数学建模 微分方程模型ppt课件

.,1,2传染病模型,3战争模型,4最优捕鱼问题,1微分方程模型,微分方程模型,.,2,1微分方程模型,一、微分方程模型的建模步骤在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系函数表达式，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统即建立微分方程模型。我们以一个例子来说明建立微分方程模型的基本步骤。,.,3,例1某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤天）乘以他的体重（公斤）。假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868（焦）。试研究此人的体重随时间变化的规律。,.,4,模型分析在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W）关于时间t的函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可微函数，我们就能找到一个含有的微分方程。,.,5,模型假设1.以W(t)表示t时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为W0。2体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为W(t)是关于连续t而且充分光滑的。3体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是进行健身训练时的消耗。,.,6,模型建立问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此，对于“每天”体重的变化=输入-输出。由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得体重的变化/天=输入/天输出/天。代入具体的数值，得输入/天=10467（焦/天）5038（焦/天）=5429（焦/天），输出/天=69（焦/公斤天）（公斤）=69（焦/天）。,.,7,体重的变化/天=W/t（公斤/天），当t0时，它等于dW/dt。考虑单位的匹配，利用“公斤/天=（焦/每天）/41868（焦/公斤）”,可建立如下微分方程模型,.,8,模型求解用变量分离法求解，模型方程等价于积分得,.,9,从而求得模型解就描述了此人的体重随时间变化的规律。,.,10,现在我们再来考虑一下：此人的体重会达到平衡吗?显然由W的表达式，当t时，体重有稳定值W81。我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。在平衡状态下，W是不发生变化的。所以这就非常直接地给出了W平衡=81。所以，如果我们需要知道的仅仅是这个平衡值，就不必去求解微分方程了！,.,11,至此，问题已基本上得以解决。一般地，建立微分方程模型，其方法可归纳为：(1)根据规律列方程。利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检验的规律和定律，如牛顿运动定律、物质放射性的规律、曲线的切线性质等建立问题的微分方程模型。,.,12,(3)模拟近似法。在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，常常用模拟近似的方法来建立微分方程模型、建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，这个过程是近似的，用模拟近似法所建立的微分方程从数学上去求解或分析解的性质，再去同实际情况对比，看这个微分方程模型能否刻划、模拟、近似某些实际现象。本章将结合例子讨论几个不同领域中微分方程模型的建模方法。,.,13,2传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,.,14,已感染人数(病人)i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,.,15,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病,建模,日接触率,SI模型,.,16,模型2,tm传染病高潮到来时刻,(日接触率)tm,病人可以治愈！,?,t=tm,di/dt最大,.,17,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS模型,3）病人每天治愈的比例为,日治愈率,建模,日接触率,1/感染期,一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。,.,18,模型3,接触数=1阈值,感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,.,19,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/,建模,需建立的两个方程,.,20,模型4,SIR模型,.,21,模型4,SIR模型,相轨线的定义域,在D内作相轨线的图形，进行分析,.,22,模型4,SIR模型,相轨线及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,P1:s01/i(t)先升后降至0,P2:s01/i(t)单调降至0,1/阈