得xk即 使函数ysin2x，xR取得最大值的x的集合是xxk，kZ函数ysin2x，xR的最大值是1。例2：求下列函数的单调区间（1）ycosx （2）y=sin(4x-) （3）y=3sin(-2x)解：（1）由ycosx的图象可知：单调增区间为2k，(2k1)(kZ)单调减区间为(2k1)，2k(kZ) （2）当2k-4x-2k+，函数的递增区间是-，+(kZ)当2k+4x-2k+函数的递减区间是+,+(kZ)（3）当2k-2x2k+时，函数单调递减， 函数单调递减区间是k-，k+(kZ)当2k+-2x2k+时，函数单调递增， 函数单调递减区间是k+，k+(kZ)例3：求下列三角函数的周期：(1) y=sin(x+) (2) y=cos2x (3) y=3sin(+)解：(1) 令z= x+ 而 sin(2p+z)=sinz 即：f (2p+z)= f (z)f (x+2p)+=f (x+) 周期T=2p.(2)令z=2x f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2p)=cos(2x+2p)=cos2(x+p)即：f (x+p)=f (x) 周期T=p。 (3)令z=+ 则f (x)=3sinz=3sin(z+2p)=3sin(+2p)=3sin()=f (x+4p) 周期T=4p。 注：yAsin(x)的周期T=。（四）课堂练习（2个，基础的或中等难度）1、求使下列函数y=3-cos取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么。解：当cos=-1，即=2kp+p，kZ，x|x=4kp+2p，kZ ，y=3-cos取得最大值。2、求y=的周期。解：y=(1-cos2x)=-cos2x，T=p。3、求函数y=3cos(2x+)的单调区间。解：当2k2x+2k+p时，函数单调递减， 函数的单调递减区间是k-，k+(kZ)当2k-p2x+2k时，函数单调递增， 函数的单调递增区间是k-，k-(kZ)（五）拓展探究（2个）1、求下列函数的周期： （1）y=sin(2x+)+2cos(3x-) （2）y=|sinx| （3）y=2sinxcosx+2cos2x-1解：（1）y1=sin(2x+) 最小正周期T1=p y2=2cos(3x-) 最小正周期 T2=T为T1 ,T2的最小公倍数2p T=2p （2）T=p （3） y=sin2x+cos2x=2sin(2x+) T=p2、求下列函数的最值： （1）y=sin(3x+)-1 （2）y=sin2x-4sinx+5 （3）y=解：（1） 当3x+=2kp+即 x= (kZ)时，ymax=0当3x+=2kp-即x= (kZ)时，ymin=-2（2） y=(sinx-2)2+1 当x=2kp- kZ时，ymax=10当x=2kp- kZ时，ymin= 2（3） y=-1+ 当x=2kp+p kZ时，ymax=2当x=2kp kZ时， ymin= 作业一、填空题1、函数y=cos(x-)的奇偶性是_。2、函数y=-5sinx+1的最大值是_，此时相应的x的值是_。3、函数y=sinxcosx的最小正周期是_。4、函数y=sinxcos(x+)+cosxsin(x+)的最小正周期是_。5、函数y=3cos(2x+)的单调递减区间是_。6、函数y=sinx和y=cosx都为减函数的区间是_。7、函数y=sin(-2x)的单调递增区间是_。8、已知函数y=f(x)是以为周期，且最大值为3，最小值为-1，则这个函数的解析式可以是_。二、选择题1、函数y=sinx，x，的值域是 （ ）（A）-1，1 （B），1 （C）， （D），12、下列函数中，周期是的函数是 （ ）（A）y=sinpx （B）y=cos2x （C）y=sin （D）y=sin4k3、下列函数是奇函数的是 （ ）（A）y=sin|x| （B）y=xsin|x| （C）y=-|sinx| （D）y=sin(-|x|)4*、函数y=sin(2x+)+cos(2x+)的最小正周期和最大值分别为 （ ）（A）p，1 （B）p， （C）2p，1 （D）2p，三、解答题1、已知函数y=acosx-2b的最小值为-2，最大值为4，求a和b的值。2、求函数y=2+5cosx-1的值域。3、判断下列函数的奇偶性：（1）y=cos(2x-)； （2）y=xsinx+cos3x4、求函数y=-sinxcosx的单调区间。一、填空题1、 奇函数； 2、 6， x|x=2k-，kZ ； 3、p；4、； 5、k-，k+(kZ)； 6、2k+,2k+p(kZ)7、k+，k+(kZ)； 8、y=2sin6x+1（答案不唯一）二、1、B； 2、D； 3、B； 4、A（y=sin