湖北省武汉市江岸区2015-2016年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年湖北省武汉市江岸区高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1命题 “ （ 0， +）， 1”的否定是（ ） A （ 0， +）， 1 B 0， +）， 1 C x （ 0， +）， x 1 D x（ 0， +）， x 1 2设抛物线 y=2焦点坐标是（ ） A（ 1， 0） B（ ， 0） C（ 0， ） D（ ， 0） 3命题 “若 x=2，则 3x+2=0”的逆否命题是（ ） A若 x 2，则 3x+2 0 B若 3x+2=0，则 x=2 C若 3x+2 0，则 x 2 D若 x 2，则 3x+2=0 4下列求导运算正确的是（ ） A（ = B（ x+ ） =1+ C x） = x） D（ = 2已知双曲线的离心率 e= ，其焦点在 y 轴上，若双曲线的实轴长为 4，则双曲线的标准方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 6如图是函数 y=f（ x）的导函数 y=f（ x）的图象，给出下列命题： 函数 y=f（ x）必有两个相异的零点； 函数 y=f（ x）只有一个极值点； y=f（ x）在 x=0 处切线的斜率小于零； y=f（ x）在区间（ 3， 1）上单调递增 则正确命题的序号是（ ） A B C D 7已知 f（ x） =3x+1（ x 3x+1（ x R），若 |f（ x） 4| a 的充分条件是 |x 1| b（ a， b 0），则 a， b 之间的关系是（ ） 第 2 页（共 19 页） A a B C D 8设函数 f（ x） =（ x 2） ex+a（ x 1） 2（ a 0）在（ 0， 2）内有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A a 0 B a 1 C a D a 2 9已知椭圆： + =1（ 0 b 3），左右焦点分别为 直线交椭圆于 A，B 两点，若 | |+| |的最大值为 8，则 b 的值是（ ） A B C D 10如果函数 f（ x） =x 区间 0， 上递增，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1， B 1， 1 C ， +） D ， +） 11已知双曲线 =1（ a 0， b 0）与函数 y= 的图象交于点 P，若函数 y= 的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F（ 1， 0），则双曲线的离心率是（ ） A B C D 12设函数 f（ x）在 R 上存在导数 f（ x）， x R，有 g（ x） =f（ x） f（ x） x，若 f（ 4 m） f（ m） 8 4m，则实数 m 的取值范围是（ ） A 2， 2 B 2， +） C 0， +） D（ ， 2 2， +） 二、填空题（本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知 y=f（ x）为 R 上可导函数，则 “f（ 0） =0“是 “x=0 是 y=f（ x）极值点 ”的 （填“充分不必要条件 ”或 “必要不充分条件 ”或 “充要条件 ”或 “既不充分也不必要条件 ”） 14已知 p：（ x m+1）（ x m 1） 0； q： x ，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是 15已知 f（ x）为偶函数，当 x 0 时， f（ x） =e x 2 x，则曲线 y=f（ x）在点（ 2， 3）处的切线方程是 16卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设焦点 c， 0）， c， 0）是平面内两个定点， |a 是定长），得出卡西尼卵形线的相关结论： 当 a=0， c=1 时，次轨迹为两个点 1， 0）， 1， 0）； 若 a=c，则曲线过原点； 若 0 a c，则曲线不存在； 既是轴对称也是中心对称图形 其中正确命题的序号是 第 3 页（共 19 页） 三、解答题（本大题共 5 小题， 70 分） 17已知命题 p： “方程 + =1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆 ”， 命题 q： “函数 f（ x） =）的定义域为 R” （ 1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （ 2）若 p q 是真命题，求实数 m 的取值范围 18设函数 f（ x） =（ x+a） 知曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处切线与直线 y=0平行 （ 1）求 a 的值； （ 2）求 y=f（ x）的单调区间 19已知点 F（ 1， 0），直线 l： x= 1，动点 P 到点 F 的距离等于它到直线 l 的距离 （ ）试判断点 P 的轨迹 C 的形状，并写出其方程 （ ）是否存在过 N（ 4， 2）的直线 m，使得直线 m 被截得的弦 好被点 N 所平分？ 20已知函数 f（ x） = 1+a） x （ 1）当 a 1 时，求函数 f（ x）的极值； （ 2）若 f（ x） 0 对定义域内的任意 x 恒成立，求实数 a 的取值范围 21给定椭圆 C： =1（ a b 0），称圆 x2+y2=a2+椭圆 C 的 “伴随圆 ”，已知椭圆 C 的短轴长为 2，离心率为 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，与其 “伴随圆 ”交于 C， D 两点，当 | 时，求 积的最大值 选修 4何证明选讲 22已知 半圆 O 的直径， ， C 为半圆上一点，过点 C 作半圆的切线 D D，交半圆于点 E， （ 1）证明： 分 （ 2）求 长 选修 4标 系与参数方程选讲 23极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线 C 的极坐标方程为 =2（ （ 1）求 C 的直角坐标方程； 第 4 页（共 19 页） （ 2）直线 l： 为参数）与曲线 C 交于 A， B 两点，与 y 轴交于 E，求 |值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 3|+|2x+t|， t R （ 1）当 t=1 时，解不等式 f（ x） 5； （ 2）若存在实数 a 满足 f（ a） +|a 3| 2，求 t 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2015年湖北省武汉市江岸区高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1命题 “ （ 0， +）， 1”的否定是（ ） A （ 0， +）， 1 B 0， +）， 1 C x （ 0， +）， x 1 D x（ 0， +）， x 1 【考点】 命题的否定 【分析】 根据特 称命题的否定是全称命题即可得到结论 【解答】 解：命题的否定是： x （ 0， +）， x 1， 故选： C 2设抛物线 y=2焦点坐标是（ ） A（ 1， 0） B（ ， 0） C（ 0， ） D（ ， 0） 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 先将方程化成标准形式，即 y， 求出 p= ，即可得到焦点坐标 【解答】 解：抛物线 y=2方程即 y， p= ， 焦点坐标为 （ 0， ）， 故选： C 3命题 “若 x=2，则 3x+2=0”的逆否命题是（ ） A若 x 2，则 3x+2 0 B若 3x+2=0，则 x=2 C若 3x+2 0，则 x 2 D若 x 2，则 3x+2=0 【考点】 四种命题间的逆否关系 【分析】 根据命题 “若 p，则 q”的逆否命题是 “若 q，则 p”，写出它的逆否命题即可 【解答】 解：命题 “若 x=2，则 3x+2=0”的逆否命题是 “若 3x+2 0，则 x 2” 故选： C 4下列求导运算正确的是（ ） A（ = B（ x+ ） =1+ C x） = x） D（ = 2考点】 导数的运算 【分析】 根据导数的运算法则求导，再判断即可 第 6 页（共 19 页） 【解答】 解：（ = ，（ x+ ） =1 ， x） = =2 故选： A 5已知双曲线的离心 率 e= ，其焦点在 y 轴上，若双曲线的实轴长为 4，则双曲线的标准方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据条件建立方程求出 a， b 的值即可得到结论 【解答】 解： 双曲线的实轴长为 4， 2a=4，得 a=2， 离心率 e= ， ，即 c=2 ， 则 b2= 4=4， 双曲线的焦点在 y 轴上， 双曲线的标准方程为 =1， 故选： A 6如图是函数 y=f（ x）的导函数 y=f（ x）的图象，给出下列命题： 函数 y=f（ x）必有两个相异的零点； 函数 y=f（ x）只有一个极值点； y=f（ x）在 x=0 处切线的斜率小于零； y=f（ x）在区间（ 3， 1）上单调递增 则正确命题的序号是（ ） A B C D 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率 【解答】 解：根据导函数图象可知当 x （ ， 3）时， f（ x） 0，在 x （ 3， 1）时， f（ x） 0， 第 7 页（共 19 页） 函数 y=f（ x）在（ ， 3）上单调递减，在（ 3， 1）上单调递增，故 正确； 3 是函数 y=f（ x）的极小值点，当 f（ 3） 0 时，函数 y=f（ x）有两个相异的零点，故错误； 在（ 3， 1）上单调递增 1 不是函数 y=f（ x）的最小值点， 函数 y=f（ x）只有一个极值点，故 正确； 函数 y=f（ x）在 x=0 处的导数大于 0， 切线的斜率大于零，故 不正确； 故 正确， 故选： B 7已知 f（ x） =3x+1（ x 3x+1（ x R），若 |f（ x） 4| a 的充分条件是 |x 1| b（ a， b 0），则 a， b 之间的关系是（ ） A a B C D 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由题意的 |f（ x） 4|=|3x 3| a，即原不等式等价于 |x 1| 根据题意可得|x 1| 的充分条件是 |x 1| b，即 |x 1| b|x 1| ，进而可得到答案 【解答】 解：因为 f（ x） =3x+1（ x R）， 所以 |f（ x） 4|=|3x 3| a，即原不等式等价于 |x 1| 又因为 |f（ x） 4| a 的充分条件是 |x 1| b， 所以 |x 1| 的充分条件是 |x 1| b 即 |x 1| b|x 1| 所以 故选 B 8设函数 f（ x） =（ x 2） ex+a（ x 1） 2（ a 0）在（ 0， 2）内有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A a 0 B a 1 C a D a 2 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理 【分析】 根据函数与方程之间的关系，利用参数分离法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：由 f（ x） =0 得 a（ x 1） 2=（ x 2） 当 x=1 时，方程不成立， 即 x 1，则 a= ， 设 h（ x） = ， 第 8 页（共 19 页） 则 h（ x） = = = ， 当 0 x 2 且 x 1 时，由 h（ x） 0 得 0 x 1， 此时函数单调递增， 由 h（ x） 0 得 1 x 2， h（ 0） =2， h（ 2） =0，当 x1 时， h（ x） +， 要使 f（ x） =（ x 2） ex+a（ x 1） 2（ a 0）在（ 0， 2）内有两个零点， 则 a 2， 故选： D 9已知椭圆： + =1（ 0 b 3），左右焦点分别为 直线交椭圆于 A，B 两点，若 | |+| |的最大值为 8，则 b 的值是（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出 使 | |+| |的最大，只须 |小，利用椭圆的性质即可得出答案 【 解答】 解： 椭圆 + =1 的两个焦点， |6， |6， 第 9 页（共 19 页） 周长为 |12； 若 |小时， | |+| |的最大， 又当 x 轴时， |小，此 时 | = ， 故 12 =8， b= 故选 D 10如果函数 f（ x） =x 区间 0， 上递增，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1， B 1， 1 C ， +） D ， +） 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 【分析】 由求导公式和法则求出 f（ x），由题意可得 f（ x） 0 在区间 0， 上恒成立，设 t=0 t 1），化简得 5 40，对 t 分 t=0、 0 t 1 讨论，分离出参数 a，运用函数的单调性求出最值，由恒成立求出实数 a 的取值范围 【解答】 解：由题意得， f（ x） =1 函数 f（ x） =x 区间 0， 上递增， 函数 f（ x） 0 在区间 0， 上恒成立， 则 1 0，即 0， 设 t=0 t 1），即有 5 40， 当 t=0 时，不等式显然成立； 当 0 t 1 时， 3a 4t ， y=4t 在（ 0， 1递增， t=1 时，取得最 大值 1， 即 3a 1，解得 a ， 综上可得 a 的范围是 ） 故选： C 第 10 页（共 19 页） 11已知双曲线 =1（ a 0， b 0）与函数 y= 的图象交于点 P，若函数 y= 的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F（ 1， 0），则双曲线的离心率是（ ） A B C D 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质 【分析】 设出切点坐标，通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率 【解答】 解：设 ，函数 y= 的导数为： y= ， 切线的斜率为 ， 又 在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F（ 1， 0）， ，解得 ， P（ 1， 1），可得 ， c2=a2+c=1，解得 a= 因此 ，故双曲线的离心率是 ， 故选 A； 12设函数 f（ x）在 R 上存在导数 f（ x）， x R，有 g（ x） =f（ x） f（ x） x，若 f（ 4 m） f（ m） 8 4m，则实数 m 的取值范围是（ ） A 2， 2 B 2， +） C 0， +） D（ ， 2 2， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 利用导数可得函数 g（ x） 在 R 上是减函数，结合函数的单调性解不等式即可 【解答】 解： g（ x） =f（ x） g（ x） =f（ x） x 0， g（ x）在 R 递减， f（ 4 m） f（ m） =g（ 4 m） + （ 4 m） 2 g（ m） g（ 4 m） g（ m） +8 4m 8 4m， g（ 4 m） g（ m）， 4 m m， 解得： m 2， 故选： B 二、填空题（本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 第 11 页（共 19 页） 13已知 y=f（ x）为 R 上可导函数，则 “f（ 0） =0“是 “x=0 是 y=f（ x）极值点 ”的 必要不充分条件 （填 “充分不必要条件 ”或 “必要不充分条件 ”或 “充要条件 ”或 “既不充分也不必要条件 ”） 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 x=0 是 y=f（ x）极值点，可得 f（ 0） =0；反之不成立，例如函数 f（ x） =然f（ 0） =0，但是 x=0 不是函数 f（ x）的极值点 【解答】 解： x=0 是 y=f（ x）极值点，可得 f（ 0） =0；反之不 成立，例如函数 f（ x） =x3，f（ x） =3然 f（ 0） =0，但是 x=0 不是函数 f（ x）的极值点 f（ 0） =0“是 “x=0 是 y=f（ x）极值点 ”的必要不充分条件 故答案为：必要不充分条件 14已知 p：（ x m+1）（ x m 1） 0； q： x ，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是 【考点】 必要条件、充 分条件与充要条件的判断 【分析】 求出 p 的等价条件，利用必要不充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可 【解答】 解： p 的等价条件是 m 1 x m+1， 若 p 是 q 的必要不充分条件， 则 ，即 ，即 m ， 故答案为： 15已知 f（ x）为偶函数，当 x 0 时， f（ x） =e x 2 x，则曲线 y=f（ x）在点（ 2， 3）处的切线方程是 2x y 1=0 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 由偶函数的定义，可得 f（ x） =f（ x），即有 f（ x） =2+x， x 0求出导数，可得切线的斜率，由点斜式方程，即可得到所求切线的方程 【解答】 解： f（ x）为偶函数，可得 f（ x） =f（ x）， 由 x 0 时， f（ x） =e x 2 x， 当 x 0 时， x 0，即有 f（ x） =2+x， 可得 f（ x） =2+x， x 0 由 f（ x） =2+1， 可得曲线 y=f（ x）在点（ 2， 3）处的切线的斜率为 =2， 即有曲线 y=f（ x）在点（ 2， 3）处的切线的方程为 y 3=2（ x 2）， 即为 2x y 1=0 故答案为： 2x y 1=0 16卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵第 12 页（共 19 页） 形线进行了相关性质的探究，设焦点 c， 0）， c， 0）是平面内两个定点， |a 是定长），得 出卡西尼卵形线的相关结论： 当 a=0， c=1 时，次轨迹为两个点 1， 0）， 1， 0）； 若 a=c，则曲线过原点； 若 0 a c，则曲线不存在； 既是轴对称也是中心对称图形 其中正确命题的序号是 【考点】 类比推理 【分析】 由题意设 P（ x， y），则 = （ x+c） 2+（ x c） 2+ 4 个选项加以验证，即可得出结论 【解答】 解：由题意设 P（ x， y），则 = 即 （ x+c） 2+（ x c） 2+ 当 a=0， c=1 时，轨迹为两个点 1， 0）， 1， 0），正确； a=c，（ 0， 0）代入，方程成立则曲线过原点，即故 正确； （ | c，（当且仅当， |c 时取等号）， （ | 若 0 a c，则曲线不存在，故 正确； 把方程中的 x 被 x 代换，方程不变，故此曲线关于 y 轴对称； 把方程中的 y 被 y 代换，方程不变，故此曲线关于 x 轴对称； 把方程中的 x 被 x 代换， y 被 y 代换，方程不变， 故此曲线关于原点对称；故 正确； 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题， 70 分） 17已知命题 p： “方程 + =1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆 ”， 命题 q： “函数 f（ x） =）的定义域为 R” （ 1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （ 2）若 p q 是真命题，求实数 m 的取值范围 【考点】 复合命题的真假 【分析】 若命题 p 为真命题：则 3 m m 1 0，解得 m 范围若命题 q 为真命题：则 0，解得 m 取值范围再利用复合命题的真假判定方法即可得出 【解答】 解： 命题 p： “方程 + =1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆 ”， 3 m m 1 0，解得 1 m 2 命题 q： “函数 f（ x） =）的定义域为 R”， =4 0，解得 第 13 页（共 19 页） （ 1）由命题 p 为真命题，则实数 m 的取值范围是（ 1， 2）； （ 2）若 p q 是真命题，则 p 与 q 都为真命题， ，解得 实数 m 的取值范围是 18设函数 f（ x） =（ x+a） 知曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处切线与直线 y=0平行 （ 1）求 a 的值； （ 2）求 y=f（ x）的单调区间 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）根据两直线平行的条件，求出曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处切线的斜率 k，求出函数 f（ x）的导函数 f（ x），令 x=1， f（ 1） =k，求出 a； （ 2）将（ 1）中的 a 代入原式，求出 f（ x）的导函数 f（ x），令 f（ x） 0，得出 y=f（ x）的单调增区间，令 f（ x） 0，得出 y=f（ x）的单调减区间 【解答】 解：（ 1） 曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处切线与直线 y=0 平行， 直线 y=0 的斜率为 e， 曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处切线的斜率为 k=e 函数 f（ x） =（ x+a） 导函数为 f（ x） =1+x+a）， 令 x=1， f（ 1） =k=e，即 e（ 2+a） =e， 解得 a= 1； （ 2） f（ x） =（ x 1） f（ x） =exx， 令 f（ x） 0，解得 x 0；令 f（ x） 0，解得 x 0， y=f（ x）的单调减区间为（ ， 0），单调增区间为（ 0， +） 19已知点 F（ 1， 0），直线 l： x= 1，动点 P 到点 F 的距离等于它到直线 l 的距离 （ ）试判断点 P 的轨迹 C 的形状，并写出其方程 （ ）是否存在过 N（ 4， 2）的直线 m，使得直线 m 被截得的弦 好被点 N 所平分？ 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ ）根据点 P 到点 F 的距离等于它到直线 l 的距离，利用抛物线的定义，可得点P 的轨迹 C 是以 F 为焦点、直线 x= 1 为准线的抛物线，从而可求抛物线方程为 x； （ ）解法一：假 设存在满足题设的直线 m设直线 m 与轨迹 C 交于 A（ B（ x2，由中点坐标公式可得 ，直线 m 的斜率存在，设直线 m 的方程与抛物线方程联立，消去 y，利用 ，可得结论；解法二：假设存在满足题设的直线 m设直线 m 与轨迹 C 交于 A（ B（ 由中点坐标公式可得 ，设直线 m 的方程与抛物线方程联立，消去 x，利用 y1+a=4，可得结论； 第 14 页（共 19 页） 解法三：假假设存在满足题设的直线 m设直线 m 与轨迹 C 交于 A（ B（ 由中点坐标公式可得 ，利用点差法求直线的斜率，从而可得结论 【解答】 解：（ ）因为点 P 到点 F 的距离等于它到直线 l 的距离， 所以点 P 的轨迹 C 是以 F 为焦点、直线 x= 1 为准线的抛物线， 所以方程为 x （ ）解法一：假设存在满足题设的直线 m设直线 m 与轨迹 C 交于 A（ B（ x2， 依题意，得 当直线 m 的斜率不存在时，不合题意 当直线 m 的斜率存在时，设直线 m 的方程为 y 2=k（ x 4）， 联立方程组 ，消去 y，得 84k+4） x+（ 2 4k） 2=0，（ *） ，解得 k=1 此时，方程（ *）为 8x+4=0，其判别式大于零， 存在满足题设的直线 m，且直线 m 的方程为： y 2=x 4，即 x y 2=0 解法二：假 设存在满足题设的直线 m设直线 m 与轨迹 C 交于 A（ B（ 依题意，得 易判断直线 m 不可能垂直 y 轴， 设直线 m 的方程为 x 4=a（ y 2）， 联立方程组 ，消去 x，得 4a 16=0， =16（ a 1） 2+48 0， 直线与轨迹 C 必相交 又 y1+a=4， a=1 存在满足题设的直线 m，且直线 m 的方程为： y 2=x 4 即 x y 2=0 解法三：假设存在满足题设的直线 m设直线 m 与轨迹 C 交于 A（ B（ 依题意，得 A（ B（ 轨迹 C 上， 有 ，将（ 1）（ 2），得 当 x1=，弦 中点不是 N，不合题意， 第 15 页（共 19 页） ，即直线 斜率 k=1， 注意到点 N 在曲线 C 的张口内（或：经检验，直线 m 与轨迹 C 相交） 存在满足题设的直线 m，且直线 m 的方程为： y 2=x 4 即 x y 2=0 20已知函数 f（ x） = 1+a） x （ 1）当 a 1 时，求函数 f（ x）的极值； （ 2）若 f（ x） 0 对定义域内的任意 x 恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）求导数，利用导数的正负，可得函数 f（ x）的单调区间 ； （ 2）利用（ 1）中函数的单调性，求得函数在 x=1 处取得最小值，即可求实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）求导数可得 f（ x） = （ x 0）， a 1 时，令 f（ x） 0，可得 1 x a， x 0， 1 x a； 令 f（ x） 0，可得 x a 或 x 1， x 0， 0 x 1 或 x a； 函数 f（ x）在（ 0， 1），（ a， +）上单调递增，在（ 1， a）上单调递减， f（ x） 极大值 =f（ 1） = a， f（ x） 极小值 =f（ a） =a； （ 2） a 0 时，令 f（ x） 0，可得 x 1， x 0， 0 x 1； 令 f（ x） 0，可得 x 1， x 0， x 1， 函数 f（ x）在（ 0， 1）上单调递减，在（ 1， +）上单调递增； 函数在 x=1 处取得最小值， 函数 f（ x） 0 对定义域内的任意的 x 恒成立， f（ 1） = a 0，解得： a a 0 时， f（ 1） = a 0，舍去； 综上， a 21给定椭圆 C： =1（ a b 0），称圆 x2+y2=a2+椭圆 C 的 “伴随圆 ”，已知椭圆 C 的短轴长为 2，离心率为 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，与其 “伴随圆 ”交于 C， D 两点，当 | 时，求 积的最大值 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由题意得，根据离心率公式以及 b=1，知 ，由此能求出椭圆 C 的方程 第 16 页（共 19 页） （ ）分类讨论，当 x 轴时，当 x 轴不垂直时，设直线 方程为 y=kx+m，则韦达定理以及弦长公式和基本不等式求出弦长的最大值，由此能求出 面积取最大值 【解答】 解：（ ）由题意得， =1 = ， 又 b=1， ， 椭圆 C 的方程为 +， （ ） “伴随圆 ”的方程为 x2+， 当 x 轴时，由 | ，得 | 当 x 轴不垂直时，由 | ，得圆心 O 到 距离为 设直线 方程为 y=kx+m，则由 = ，得 （ ）， 设 A（ B（ 由 ，得（ 3） 3=0 x1+， 当 k 0 时， |=（ 1+ 2， =（ 1+ ， = ， =3+ ， =3+ ， 3+ =4， 当且仅当 9，即 k= 时等号成立，此时 |2 当 k=0 时， | ，综上所述： |AB|，