第三章 正弦交流电路

第三章正弦交流电路,3.1正弦交流电的基本概念一：电量的分类（把电流、电压、电动势等统称为电量）,恒定量-直流,时变量-,周期性时变量,非周期性时变量,正弦量,非正弦周期时变量,二、正弦量和正弦交流电路,、正弦量：随时间按正弦规律变化的电压和电流、正弦交流电路：所有激励和响应都为同频正弦量的电路三、正弦交流电的一般表达式和波形图,注意、写正弦量的瞬时表达式或波形图时，要同时标明参考方向、仅当参变量Im、确定后，正弦量才能被确定，所以被称为三要素,反映大小的量,反映初始值的量,反映交变快慢的量,正弦量完整变化一周所需要的时间,正弦量在单位时间内变化的周数,正弦量单位时间内变化的弧度数,周期与频率的关系：,角频率与周期及频率的关系：,工频：,工业角频率：,四、正弦量的三要素,正弦量任一瞬间的值,小写表示,瞬时值中的最大值,大写字母加注脚,从周期量做功与直流量做功等效的观点来定义的,大写字母表示,让周期电流i和直流电流I分别通过两个阻值相等的电阻R，如果在相同的时间T内，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流电流I的值为周期电流i的有效值。,对于正弦电流，因,所以正弦电流的有效值为：,同理，正弦电压的有效值为：,任一瞬间电角度,时的起始相位,注:,(1)计时起点不同,不同,但相同,注意,、初相位在主值范围内、通过波形图要能确定瞬时表达式。幅值：纵轴；角频率：横轴初相位：离原点最近的、由负向正过渡的零点所对应的t的相反数、不同正弦量只要频率相同，就可讨论其相位差,不同频率没有相位差,幅度：,已知：,频率：,初相位：,A,如果相位差为+180或-180,称为两波形反相,例:,1.复数表达式,欧拉公式,补充：关于复数的复习,（）复数加、减运算,、复数的运算,（2）复数乘、除法运算,3.2正弦量的相量表示法,一、旋转因子和旋转矢量、旋转因子：ejt模为，幅角为t的复数。为常数，幅角随时间t的增加，以的速率匀速增加。t,/2,3/2,2时,ejt=1,j,-1,-j,1。、旋转矢量Aejt设Aej则：Aejtejejtej（t）,正弦量具有幅值、频率及初相位三个基本特征量，表示一个正弦量就要将这三要素表示出来。表示一个正弦量可以多种方式，这也正是分析和计算交流电路的工具。,、三角函数表示法：,+,_,2、正弦波形图示法:(见右图),二、正弦量的几种表示方法,概念：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值来表示。,矢量长度=,矢量与横轴夹角=初相位,3、旋转矢量表示法,i,y,x,O,O,t,正弦量用旋转矢量来表示,长度-振幅起始位置与X轴夹角-初相随时间逆时针匀速旋转的角速度-角频率,相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具。,把随时间变化的正弦量用复数表示出来，把三角计算变为复数的代数运算。,要点：,代表正弦量的矢量可以用复数来表示，从而使正弦量的运算归结为复数的运算。,4、相量表示法,三、用相量来表示正弦量1、相量的引出,根据欧拉公式，一个复指数函数,可以写成：,实部是余弦量虚部是正弦量,则,正弦量可以用上述形式复数函数描述,正弦量可以用上述形式复数函数描述,取复数函数的虚部,复指数函数中的一个复常数,复常数定义为正弦量的相量，记为,相量的表示,为“最大值”相量,为“有效值”相量,相量是一个复数,注意,1）相量可以代表一个正弦量，但不等于该正弦量。,2）相量中含振幅（或有效值）和初相位，但不含三要素之一的角频率。,2、相量图相量在复平面上的几何表示，称为相量图。相量图显示出同频正弦量之间的相位关系。注意：只有同频正弦量才能在同一相量图表示。适用平行四边形或三角形法则。3、相量法正弦交流电路中的分析解题方法,相量图法,相量解析法,例1:,已知瞬时值，求相量。,求：,例2：,已知相量，求瞬时值。,计算相量的相位角时，要注意所在象限。,例：,四、关于90。算子的讨论-j和-j,可以表示为,可见,设有两个同频率的正弦电压,五、用相量法求正弦量的和与差,所以：两个同频率正弦量和的相量等于这两个正弦量的相量和,可得：基尔霍夫定律的相量形式,则：几个同频率正弦量求和可以简化为它们的相量求和。,对于正弦交流电路满足,即：瞬时值和相量满足基尔霍夫定律，有效值不满足,I1-I2+I3=0,例：,求i=i1+i2,解：,相量图：,3.3电阻元件上的正弦稳态响应,一：电压电流关系,取关联参考方向时，u=Ri；设：i=Imsin(t+i),则：u=Ri=RImsin(t+i)=Umsin(t+u),结论：,1）电阻的电压有效值与电流有效值仍然满足欧姆定律:UR=RIR）电阻的电压uR与电流iR同相位，即u=i）电阻的电压uR与电流iR同频率。,、瞬时电压和瞬时电流,2、R中的电压相量与电流相量,设电阻电流相量为,故电阻电压、电流的相量形式仍满足欧姆定律,二、电阻元件上的功率,、瞬时功率功率是时间的函数,关联时的瞬时功率都可表示为:,，,瞬时功率,这说明电阻元件上能量转换的,不可逆性，因此电阻是一个耗能元件,它包含一个恒定分量和一个变化分量，变化的频率是电源频率的两倍,2.平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值,大写,P=UI,U=IR,=I2R=U2/R,3.4理想电感元件上的正弦稳态响应,一、电压电流关系,1、L中的瞬时电流与电压,基本关系式：,结论（a）电感电压、电流有效值的关系为：UL=LIL（b）电感电压超前电流90即u=i+90,定义XL=L，称为感抗，具有与电阻相同的量纲。单位是欧姆。感抗的大小反映了电感对正弦电流抵抗能力的强弱。,2、L中的电流相量与电压相量,强调,感抗（XL=L）是频率的函数，是电感电压、电流有效值之间的比，且只对正弦波有效。不是瞬时值或相量的比。,二、电感电路中的功率,1.瞬时功率p：,电感中激励源是正弦量时，功率也按正弦规律变化,但频率是电源频率的两倍，其幅值是电流与电压有效值的乘积,储存能量,释放能量,可逆的能量转换过程,p为正弦波，频率加倍,2.平均功率P（有功功率）,结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。从波形图看,功率大于零的面积等于小于零的面积,3.无功功率Q,Q的单位：乏、千乏(var、kvar),Q的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用以衡量电感电路中能量交换的规模。（瞬时功率的幅值）,例,一电感交流电路，L=100mH，f=50Hz，,(1)已知,A，求电压；,(1)已知,，求电流，,并画相量图。,(1)由题知感抗为XL=L=2500.1=31.4,则由相量形式的欧姆定律知：,(2)电流为,电流为,相量图分别为：,(1),亦可根据电感元件电流、电压瞬时值关系用解析法计算。,(1)中电感元件的有功功率为,电感元件的无功功率为,3.5理想电容元件上的正弦稳态响应,一、电压电流关系,1、C中的瞬时电流与电压,基本关系式:,设：,则：,结论（a）电容电压、电流有效值的关系为IC=CUC（b）电容电压滞后电流90，即u=i-90,其单位也是欧姆,则：,2、C中的电流相量与电压相量,设：,则：,强调,容抗（Xc=1/C）是频率的函数，是电容电压、电流有效值之间的比，且只对正弦波有效。不是瞬时值或相量的比。,二、理想电容元件上的功率,1、瞬时功率,电容中激励源是正弦量时，功率也按正弦规律变化,但频率是电源频率的两倍，其幅值是电流与电压有效值的乘积,i,u,2.平均功率P,结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。从波形图看,功率大于零的面积等于小于零的面积,瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）,3.无功功率Q,单位：var，乏,例,求电容电路中的电流,瞬时值,i领先于u90,电流有效值,单一参数正弦交流电路的分析计算小结,电路参数,电路图（正方向）,复数阻抗,电压、电流关系,瞬时值,有效值,相量图,相量式,功率,有功功率,无功功率,R,i,u,设,则,u、i同相,0,L,i,u,C,i,u,设,则,设,则,u领先i90,u落后i90,0,0,基本关系,1.单一参数电路中的基本关系,小结,在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗（)表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相似。,2.单一参数电路中复数形式的欧姆定律,*电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、克氏定律。,3.简单正弦交流电路的关系(以R-L电路为例）,*电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、克氏定律,R,L,3.6复合参数支路上的正弦稳态响应,一、R、L、C串联电路,若,则,总电压与总电流的关系式,相量方程式：,则,相量模型,令,则,即：R-L-C串联交流电路中的复数形式欧姆定律,二、阻抗,1,注：XL和Xc总是正的,但X=XL-Xc可正可负,2,Z是一个复数参数，但并不是正弦交流量，上面不能加点。Z在方程式中只是一个运算工具。,结论：的模为电路总电压和总电流有效值之比，而的幅角则为总电压和总电流的相位差。,3.Z和总电流、总电压的关系,4.Z和电路性质的关系,5.阻抗（Z）三角形,注：该图三边不能画箭头,三、R-L-C串联交流电路的相量图,先画出参考相量,相量表达式：,4.阻抗三角形和电压三角形的关系,四、复阻抗的运算,1、复阻抗的串联,-分压公式,2、复阻抗的并联,Y1、Y2-导纳,-分流公式,导纳的概念,设:,则:,导纳适合于并联电路的计算,单位是西门子(s)。,1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）,2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图,3.7一般正弦交流电路的解题步骤,3、用复数符号法或相量图求解,4、将结果变换成要求的形式,在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方法都能用。具体步骤如下：,例1,电路如图所示，已知R=R1=R2=10，L=31.8mH，C=318F，f=50Hz，U=10V，试求（1）并联支路端电压Uab；(2)总电流,XL=2fL=10,解：,Z1=10j10,Z2=10j10,例2已知,试求,。,解用相量表示,所以：,已知：I1=10A、UAB=100V，,则：,求：A、UO的读数,求：A、UO的读数,已知：I1=10A、UAB=100V，,3.8无源单口网络上的功率,一、瞬时功率,设电压,则电流为,二、平均功率P（有功功率）,总电压,总电流,u与i的夹角,被称为功率因数角,1、有功功率P的大小不仅与电压、电流有效U、I有关，还与u与i的相位差有关,说明,2、功率因数角实际就是阻抗角。感性电路与容性电路可通过功率因数角的正负加以区分,纯电阻时,=0,纯电感时，=/2,纯电容时，=/2,3、求有功功率可以用以下式子：,1）P=UIcos2)P=UIcos=|Z|I*Icos=ReI23）P=P1+P2+P3.4)P=PR1+PR2+PR3,在R、L、C串联的电路中，无功功率其大小为瞬时功率无功分量的最大值：,三、无功功率Q：,通过无功功率可了解二端网与外电路之间的能量交换的规模大小,当Q0时，0，电压超前电流，为感性电路；当Q0时，0，电压滞后电流，为容性电路。,Q=UIsin,求无功功率可以用以下式子：,1）Q=UIsin2）Q=UIsin=|Z|I*Isin=XI23）Q=Q1+Q2+Q3.=QL+QC,单位：伏安、千伏安,注：SUI可用来衡量发电机可能提供的最大功率（额定电压额定电流）,视在功率,5.功率三角形,无功功率,有功功率,例1,电路如图所示，已知R=R1=R2=10，L=31.8mH，C=318F，f=50Hz，U=10V，试求（1）并联支路端电压Uab；,XL=2fL=10,解：,Z1=10j10,Z2=10j10,（2）求P、Q、S及COS,Icos=100.51=5W,SI=100.5=5VA,QIsin=100.50=0var,有功功率：,视在功率：,无功功率：,3.9功率因数的提高,一、功率因数低带来的不良影响1、输电耗能问题2、发电设备利用问题二、提高功率因数的方法在感性负载两端并联电容器,注意：1、并入电容器只是减小电源线上的电流，负载