高中数学选修2-2导数的几何意义

1.1.3导数的几何意义学习目标1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义.3.会求曲线在某点处的切线方程.4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.知识点一曲线的切线如图所示，当点Pn沿着曲线yf(x)无限趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.(1)曲线yf(x)在某点处的切线与该点的位置有关；(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个.思考有同学认为曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线yf(x)只有一个交点，你认为正确吗？答案不正确.曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线yf(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示.知识点二导数的几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率.思考(1)曲线的割线与切线有什么关系？(2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系？答案(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点.(2)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且在该点处的导数就是该切线的斜率.函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0)处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)在x0处有切线，但不可导.知识点三导函数的概念对于函数yf(x)，当xx0时，f(x0)是一个确定的数，这样，当x变化时，f(x)便是关于x的一个函数，称它为函数yf(x)的导函数，简称导数，也可记作y，即f(x)y .函数yf(x)在xx0处的导数y|就是函数yf(x)在开区间(a，b)(x(a，b)上的导数f(x)在xx0处的函数值，即y|f(x0)，所以函数yf(x)在xx0处的导数也记作f(x0).思考如何正确理解“函数f(x)在xx0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系？答案“函数yf(x)在xx0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与x无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，x无关.题型一求曲线的切线方程1.求曲线在某点处的切线方程例1求曲线yf(x)x3x3在点(1,3)处的切线方程.解因为点(1,3)在曲线上，过点(1,3)的切线的斜率为f(1) (x)23x22，故所求切线方程为y32(x1)，即2xy10.反思与感悟若求曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，其切线只有一条，点P(x0，y0)在曲线yf(x)上，且是切点，其切线方程为yy0f(x0)(xx0).跟踪训练1(1)曲线f(x)x3x25在x1处切线的倾斜角为 .(2)曲线yf(x)x3在点P处切线斜率为3，则点P的坐标为 .答案(1)(2)(1，1)或(1,1)解析(1)设切线的倾斜角为，则tan (x)211.0，)，.切线的倾斜角为.(2)设点P的坐标为(x0，x)，则有 3x3x0x(x)23x.3x3，解得x01.点P的坐标是(1,1)或(1，1).2.求曲线过某点的切线方程例2求过点(1，2)且与曲线y2xx3相切的直线方程.解y 23x23xx(x)223x2.设切点的坐标为(x0,2x0x)，切线方程为y2x0x(23x)(xx0).又切线过点(1，2)，22x0x(23x)(1x0)，即2x3x0，x00或x0.切点的坐标为(0,0)或(，).当切点为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y2x；当切点为(，)时，切线斜率为，切线方程为y2(x1)，即19x4y270.综上可知，过点(1，2)且与曲线相切的直线方程为y2x或19x4y270.反思与感悟若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.跟踪训练2求过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程.解由题意知y 2x.设所求切线的切点为A(x0，y0).点A在曲线yx2上，y0x.又A是切点，过点A的切线的斜率y|2x0.所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，其斜率为.2x0，解得x01或x05.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时，切线的斜率为k12x02；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k22x010.所求的切线有两条，方程分别为y12(x1)和y2510(x5)，即2xy10和10xy250.题型二求导函数例3求函数f(x)的导函数.解 yf(xx)f(x)，f(x) .反思与感悟求解f(x)时，结合导数的定义，首先计算yf(xx)f(x).然后，再求解，最后得到f(x) .跟踪训练3已知函数f(x)x21，求f(x)及f(1).解 因yf(xx)f(x)(xx)21(x21)2xx(x)2，故 2x，得f(x)2x，f(1)2.题型三导数几何意义的综合应用例4设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求a的值.解yf(xx)f(x)(xx)3a(xx)29(xx)1(x3ax29x1)(3x22ax9)x(3xa)(x)2(x)3，3x22ax9(3xa)x(x)2，f(x) 3x22ax93(x)299.由题意知f(x)最小值是12，912，a29，a0，a3.反思与感悟与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.跟踪训练4(1)已知函数f(x)在区间0,3上的图象如图所示，记k1f(1)，k2f(2)，k3f(2)f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为 .(请用“”连接) (2)曲线y和yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是 .答案(1)k1k3k2(2)解析(1)结合导数的几何意义知，k1就是曲线在点A处切线的斜率，k2则为在点B处切线的斜率，而k3则为割线AB的斜率，由图易知它们的大小关系.(2)联立解得故交点坐标为(1,1).曲线y在点(1,1)处切线方程为l1：xy20，曲线yx2在点(1,1)处切线方程为l2：2xy10.从而得S1.因对“在某点处”“过某点”分不清致误例5已知曲线yf(x)x3上一点Q(1,1)，求过点Q的切线方程.错解因y3x2，f(1)3.故切线方程为3xy20.错因分析上述求解过程中，忽略了当点Q不是切点这一情形，导致漏解.正解当Q(1,1)为切点时，可求得切线方程为y3x2.当Q(1,1)不是切点时，设切点为P(x0，x)，则由导数的定义，在xx0处，y3x，所以切线方程为yx3x(xx0)，将点(1,1)代入，得1x3x(1x0)，即2x3x10，所以(x01)2(2x01)0，所以x0，或x01(舍)，故切点为，故切线方程为yx.综上，所求切线的方程为3xy20或3x4y10.防范措施解题前，养成认真审题的习惯，其次，弄清“在某点处的切线”与“过某点的切线”，点Q(1,1)尽管在所给曲线上，但它可能是切点，也可能不是切点.1.下列说法中正确的是()A.和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线B.和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线C.曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点D.曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点答案D解析ysin x，xR在点(，1)处的切线与ysin x有无数个公共点.2.已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A.4 B.16 C.8 D.2答案C解析f(2) (82x)8，即k8.3.若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()A.a1，b1 B.a1，b1C.a1，b1 D.a1，b1答案A解析由题意，知ky|x0 1，a1.又(0，b)在切线上，b1，故选A.4.已知曲线yx22上一点P，则过点P的切线的倾斜角为()A.30 B.45C.135 D.165答案B解析yx22，y x.y|x11.点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45.5.已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为 .答案(3,30)解析设点P(x0,2x4x0)，则f(x0) 4x04，令4x0416得x03，P(3,30).1.导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k f(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导函数yf(x)在xx0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点.一、选择题1.下列说法正确的是()A.若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处就没有切线B.若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C.若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D.若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在答案C解析kf(x0)，所以f(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为xx0.2.已知yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是() A.f(xA)f(xB)B.f(xA)f(xB)C.f(xA)f(xB)D.不能确定答案B解析由导数的几何意义，f(xA)，f(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f(xA)f(xB).3.在曲线yx2上切线倾斜角为的点是()A.(0,0) B.(2,4)C.(，) D.(，)答案D解析y (2xx)2x，令2xtan 1，得x.y2，所求点的坐标为.4.已知曲线yx3上一点P(2，)，则该曲线在P点处切线的斜率为()A.4 B.2 C.4 D.8 答案A解析因yx3，得y 3x23xx(x)2x2，故yx2，y|x2224，结合导数的几何意义知，曲线在P点处切线的斜率为4.5.设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于()A.1 B.C. D.1答案A解析y|x1 (2aax)2a.可令2a2，a1.6.如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)等于() A.2 B.3C.4 D.5答案A解析易得切点P(5,3)，f(5)3，k1，即f(5)1.f(5)f(5)312.二、填空题7.已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1) .答案3解析由在点M处的切线方程是yx2，得f(1)12，f(1).f(1)f(1)3.8.过点P(1,2)且与曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是 .答案2xy40解析曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线斜率ky|x1 (3x2)2.过点P(1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y22(x1)，即2xy40.所求直线方程为2xy40.9.若曲线y2x24xP与直线y1相切，则P .答案3解析设切点坐标为(x0,1)，则f(x0)4x040，x01，即切点坐标为(1,1).24P1，即P3.10.设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P横坐标的取值范围为 .答案解析f(x) (x2x2)2x2.可设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x02.由已知得02x021，1x0，点P横坐标的取值范围为.三、解答题11.求曲线yx2在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积.解由导数定义可得y|x12，曲线yx2在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1，设它与两坐标轴的交点分别为A(0，1)，B(，0)，SAOB|OA|OB|.12.已知抛物线yx2和直线xy20，求抛物线上一点到该直线的最短距离.解方法一设P(x，x2)为抛物线上任意一点，则点P到直线xy20的距离为d2，所以当x时，d最小，最小值为.方法二由题意设直线xyb0与抛物线yx2相切，则x2xb0，由0得b，所以直线xy0与xy20的距离为d，所以抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离为.方法三根据题意可知，与直线xy20平行的抛物线yx2的切线对应的切点到直线xy20的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y|xx0 2x01，所以x0，所以切点坐标为，切点到直线xy20的距离d，所以抛物线上的