浙江师范大学《高等数学》d11-3格林公式

第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,格林公式及其应用,第十一章,三、二元函数的全微分求积,一、格林公式,在一元积分学中，牛顿-莱布尼茨公式：,表示:,在区间a,b上的积分可以通过它的原函数,在这个区间端点上的值来表达。,格林公式:在平面闭区域D上的二重积分可以通过,沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达。,区域D分类,单连通区域(无“洞”区域),复连通区域(有“洞”区域),规定域D边界L的正向:域的内部靠左,D内任一闭曲线所围的部分都属于D,当观察者沿着L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边.,l,L的正向是逆时针方向.,l的正向是顺时针方向.,定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有,其中L是D的取正向的边界曲线.公式（1）叫做格林公式.,（1）,注意哦,对于复连通区域D,格林公式（1）右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来说都是正向。,证明:,1)若D既是X-型区域,又是Y-型区域,且,则由二重积分计算法有：,由对坐标的曲线积分的性质及计算方法有：,即,同理可证,、两式相加得:,2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域,如图,证毕,相加时沿辅助线来回的曲线积分相互抵消,格林公式对于由分段光滑曲线围成的闭区域都成立.,推论:正向闭曲线L所围区域D的面积,格林公式,取P=-y，Q=x,即得,上式的左端是闭区域D的两倍，因此有：,对于复连通区域D，格林公式右端应包含沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来说都是正向.,格林公式的一个简单应用：,例1.计算,其中L是正向圆周,解:令,则,利用格林公式,得,例2.计算,其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.,解:令,则,利用格林公式,有,例3求椭圆,所围面积,例4.计算,其中L为一条无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解:令,设L所围区域为D,由格林公式知,对于连续曲线L，除了端点外，所有的点总是相异的，.,在D内作圆周,取逆时,针方向,对区域,应用格,记L和l所围的区域为,林公式,得,设G是一个开区域，且P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数。如果对于G内任意指定的两个点：以及G内从点A到点B的,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,任意两段曲线L1，L2,等式：,恒成立，则称曲线积分,在G内与路径,无关，否则就称该曲线积分与路径有关.,G,此时，从A到B的曲线积分可记为,或,G,此时,则有：,定理2.设G是单连通域,在D内,具有一阶连续偏导数,(2)沿D中任意光滑闭曲线L,有,(1)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分,(3)在D内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下三个条件等价:,(1)定理中的等价关系是建立在单连通区域内的，并且要求P(x,y),Q(x,y)在G上具有有一阶连续偏导数，当这两个条件之一不满足时，等价关系都可能不成立。如例4（含原点时PQ及其一阶偏导数不连续，从而结论不成立，原点称为奇点）.,(2)定理中命题(2)和(3)的等价区域可以不是单连通的。,注意：,说明:,根据定理2,若在某区域D内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,例.计算,其中L为上半,从O(0,0)到A(4,0).,解:为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L所围,原式,圆周,区域为D,则,三、二元函数的全微分求积,讨论以下两个问题：,定理3,设区域G是一个单连通域，若函数P(x,y)与Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内是某个函数u(x,y)的全微分的充分必要条件是：,在G内恒成立。,证明略。,推论：,在G内存在函数u(x,y)使得：,(2)推论给出了全微分求积得方法，即：可用积分法求,说明：,为了计算简便，由于曲线积分与路径无关，取平行于坐标轴的折线M0RM，则有：,M0,M,R(x,y0),S(x0,y),及动点M(x,y)，,或取折线M0SM,例5.验证,在右半平面(x0)内是某个,函数的全微分,并求出这样的函数.,证:令,则,因此在右半平面内,是某个函数的全微分.,取积分路线如图：,或,例6.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证:设,则,由定理2可知,存在函数u(x,y)使,内容小结,1.格林公式,2.等价条件,在D内与路径无关.,在D内有,对D内任意闭曲线L有,在D内有,设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有,为全微分方程,作业P2172(1);3;4;6(2);7(4)8(5);,思考与练习,1.设,且都取正向,问下列计算是否正确?,提示:,2.设,提示:,备用题1.设C为沿,从点,依逆时针,的半圆,计算,解:添加辅助线如图,利用格林公式.,原式=,到点,2.质点M沿着以AB为直径的半圆