直线的倾斜角和斜率.ppt

1,直线的倾斜角斜率,2,问题情境,直线最简单的几何图形,飞逝的流星沿不同的方向运动,在空中形成美丽的直线,3,问题情境,确定直线的要素,问题1：,(1)_确定一条直线.,两点,(2)过一个点有_条直线.,无数条,确定直线位置的要素除了点之外,还有直线的方向,也就是直线的倾斜程度.,.,.,.,问题1：如何确定一条直线在直角坐标系的位置呢？两点或一点和方向问题2：如果已知一点还需附加什么条件，才能确定直线？一点和方向问题3：如何表示方向？用角,问题引入解决本节第一问题,一、直线的倾斜角,1、直线倾斜角的定义：,当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角,注意：(1)直线向上方向；(2)轴的正方向。,例1.下列四图中，表示直线的倾斜角的是(),练习巩固倾斜角的概念：,A,l1,l2,l3,想一想,例2.看看这三条直线，它们倾斜角的大小关系是什么？设、,分别为、,规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0,2、直线的倾斜角范围的探索,由此我们得到直线倾斜角的范围为：,想一想,你认为下列说法对吗？,1、所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。,2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。,对,错,3、直线倾斜角的意义,体现了直线对轴正方向的倾斜程度在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。,倾斜角相同能确定一条直线吗？,相同倾斜角可作无数互相平行的直线,11,问题情境,楼梯的倾斜程度用坡度来刻画,1.2m,3m,3m,2m,坡度=,高度,宽度,坡度越大，楼梯越陡,12,建构数学,直线倾斜程度的刻画,高度,宽度,直线,P,Q,M,直线的倾斜程度=,类比思想,3、探究：由两点确定的直线的斜率,如图，当为锐角时，,能不能构造一个直角三角形去求？,锐角,如图，当为钝角是，,钝角,1、当的位置对调时，值又如何呢？,当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？,已知直线上两点，运用上述公式计算直线斜率时，与两点坐标的顺序有关吗？,16,数学应用,例1：,如图，直线都经过点，又分别经过点,讨论斜率的是否存在,如存在,求出直线的斜率.,l1,l2,l3,l4,解:,直线l1的斜率,k1=,k2=,k3=,直线l4的斜率不存在,直线l2的斜率,直线l3的斜率,P,Q1,Q2,Q3,Q4,直线斜率的计算,K1=1,K2=-1,K3=0,斜率不存在,17,纵坐标的增量,已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1x2，则直线PQ的斜率为：,建构数学,直线斜率的定义,横坐标的增量,请同学们任意给出两点的坐标,并求过这两点的直线的斜率.,数学实践,形,数,2、直线的斜率,定义：直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：,倾斜角不是90的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度,19,问题3：,对于一条与x轴不垂直的定直线而言,直线的斜率是定值吗?,是定值,定直线上任意两点确定的斜率总相等,从上可以看出直线的倾斜角与斜率之间的关系:,k=0,无,k0,递增,不存在,无,k0、k2时，k0,当mk1,3.直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan？,4.任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？,28,数学应用,如果直线l上一点P沿x轴方向向右平移2个单位,再沿y轴方向向上平移4个单位后仍在直线l上,那么该直线的斜率为多少?,问题6：,拓展研究,斜率为2,问题7：,直线l的斜率为2,将l向左平移1个单位得到直线l1,则l1的斜率为多少?,斜率为2,问题8：,平行直线的斜率之间有怎样的关系?,斜率相等,或斜率都不存在,29,课堂竞技场,斜率为2的直线，经过点(3,5),(a,7),(-1，b)三点，则a,b的值为(),A、a=4,b=0,B、a=-4,b=-3,C、a=4,b=-3,D、a=-4,b=3,C,30,课堂竞技场,数学实践,已知三点A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7),求KAB，KBC,KAB=2,KBC=2,问题9：,如果KAB=KBC,那么A、B、C三点有怎样的关系？,A、B、C三点共线,31,判断下列三点是否在同一直线上(1)A(0,2),B(2,5),C(3,7)(2)A(-1,4),B(2,1),C(-2,5),如果三点A(1,1)、B(3,5)、C(-1,a)在一条直线上,求a的值,(a=-3),课堂竞技场,32,课堂竞技场,求过点M(0,2)和N(2,3m2+12m+13)(mR)的直线l的斜率k的取值范围。,问题10：,直线斜率的大小与直线的倾斜程度有什么联系？(课后研究),解:,由斜率公式得直线l的斜率,33,回顾反思,3.平面解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。,两个概念直线的斜率、倾斜角；,2.两个问题-（1）已知直线上两点如何求斜率；（2）已知一点和斜率如何画出直线。,34,难点展示：,例题一：直线l过点M(-1,1)且与以P(-2,2)Q(3,3)为两端点的线段PQ有公共点,求直线l的斜率的取值范围。,例2。已知直线的斜率K的变化范围为（1，1，求直线的倾斜角的取值范围。,分析：,因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围也不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种情况讨论。,当K（1，0）时,当K0，1时，,解：直线斜率K的变化范围（1，1=（1，0）0，1，,所以直线的倾斜角范围为,练习,直线的倾斜角=30，直线，求,的斜率。,解：的斜率为的倾斜角为的斜率为,练习,解:,推导二:,练习：已知直线l的一个方向向量,解：,，求直线的斜率。,则直线的斜率为:,例1如图，已知，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角,解：直线AB的斜率,直线BC的斜率,直线CA的斜率,由及知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由知，直线BC的倾斜角为钝角,求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角：,方法：先用经过两点的直线的斜率公式求斜率，再求倾斜角。,由及知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由知，直线BC的倾斜角为钝角,由及知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由知，直线BC的倾斜角为钝角,例2,解:,已知点P(0,-2),A(-1,2),B(2,3)经过点P的直线l与线段AB有公共点时,求直线l的斜率k的取值范围.,已知三点A(2,3),B(a,4),C(8,a)三点