高中数学311两角差的余弦公式课件必修4

第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式,两角差的余弦公式1.公式:cos(-)=_.2.简记符号:_.3.使用条件:,都是_.,coscos+sinsin,C(-),任意角,判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)在cos(-)=coscos+sinsin等式中，是任意的角.()(2)cos15的值与cos45cos30+sin45sin30的值相等.()(3)化简cos75cos15+sin75sin15可得为(),提示：(1)正确.，不仅是任意的角，而且还可以是个“团体”.(2)正确.cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30.(3)正确.cos75cos15+sin75sin15=cos(75-15)=cos60=答案：(1)(2)(3),【知识点拨】对公式C(-)的两点理解(1)公式的结构特点：公式的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.(2)公式的适用条件.公式中的,不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团体”,如中的“”相当于公式中的角,“”相当于公式中的角.,类型一两角差的余弦公式的简单应用【典型例题】1.cos50cos20+sin50sin20的值为()2.cos(-15)的值为()3.化简cos(+45)cos+sin(+45)sin=_.,【解题探究】1.两角差的余弦公式的逆用形式怎样？2.-15可以看成哪两个特殊角的差？3.运用两角差的余弦公式的关键点是什么？探究提示：1.coscos+sinsin=cos(-).2.可以看成30-45，或者看成45-60.3.熟记特殊角的三角函数值并灵活构造两角差的余弦公式的结构形式.,【解析】1.选C.cos50cos20+sin50sin20=cos(50-20)=cos30=2.选C.cos(-15)=cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30=3.cos(+45)cos+sin(+45)sin=cos(+45-)=答案：,【拓展提升】应用两角差的余弦公式的三个注意点(1)在差角的余弦公式中，既可以是单角，也可以是复角.(2)要注意诱导公式的应用.(3)公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.,【变式训练】cos80cos20+sin80sin160的值是()A.0B.C.D.【解析】选B.原式cos80cos20+sin80sin20=cos(80-20)=,类型二给值(式)求值【典型例题】1.已知cos(+)=cos(-)=则coscos的值为()A.0B.C.0或D.0或2.已知sin=()且cos=()，求cos(-)的值.,【解题探究】1.cos(+)=应如何利用两角差的余弦公式展开？2.欲求cos(-)的值，由已知，还必须先求得哪些量的值？探究提示：1.+可以看成-(-)，利用两角差的余弦公式展开即可.2.欲求cos(-)的值必须求出cos的值和sin的值.,【解析】1.选A.由条件得，cos(-)=coscos+sinsin=左右两边分别相加可得coscos=0.2.得又cos=(0,)，得sin=所以cos(-)=coscos+sinsin=,【互动探究】在题2中若没有()这一条件，又如何求cos(-)的值？【解析】若没有()，则cos=或cos=-又cos=(),得sin=所以或,【拓展提升】给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.(2)解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：=(-)+；2=(+)+(-)；2=(+)-(-).,【变式训练】若，均为锐角，则cos等于()A.B.C.或D.【解题指南】cos可化为cos(+)-，需求出cos和cos(+)的值，由sin=sin(+)=的值，确定出+的范围.,【解析】选B.因为，均为锐角，且所以+为钝角，又由sin(+)=得cos(+)=由sin=得cos=所以coscos(+)-cos(+)cos+sin(+)sin=,类型三利用三角函数值求角【典型例题】1.已知且，为锐角，则+的值是()2.a=(cos,sin)，b=(cos,sin)，0且ab=求证：-=,【解题探究】1.要求角需要求什么？2.若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则ab会得到什么结果？探究提示：1.要求角需要求该角的一种三角函数值.2.ab=x1x2+y1y2.,【解析】1.选A.因为且,为锐角，所以则cos(+)=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos-sinsin=又因为0+，所以+=2.ab=coscos+sinsin=cos(-)=又0所以0-故-=,【拓展提升】已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.(3)结合三角函数值及角的范围求角.,【变式训练】已知，为锐角，cos=sin(+)=求.【解析】因为为锐角，且cos=所以又，为锐角，所以+（），,所以所以cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=又为锐角，故,【易错误区】忽略角的范围致误【典例】已知，均为锐角，且则-=_.,【解析】因为，均为锐角，所以所以cos(-)=coscos+sinsin=又sinsin，所以0所以0,则(sin-sin)2+(cos-cos)2=1，且.即cos(-)=(0),则-=答案：,1.cos66cos36+cos24cos54的值为()【解析】选C.cos66cos36+cos24cos54=cos66cos36+sin66sin36=cos(66-36)=cos30=,2.若a=(cos60,sin60)，b=(cos15,sin15)，则ab=()【解析】选A.ab=cos60cos15+sin60sin15=cos(60-15)=cos45=,3.已知cos=()，则cos()的值等于()【解析】选B.则sin=所以,4.【解析】cos15+sin15=cos60cos15+si