天津市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：立体几何

天津市 2017 届高三数学 理 一轮复习专题突破训练 立体几何 一、选择、填空题 1、（ 2016 年天津市高考） 已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位： m），则该四棱锥的体积为 _2、（ 2015 年天津市高考） 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 3m. 第 2 题 第 3 题 3、（ 天津市八校 2016 届高三 12 月 联考 ） 某几何体三视图如 右上 图所示，则该几何体的体积为 ( ) A 82 B 8 C 82D 844、（ 和平区 2016 届高三第四次模拟） 一个几何体的三视图如图所示（单位 ，则该几何体的体积为 _ 3 第 4 题 第 5 题 5、（ 河北区 2016 届高三总复习质量检测（三） ） 某空间 几何体的三视图如 右上 图所示， 则该几何体的体积为 （ A） 24 （ B） 40 （ C） 36 6、（ 河北区 2016 届高三总复习质量检测（ 一 ） ） 一个几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积为 _ 7、（ 河东区 2016 届高三第二次模拟 ）如右图 所示，一款儿童玩具的 三视图中俯视图是以 3 为半径的圆，则该儿童玩具的 体积 为 _ 8、（ 河西区 2016 届高三下学期总复习质量调查（一） ） 某空间几何体的三视图如 右上 图所示，则该几何体的体积为 . 9、（ 红桥区 2016 届高三上学期期末考试 ） 一个俯视图为正方形的几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的体积为 （ A） 2 （ B） 43（ C） 23（ D） 1310、（ 天津市六校 2016 届高三上学期期末联考 ） 若某几何体的的三视图如图所示 ,则该几何体的表面积为 第 10 题 第 11 题 11、（ 天津市十二区县重点高中 2016 届高三毕业班第一次联考 ） 一个机器零件的三视图如 右上 图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为 3 的正方形，则该机器零件的体积为 12、（ 天津市十二区县重点学校 2016 届高三下学期毕业班联考（二） ） 某几何体的三视图如图所示，其 俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是 _ 第 12 题 第 13 题 13、（ 武清区 2016 届高三 5 月质量调查（三） ） 如右上图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为 二、解答题 1、（ 2016 年天津市高考） 如图，正方形 中心为 O，四边形 矩形，平面 面 G 为 中点， E=2. （ I）求证： 面 （ 二面角 正弦值； （ H 为线段 的点，且 3直线 平面 成角的正弦值 . 2 、（ 2015 年 天 津 市 高 考 ） 如 图 ， 在 四 棱 柱1 1 1 1D A B C 侧 棱1A A 底 面,C, 1=, 1 2 , 5A D= = = =,且点 M 和 N 分别为11 (I)求证：平 面； (二面角 ( E 为棱11直线 平面 成角的正弦值为13，求线段13、 （ 和平区 2016 届高三第四次模拟） 如图，在底面为菱形的四棱锥 P 中，6 0 , 1 , 2A B C P A A C P B P D ，点 E 在 ，且 2 （）求证： 平面 （）求二面角 E 的正弦值； （）在棱 是否存在点 F 使得 面 若存在，试求 值；若不存在，请说明理由 4、（ 河北区 2016届高三总复习质量检测（三） ） 如图，在 直三 棱 柱1 1 1 B 1A A = A B = A C =，分别 是 1C， 的 中 点，11B， D 是11 点 （ ） 求证： E ； （ ） 是否存在一点 D ，使得 平面 平面 成的锐 二面角的余弦值为 1414？若存在，说明点 D 的位置；若不存在，请说明理由 5、（ 河北区 2016 届高三总复习质量检测（ 一 ） ） 如图，在四棱锥 P ， D ， D ，22A B = A D = A P = C D =， M 是棱 一点 （ ）若 2 求证： 平面 （ ）若平面 平面 平面 平 面 求证： 平面 （ ）在（ ）的条件下，若二面角 B 的余弦值为 23，求 6、（ 河东区 2016 届高三第二次模拟 ） 如图四棱锥 ，三角形 正三角形，边长为 2， 1 直于平面 O， O 为 中点， 1 （ 1）证明 ； （ 2）证明 /面 （ 3）平面 平面 成二面角 的余弦值 7、（ 河西区 2016 届高三第二次模拟 ） 如图， 直于梯形 在平面， 90 C ，F 为 点， 2 121 边形 矩形 . （ ） 求证： 平面 （ ） 求 二面角 的大小； （ ）在线段 是否存在一点 Q ，使得 平面 成角的大小为 30 ？ 若存在，求出 长；若不存在，说明理由 8、（ 河西区 2016 届高三下学期总复习质量调查（一） ） 如图，在四棱锥 中， 面 2 四边形 足 ， 4点 M 为 点，点 E 为 上的动点，且 （ ） 求证： 平面 （ ） 求证：平面 面 （ ）是否存在实数 ，使得二面角 的余弦值为32？若存在，试求出实 数 的值；若不存在，说明理由 9、（ 红桥区 2016 届高三上学期期末考试 ） 已知长方体1 1,A B B C棱1 2连结1 B 点作1 ，交1 （）求证：1平面 （）求点 A 到平面11 （）求平面11E 所成角的正弦值 10、（ 天津市六校 2016 届高三上学期期末联考 ） 如图 ,三棱锥 S 中， 平面 2A C A B S A ， D ， E 分别是 中点， F 在 ，且 2E （）求证： 平面 （）在线段上 是否存在点 G ，使二面角 G 的大小为 30 ？若存在， 求出 长；若不存在，请说明理由 11、（ 天津市十二区县重点高中 2016 届高三毕业班第一次联考 ） 如图，在四棱锥 A 中， 等边三角形，平面 平面 /C , 4， 2EF a ， 60E B C F C B ，O 为 中点 () 求证： E ； () 求二面角 F 的余弦值； () 若 直线 平面 成的角的正弦值 为562,求 实数 a 的值 天津市十二区县重点学校 2016 届高三下学期毕业班联考（二） ） 如图，在四棱锥 P , 平面 ,D ,C 06 0 ,B C A 2A P A C A D ,E 为 中点 , M 在 ,且 2B (I)求证： /面 (平面 平面 成锐二面角的余弦值； () 点 F 是线段 异于两端点的任意一点 ,若满足异面直线 成角 045 ，求 长 . 13、（ 武清区 2016 届高三 5 月质量调查（三） ） 如图， 四边形 矩形 ，四边形 直角梯形， ， 422 120 D C G 是 点 （ 1） 求证： 平面 （ 2）求证： ； （ 3）若二面角 的大小为 150 ，求线段 长 参考答案 一、填空、选择题 1、 2 2、 【答案】83【解析】 试题分析： 由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为 1，高为 2的圆柱，两端是底面半径为 1，高为 的圆锥，所以该几何体的体积22181 2 2 1 133V 3、 B 4、 16 5、 B 6、 16+ 7、 54 8、38 9、 C 10、 215 11、 927812、 31013、 3 二、解答题 1、 【答案】 （ ）详见解析（ ） 33（ ） 721 1, 1, 0 , ( 1, 1, 0 ) , ( 1, 1, 0 ) , ( 1 1, 0 ) , ( 1, 1, 2 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 1, 0 , 0 )A B C D E F G ，. （ I）证明：依题意， ( 2 , 0 , 0 ) , 1 , 1 , 2A D A F 1 ,n x y z为平面 法向量，则1100n F ，即 2020xx y z z ，可得 1 0, 2,1n ，又 0,1, 2，可得1 0EG n，又因为直线 E G A D F 平 面 ，所以 /E G A D . （ ：由 23F，得 25A H A F 1, 1, 2 ，所以 2 2 2 4,5 5 5 5A H A F ，进而有 3 3 4,5 5 5H ，从而 2 8 4,555 ，因此2227c o s ,21B H n 线 平面 成角的正弦值为 7212、 【答案】 (I)见解析； (31010； (72. 【解析】 试题分析：以 I)求出直线个向量的乘积等于0即可； (出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可； (设1 1 1B，代入线面角公式计算可解出的值，即可求出1 试题解析：如图，以 题意可得 ( 0 , 0 , 0) , ( 0 , 1 , 0) , ( 2 , 0 , 0) , ( 1 , 2 , 0)B C D ， 1 1 1 1( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 1 , 2 ) , ( 2 , 0 , 2 ) , ( 1 , 2 , 2 )A B C D ，又因为,11, ,1 , (1, 2 ,1)2 . (I)证明：依题意，可得(0,0,1)n为平面0, , 02， 由此可得，0MN n，又因为直线面 ，所以/I)1 (1 , 2 , 2 ) , ( 2 , 0 , 0)C ，设1 ( , , )n x y z为平面1 11100n C ，即2 2 020x y ，不妨设 1z，可得1 (0,1,1)n ， 设2 ( , , )n x y 21200n C ，又1 (0,1,2)，得 2020，不妨设 1z，可得2 (0, 2,1)n 因此有12121210c o s ,10 ，于是123 10si n , 10， 所以二面角11D 的正弦值为31010. (题意，可设1 1 1B，其中0,1，则(0, ,2)，从而( 1, 2,1) ，又(0,0,1)n为平面已知得 2 2 211c o s ,3( 1 ) ( 2 ) 1N E n ，整 理得2 4 3 0 ， 又因为0,1，解得72， 所以线段1 3、 证明：（）在菱形 ， 60 ， A C A B A D 1 分 1C， 1P A A B A D 2 分 2P B P D， 2 2 2 2 2 2,P A A B P B P A A D P D ,P A A B P A A D 3 分 A B A D A ， 平面 4 分 （）如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 1 3 1 3 1 3 10 , 0 , 0 , , , 0 , , , 0 , 0 , 0 , 1 , , ,2 2 2 2 3 3 3A C D P E ， 则 1 3 1 3 1, , 0 , , ,2 2 3 3 3A C A E 6 分 设平面 一个法向量为 ,x y zn ， 则 0013 0,221 3 1 0,3 3 3y z 设 1y ，可得 3 , 1, 2 3n 7 分 而平面 一个法向量为 0, 0,1， 0 0 2 3 3c o s ,1 4 2n 8 分 设所求二面角的平面角为 ， 则 2 1s i n 1 c o s ,2 n， 所以二面角 E 的正弦值为 12 9 分 （）因为 13, , 122， F 为 一点， 1,0,0B ， 则有 13, , 122P F P C ，故 F 点坐标为 13, , 122 所以 131 , , 122 11 分 由（）可知平面 一个法向量为 3 , 1, 2 3n 若 面 则 133 1 2 3 1 022 n，得 12 则 1 3 1 2, , ,4 4 2 2P F P F ，即 值为 22 13 分 4、 证明： （ ） 11B，11A B B 又1面 1B 又1A A， 平面11 C 以 A 为坐标原点，建立如图所示的 空间直角坐标系， 则 1 1 1( 0 0 0 ) ( 0 1 ) ( 0 )2 2 2A E F， ， ， ， ， ， ， ， 设 ( 0 1)D ， ， (0 1) ， 则 11( 1)22D F = - ， ， -， 1(0 1 )2 ， ， 11= = 022D F A E -， E 6 分 （ ）假设 D 点 存在，设平面 法向量为 ()x y z ， ，n ， 则 ，111()222F E = - ， ， 11( 1)22D F = - ， ， -， 1 1 1 02 2 211( )022x y zx y z ， 3( 1) 02 取 3x ， 则 ( 3 1 2 2 (1 ) ， + ， 又平面 法向量为 (0 0 1) ， ，m ， 平面 平面 成的锐 二 面角的余弦值为 1414， 222 (1 ) 14c o 1 2 )1 ) ， + （4 解得 1=2或 7=4（舍） 当 D 为11 时，满足条件 13 分 5、 证明： （ ）连结 交 点 N ，连结 2D ， 2B=D 又 2M ， 2N 2 分 又 平面 平面 平面 4 分 （ ） 平面 平面 平面 面 D ， 平面 A 6 分 同理可证 A 7 分 又 D A ， 平面 8 分 （ ） 解： 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由 22A B = A D = A P = C D =， 得 ( 0 0 0 ) ( 0 2 0 ) ( 2 1 0 ) ( 2 0 0 ) ( 0 0 2 )A B C D P， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（ ）可知平面 法向量为 (0 0 1) ， ，n 9 分 设 1)0 ，即 又 (0 2 2) ， ， - ， ( 0 2 2 2 )A M = ， ， - 设平面 法向量为 ()x y z ， ，m ， (2 1 0)， ， ， ( 0 2 2 2 )A M = ， ， - 202 ( 2 2 ) 0 y z，- ( 1 2 2 2 ) - ， - ， 11 分 二面角 B 的余弦值为 23， 22 2c o 0 + 5 ， 解得 1=2，即 12B 13 分 6、（ 1）如图以 A 为原点建立空间直角坐标系 ,2,1 A （ 0， 0， 0） B （ 3 ， 0） C （ 3 ， 1， 0） D（ 0， 1， 0） O（23，21， 0） P （23，21， 1） 2 分 23，21， 1） 231，23， 0） 0 5 分 （ 2） 23，21， 1）， 3 ， 0）设平面 向量为 ),(1 0302123 令 1x ，则 1n （ 1， 3 ， 3 ） 7 分 23，21， 0） 01 9 分 （ 3） 23，21， 1） , 3 ， 0， 0） 设平面 向量为 ),(2 0302123 令 1y ，则 2n （ 0， 1，21） 11 分 35105,c o 平面 平面 成二面角 的余弦值为35105 13 分 7、 （ ） 解：以 D 为原点，以 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， 1 分 由题意得， 0(D ， 0 ， )0 ， 1(A ， 0 ， )0 ， 1(B ， 1 ， )0 ， 0(C ， 2 ， )0 ， 0(E ， 2 ， )2 ， 0(P ，0 ， )2 ， 21(F ， 0 ， )22 ， 则 1( 2 ， )0 ，平面 一个法向量 n1 x( ， y ， )z ， 0( 2 ， )2 ， 21( 0 ， )22 ， 由0011 02221022 取 2z ，得 2( ， 2 ， )2 ， 因为 2(2)22(1 020 ， 所以 AC 平面 4 分 （ ） 解：设 平面 一个法向量 n2 x( ， y ， )z ， 1( 1 ， )2 ， 1( 1 ， )0 ， 由0022 002 取 1x ，得 ( ， 1 ， )2 ， 设 平面 一个法向量 ( ， 0 ， )1 ， 所以 32 , nn 6 分 由图可知二面角 为锐二面角， 所以二面角 的大小为4. 8 分 （ ）解：设存在点 Q 满足条件，由21(F， 0 ， )22， 0(E ， 2 ， )2 ， 设 （ 10 ），整理得21( Q， 2 ， )212 ）（ ， 21( 12 ， )212 ）（ ， 10 分 因为直线 平面 成角的大小为 30 ， 所以 c o ， 则 12 ，由 10 ，所以 1 ，即 Q 点和 E 点重合， 故在线段 存在一点 Q ，且219 13 分 8、 （ ） 以 A 为原点，以 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， 1 分 由题意得， 0(A ， 0 ， )0 ， 2(B ， 0 ， )0 ， 2(C ， 4 ， )0 ， 0(D ， 2 ， )0 ， 0(P ， 0 ， )2 ， 1(M ， 2 ， )1 ， 则 1( 0 ， )1 ，平面 一个法向量 ( ， 1 ， )0 ， 因为 DM ，所以 DM 平面 4 分 （ ） 设 平面 一个法向量 n2 x( ， y ， )z ， 0( 2 ， )0 ， 1( 2 ， )1 ， 由0022 0202 取 1x ，得 ( ， 0 ， )1 ， 设 平面 一个法向量 n3 x( ， y ， )z ， 2( 0 ， )2 ， 2( 4 ， )2 ， 由0033 0242022 取 1x ，得 ( ， 0 ， )1 ， 因为 n21)1(0011 ，所以 所以 平面 面 8 分 （ ）解：设点 2(E ， t ， )0 )40( t ， 设 平面 一个法向量 n4 x( ， y ， )z ， 0( 2 ， )2 ， 2( t ， )2 ， 由0044 022022 取 2y ，得 n3 t 2( ， 2 ， )2 ， 10 分 平面 一个法向量 ( ， 0 ， )1 ， 54 ,(2254542 ，解得 3t 或 1t ， 12 分 所以 3 或31. 13 分 9、 （）证 :以 A 为原点 , 1,D ,建立空间直角坐标系 ,那么 (0,0,0)A 、 (1,0,0)B 、 (1,1,0)C 、 (0,1,0)D 、 1(0,0, 2)A 、 1(1,0,2)B 、 1(1,1,2)C 、 1(0,1, 2)D，1 (1,1, 2)， ( 1,1, 0 ) ， 2 分 设 (1,1, )： (0,1, )BE z ，1 (0, 1, 2 )，1 C 1 1 2 0B E C B z ， 12z， 1(1,1, )2E， 1(0,1, )2，1 1 1 0 0A C B D ，1 0 1 1 0A C B E ， 11,A C B D A C B E， 分 又 B D B E B 1面 分 （）连结1 到平面11即三棱锥11A A B C的高 ,设为 h, 分1152A B ,1113C A B ,由 1 1 1 1A A B C C A B 得 : 1 5 13 2 3h, 255h , 点 A 到平面 11距离是 255 9 分 （）连结 1 1 1 1,A C B E B C B E A C B C C ， 平面11 平面 11的射影， 是 平面 11成的角， （ 9 分） 设 (1, , )F y z ，那么1( 0 , , ) , ( 1, 1, ) , ( 0 , 1, 2 )B F y z C F y z B C ，1 0 C 20 1/C ， 22 由、得 42,55， 1(1, 0, )2，11( 0 , , )5 1 0 11 分 在 ， 55,2 1 0D E E F 1s i F ，因此， 平面115 13 分 10、 （ 1）由 2A C A B S A ， B ， E 是 中点，得 2 因为 底面 所以 E 在 中， 6，所以 1633E F S E 因此 2A E E F S E，又因为 A E F A E S ， 所以 E F A E A S ， 则 90A F E S A E ，即 E 因为 底面 所以 C ，又 E ， 所以 底面 则 F 又 ，所以 平面 (向量法请酌情给分 ) （ 2）假设满足 条件的点 G 存在，并设 DG t ( )10( t 以 A 为坐标原点，分别以 x ， y ， z 轴建立空间直线坐标 D ， 则 (0,0,0)A ， (0,0,2)S ， (1,1,0)E ， (1, ,0) 由 2E 得 222( , , )333F F 所以 )0,1,1( )32,32,32()0,1( 设平面 法向量为 ),( 111 ，则 由00即0032323211111取 1y 得 )1,1,( 设平 面 法向量为 ),( 222 ，则 由00即0032323222222取 1y ，即 )0,1,1(n 由 二面角 G 的大小为 30 ，得23|30c o s 0 化简得 22 5 2 0 ， 又 01t ，求得 12t 于是满足条件的点 G 存在，且 12 11、 解： () 由于 平面 平面 为等边三角形， O 为 中 点，则 F ， C F 平面平面 ,根据面面垂直性质定理，所以 平面 平面则 E . 3 分 () 取 中点 D，连接 以 O 为原点，分别以 、 为 、 、 4 分 )0,0,0(O ， )0,0,( )0,0,( ， )0,3,0( )2(3,0,2( ， )2(3,0,2( ， )2(3,0,2( 设平面 法向量 ),.( 00即0)2(3)2(03 1,3,1 )1,1,3( m 6 分 平面 法向量为 )1,0,0(n ， 7 分 二面角 F 的余弦值55,c 8 分 由二面角 F 为钝二面角，所以二面角 F 的余弦值 为 55. 9 分 () )2(3,3,2( 10 分 设直线 平面 成角为 ， (33453422 12 分 )2,0(1 a 满足题意 1a 13 分 12、解：以 A 为原点，建立如图 的